F AB

De la même manière on prouvera que l'angle G A E = H A D;

donc les trois angles FA B, F AH, H AD sont égaux, ou, les lignes A F, AH divisent l'angle B A D en trois parties égales, ce qu'il fallait démontrer.

C'est sur ce tlit^orômc que se fonde notre n\élhoile d'approximation.

Soit D A D un angle quelconque à diviser en trois parties égales. Ayant pris A B h volonté, achevons le losange A BC f>;

prolongeons D C, B C. Tirons A E F à vue de manière que C E, C F paraissent être égales. S'il se vérifie que CE^CFy le problème sera résolu ; si non , prenons C F' = C E, joignons C E' F'; puis prenons C F' = C E\ joignons C E" F", et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'inégalité de deux lignes telles que C E, C F, ou C E\ C F, ou C F\ C F\ etc. ne soit plus appréciable : la dernière position de A E F, A E' F', etc., ainsi obtenue, ditîèrcra aussi peu qu'on voudra de la position limite A H G qui donne

angle G A B = Id A B.

Il est facile de voir sur la figure que les angles B A F, B A F, etc. approcheront Irès-rapidement de la valeur B A G. En eiïet tirons E K parallèle à .4 B et coupant A G en K, et supposons pour fixer les idées qu'on ait pris angle B A F> B A G,

on aura FG = CG— CF = CH— CE

<EH<EK<FG, La nature de ces inégalités fait assez voir que le rapport F' G : F G, et par conséquent aussi le rapport angle FA G : F A G,

sera très-petit. De plus, de ce que F G tt F' G ont le même signe, il suit que F' tombe entre F et G. De même F', F'", etc. tomberont entre F et G. Mais, pour obtenir une idée plus exacte et générale de la rapidité de l'approximation, nous appliquerons le calcul. Soient angle B A D= ^

Tirons A G, coupant B Dh angles droits en 0, et cherchons la relation qui existe entre ?, ?'■

Du triangle G A F' nous tirons

sin (l + ? ^

mais

sin (i—f'y

À G ^AO ç. AO ^ /ô \

= = 2 = 2 ces 1 2 — f );