GB
M désignant le module maximum de œ(t) dans (0,7); le facteur élevé au carré ayant une limite nulle, cette deuxième partie tend aussi vers zéro uniformément. Donc pour que ®(r,6) ait une limite pour r — 1, à faut et il suffit que l'intégrale
Fe (2) J U(6+8—r0—#) cotang 2 dt
ait une limite quand € tend vers zéro par valeurs positives et pour que O(r, 6) tend uniformément vers la limite quand r tend vers l'unité il faut et \ suffit que l'intégrale (2) tende uniformément vers la limite.
Si cette condition est remplie, la fonction harmonique ®(r, 6) prendra
Séries trigonométriques et séries de Taylor. 361 sur le cercle de rayon 1, une suite de valeurs continues et bien déterminées = / I \ , . > représentées au facteur 3, Près, par la limite de l'expression (2) quand e ei
tend vers zéro; ce sera encore, si l’on veut, la valeur principale (au sens de Caucay) de l'intégrale
+7 Tr pr t id ai f(0 + t) cotang - dt.
On voit en particulier que si f(w) est à nombres dérivés bornés ou encore satisfait à la condition:
(3) [FC + 0) — f{u)| <k
k et a étant des constantes positives, la fonction ®(r, 4) sera uniformément continue à l'intérieur du cercle et sur le cercle. Je dis de plus que f(u) satisfaisant à la condition (3); la fonction
conjuguée :
oiu) = — Z 1 [f(E) — f(u)]cotang . hd
satisfera à une condition analogue.
Donnons à # l’accroissement A%, nous aurons:
| ir: A plu + Au)=— > f Tf(#— fu + An] cotang "à, (4) o(u + Au) — ou) +T AUS FO) — fu + An) FO F0) | 27 Re ras
TT
La fonction sous le signe pe peut s’écrire
t) — f(u + Au) 1? fu) — f(u + Au) (5) pe an ETS t—
sin nie tang
! La fonction sous le signe k est dans le cas actuel absolument intégrable; 1l
est donc inutile de parler ici de valeur principale.
Acta mathematica. 30. Imprimé le 4 décembre 1906. 46
3062 P. Fatou.
Intégrons d’abord de — 7 à #—h, et de « +} à +7, en supposant: (6) h> 2|Aul|.
u—h u u+Au u n+h. On aura alors, { variant dans l’un de ces intervalles,
I C d i— ") ns = — = 20—|— cotang —— At nt nu = Nm ee =“ Z( CRE sin sin = e sin
C étant une constante positive, car les deux sinus du dénominateur seront toujours de même signe et du même ordre de grandeur.
En outre f{w) étant bornée, on voit que le premier terme de (5) intégré de — 7 à u —h, et de u+h à +7, donnera pour l'intégrale (4) une contribution moindre en valeur absolue que:
C'.[ Aul.cotang||
ou simplement C'.|Aul. — | | |A | où ©” désigne une constante fixe.
Ensuite, le second terme de (5), intéoré toujours entre les mêmes limites, donnera comme résultat zéro.
Il nous reste à évaluer une limite supérieure de l'intégrale (4) quand les limites d’intégrations sont #—} et u + h. En tenant compte de la relation (3) on trouve facilement que les termes ainsi obtenus ont une somme moindre en valeur absolue que:
Cal
On a donc en définitive:
[g(u + Au) —ç(u)| <olo + C'IAfS.
Si l'on prend par exemple:
| h|—=]|Au
(ce qui est compatible avec la condition 6, pour Aw suffisamment petit) on obtient:
[e(u + Au) —g(u)|<(C' + C')[ Au]
Une condition de la forme (3) s'appelle généralement condition de Ixp- SCHITZ; nous pouvons donc dire que si la partie réelle d'une série de Taylor est continue sur son cercle de convergence et satisfait à une condition de Lipschitz, la partie imaginaire est également continue et satisfait à une condition de même forme.’
Nous avons supposé dans ce qui précède la fonction f(w) finie et continue de © à 27; on voit sans peine que nos conclusions subsistent si la fonction f(x), supposée intégrable, n’est continue que dans un certain intervalle.
Les raisonnements précédents montrent aussi que si f(w) est une fonction bornée et sommable, à laquelle correspond la fonction harmonique F(r,0), la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction harmonique conjuguée ©(r,6@) reste bornée à l'intérieur du cercle de convergence est que l'intégrale
J UE + 9 —F(0 — #)] cotang Ÿ dé
reste bornée quels que soient e et #. La fonction f ne peut pas dans ce cas, avoir des discontinuités de première espèce, car si f présente une telle discontinuité au point 4, O(r,6@) tend vers + © ou — © quand r tend vers 1.
En résumé, nous avons pu, grâce, surtout à l'extension si importante de la notion d’intégrale due à M. LEBEsGuE, faire l’étude de l'intégrale de Poisson dans des cas bien plus étendus que ceux qui avaient été examinés jusqu'ici.
Des différents résultats acquis dans ce chapitre, nous retiendrons particulièrement le suivant: l'intégrale de Poisson, correspondant à une fonction périodique, bornée et sommable, représente une fonction harmonique qui, en tous les points de la circonférence, (sauf peut-être aux points d'un ensemble
1 La série est alors uniformément convergente sur son cercle de convergence, comme il résulte de l’étude des séries de FOURIER.
364 P. Fatou.
de mesure nulle) prend une valeur bien déterminée lorsqu'on tend vers l'un de ces points en suivant un chemin non tangent à la circonférence.
Le fait serait d’ailleurs évident si la fonction f(w) était intégrable au sens de RIEMANN, car ses points de discontinuité formeraient alors un ensemble de mesure nulle; mais nous verrons combien il est nécessaire de se placer au point de vue tout à fait général que nous avons adopté.
