CF' CE AE

sin donc 2 cos

sin

DilTérentions cette équation par rapport à <f\ nous aurons

cos (^3 4- f ) sin (^^ — 'f^ -i- sin (\^ -h '/)cos(^5 — ^')

sin»g f)

2 sin (^ — 3>) =

sin ^

Formant les quarrés des membres de celle équation et de l'équation (1), et ajoutant les résultats membre à membre, afin d'éliminer f. nous obtenons :

d'où

^sin' Çs + f) sin'l

sin« (^-f) (^y si»' (^-^')

sin'â

Appelons > la limite de ^, pour ?' = 0 , nous obtiendrons de la dernière équation :

sin' 5

sin'^ Ô \ ^ '^''^' 6 — S'»' 3 )

d'où

sm^

2 sm' g

ou > = ^-2 (3)

2 sin» g

1 + 2 cos r^ ou enfin x = ^ (U)

1 — cos g

Dans notre figure F, F, F", etc. tombent, ainsi que nous

l'avons vu, entre C et G. Si F tombait sur le prolongement (le C G, on ferait voir tout semblablcmenl que F\ F \ etr. tomberaient aussi sur ce prolongement, et entre F et G. Dans le premier cas ?' est positif, dans le second négatif. Considérons le premier cas, nous avons par la figure

? <G AOoul;

de plus B A F ou^-\-f < B A C ou ^;

donc aussi longtemps que ^ est un angle géométrique propre-

ment dit, c'est-à-dire plus petit que deux angles droits, ^ H- -■>'

est aigu. Lorsque 6 est tel et que ?' diminue, nous voyons donc que le premier facteur du dénominateur de la formule (2) augmente; et quant au second facteur, qui doit (Mrc positif

tant que J- est réel, il augmente aussi, puisque son terme positif augmente, tandis que son terme négatif diminue. Ce dénominateur augmente donc lorsque?' diminue, d'où il suit que

1^,1 diminue avec? jusqu'à ce qu'il atteigne sa limite /" lorsque ?' =0. On voit du reste facilement, par la figure ou par la formule (I), que lorsque ? diminue il faut nécessairement que ? diminue aussi; de sorte que les accroissements correspondants de ?, f sont constamment de même signe : donc /,

fl?

et sa limite / sont toujours positifs; donc -p diminue aussi avec ?' jusqu'à ce qu'il atteigne sa limite > lorsque ?' = 0. Tant que ?' n'est pas zéro, on a donc

(If

OU df >. / d<f' .

Il suit évidemment de la figure ou de la lormule (1) que?. ?'

deviennent nuls simultanément, et la dernière inégalité donnera donc par intégration

\ df> Uf

ou ?>>■?".

Si l'on appelait ^' la valeur de -p correspondant aux valeurs

■h V de î». ?'. on prouverait de la même manière que, pour des

valeurs de «p, ? plus grandes que 'h /' on aurait

? > ^' ?'■■' on intégrerait entre les limites j', ? et 4''» î"' au lieu de 0, ? et 0, ?'•

Il est donc démontré que le rapport -^ diminue avec ? ou f jusqu'à sa limite >, et par conséquent l'approximation obtenue par notre méthode sera plus rapide que si le rapport ^ était constamment î'-

Dans le cas où f serait négatif, on pourrait prouver tout semblablemcnt au moyen de la formule (2) que le contraire aurait lieu, ou que l'approximation serait moins rapide que si le rapport |^, était constamment >• Au reste, en pratique, l'approximation sera si rapide dans les deux cas, qu'il importera peu lequel se présentera.

Pour en revenir au cas de ? positif, nous avons

•- > X ou ? < ^ ,

-,- > ^ ou ? < f ,