OU
donc multipliant :
?^ > >" OU f"' < l„.
De la formule {k) il suit facilement que, tant que ^ < ^ ? ^
augmente lorsque 5 diminue.
Considérons quelques cas particuliers. Appliquant la formule {k), ou la formule (3) qui s'adapte au calcul logarithmique, nous aurons :
pour 9 = ff, y^ = U
Quand e est très-petit, on peut remplacer les sinus de la formule (3) par les arcs correspondants, et cette formule devient
Appliquons notre méthode à un exemple. Prenons 60° pour valeur de Tangle donné, et 1" pour valeur de la première er-
reiir ?• Celte erreur n'est pas trop petite pour ôlre dénoncée par la figure; car, puisque l'angle C /i F = 2 C A E, nous tirons du triangle C F E :
Cs--)
et. dans le cas particulier que nous considérons, nous aurons
CF sin 18" 0,8622898...
CE sin 21" et nous pouvons bien admettre que l'inégalité de deux lignes dont le rapport a cette valeur soit sensible à la vue. Ainsi, dans l'application, la première erreur serait plutôt plus petite que plus grande que 1".
Ayant admis 1" pour première erreur, nous aurons donc, puisque > = 47,7509 :
io
la â""* erreur ?' < ,
la 3"'' erreur ?<!, 47'
lan""* erreur ?^"~" <
La méthode géométrique d'approximation que nous venons d'exposer sera excellente dans l'application, tant que A C sera plus grand que A B, ou tant que l'angle donné ne dépassera pas 120°. Lorsque cet angle sera très-obtus, A C, C G deviendront très-petits par rapport à A B; ce qui, dans l'application, nuira nécessairement à l'exactitude des résul-
— Mitais : mais on pourra, dans ce cas, appliquer la méthode au supplément de l'angle donné et retrancher le résultat de 60**. 11 est clair qu'il sera avantageux de prendre A B aussi grand que possihle.
Lorsqu'on aura obtenu une position de ÂF, AF, etc. suffisamment approchée, on obtiendra facilement l'autre ligne de trisection de l'angle donné en coupant sur le prolongement de B C une longueur égale à la dernière valeur obtenue de C F, C F', etc., ce qui fournira un point de la ligne requise.
En vertu du « principe de continuité » de la Géométrie moderne, il est clair que l'application de notre méthode d'approximation pourrait s'étendre à un angle trigonométrique quelconque; et les recherches analytiques que nous avons faites pourraient être interprétées, dans le cas général, par le principe algébrique de la « permanence des formes équivalentes » (principe qui , jusqu'à un certain point , correspond en Algèbre à celui de continuité en Géométrie) : mais une telle' extension de notre méthode a trop peu de valeur pour qu'il vaille la peine de s'y arrêter, puisque un angle trigonométrique quelconque peut toujours être divisé en un multiple de trois angles droits et un angle plus petit que trois angles droits, lequel dernier angle, s'il ne rentre pas dans les cas que nous avons considérés, peut lui-même être divisé en un angle valant deux angles droits et un angle aigu.
La valeur géométrique ou pratique de notre méthode peut être considérablement étendue: car, de ce que l'on prou\e en Algèbre que la résolution d'une équation du troisième degré, dont toutes les racines sont réelles, peut être ramenée à la trisection d'un angle par l'application de la Trigonométrie, il suit que tout problème dont la solution analytique dépendra d'une telle écpialion, et qui par conséquent ne sera pas du do-
rnainc lU; la Gcornt'liic élcMiuMilaire, poinra ôlic ramené au problème de la trisection de l'angle cl résolu approximativement par noire méthode.
Si l'on avait une méthode d'approximation analogue pour l'extraction géométrique de racines cubiques, on pourrait l'appliquer semblablement aux problèmes dépendant analyliquemenl du cas dos équations du troisième degré où il n'y a qu'une racine réelle.
SOLITIO^ APPROCHÉE
