INDEFINIE

On a généralement sin 6 = d'où il suit que

sm e = 2° cos 2 cos 2? cos ^ cos ^i sin ^s

e = sine sec ^sec ^isec ^s sec^ q-

sin^-ïT

Soit A M B un arc de cercle à rectifier, ayant C pour centre. Tirez le diamslre B C D, puis C M N parallèle a D A, coupant le cercle en M; tirez C M' N' parallèle à D M, C M" N" parallèle à D M', et ainsi de suite : C M partagera

* J'envoyai le contenu de ce travail, au prinfennps de Tannée 1861, aux éditeurs du « Quarlerly Journal of pure and applied Mathematics », publié h Londres.

l'angle A C B en deux parties égales; de même C M' partagera M C B en deux parties égales, et ainsi de suite. Élevez A N perpendiculaire sur C A, N JS' perpendiculaire sur C N,

N' iV" perpendiculaire sur C N\ et ainsi de suite. Du centre C décrivez l'arc de cercle N Q, prolongez N N' jusqu'en P, prenez

et abaissez les perpendiculaires Q V. B S. P U sur C A. Supposez que des conslruclions semblables soient faites en partant des points N\ A'", au lieu de iV; la figure fait facilement voir qu'après n constructions semblables (celle par rapport à N

étant la première), on aura, appelant ô l'angle A C D; r \q rayon C A; Q V,, P U,, H S„ les n^'' lignes Q V, P U, RS:

^ rr • 0 9 0

Q V^ = r smo sec ^ sec ^, •.•• sec ^^

. e sin 2;.

= r ô 0 , (Voyez ci-dessus)

et développant le sinus en série :

QV =r0( 1 — ^-5l + -i- «1 1-51-4- Y

De plus

^ tr„ = 0 F„ sec ;- = r

— r e ^1 -^ 2 ^Ta -^ 15 2*"" "^ 315 2'" 2835 2»- "^ ' ' ' ' / • donc

— ^«^1 "^ 2ûF"~*~ 5(5F> you2«n~^ •••• y- Lorsque s n'est pas très-grand, par exemple lorsqu'il est

moindre que l'unité, ces formules font voir que Q F„, P I7„, et surtout R S„ qui ne contient pas de terme en 9*, ont des valeurs fort rapprochées de r 0, ou de l'arc A B, même lorsque n = \. Lorsque e est près de la valeur 7^, les constructions

deviennent inexactes et même impraticables; mais on pourra

La quadrature indéfinie proprement dite s'achèvera facilement de la manière suivante :

Sur un diamètre D B prenez

D E = RS, élevez l'ordonnée E F perpendiculaire sur DE , joignez D F, prenez G milieu de D F, ou, ce qui revient au môme, abaissez C G perpendiculaire sur D F ; D G sera le côté d'un quarré, égal au secteur C A M D au même degré d'approximation que celui de l'égalité de /î S el arc A M B.

En eiïei D G' =\ D F' = \ D B X D E =1 C A X RS;

mais C AM B = lc A X A M B,

ainsi DG': C AM B = RS : A M B,

ce qu'il fallait démontrer.

Si R S était plus grand que le diamètre, on pourrait prendre

DE=:\rS,

alors il est facile de voir que D F lui-même serait le côté du quarré cherché, au même degré d'approximation que précédemment.