PREMIER PROBLÈME
On demande la racine quatrième de 390625.
Formule.
a+ 4a5b+6a?b?<+4ab5 Xb4+ Opération. Epreuve du 5.
390 625 | 25 racine. 4X25X5 = 160000 —16 D", 6X22x5°= 60000 230. 625 | 4X25=32 4X2 X55—= 10000 —230 625 d4%= 625
D’après la formule, le nombre proposé contient la quatrième puissance des dizaines, + 4 fois le cube des dizaines X les unités, etc.; mais la q'atrième puissance des dizaines ne peut être que dans les dizaines de mille, car 10% = 10,000; c’est pourquoi on sépare quatre chiffres par un point. On extrait ensuite la racine, quatrième de 39, c’est 2, et on l'écrit à la racine, puis l'on porte 16, quatrième puissance de ce nombre, sous 39 pour l'en soustraire, et on écrit, à côté du reste 23, la tranche0625, pour former ledividende partiel 230625, dont en sépare trois chitfres.
Ce nombre comprend 4 fois le cube des dizaines X les unités, + 6 fois le carré des dizaines X le carré des unités, etc. ; mais 4 fois le cube des dizaines X les unités ne peut être que dans les mille, car 105 X 1 = 1.000; c’est pourquoi on sépare trois chiffres au dividende.
D’après ce qui précède, 230 est donc principalement composé de 4 fois le cube des dizaines X les unités. Or en divisant ce nombre par 4 fois le cube des dizaines, les unités viendront au résultat, car la division d’un produit par l’un de ces facteurs donne l’autre facteur au quotient. Le diviseur égale donc ici 4 X 25 —32. La première partie du deuxième terme de chaque formule indique la composition des diviseurs particuliers (1).
Le quotient de 230 par 32=5; on l'écrit à la racine, et pour s'assurer qu’il est effectivement le chiffre des unités, on fait successivement les opérations indiquées par les termes de la formule, moins le premier, c’està-dire, dans le cas présent,
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(1) Nous avons renfermé cette partie entre deux points dans toutes les formules que nous avons données,
1° des di faut y X les puisq:
X le ajoute dizain que d 3° unités car 4 donne unités Ce du 5.
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1° On multiplie par 4 le produit de la 3° puissance des dizaines 2 par les unités 5; 4 X 25 X 5 = 160: il faut y ajouter trois zéros, car 4 fois le cube des dizaines X les unités ne peut donner moins que des milles, puisque 105 X 1 = 1.000;
2° On y joint 6 fois le produit du carré des dizaines X le carré des unités ; 6 X 22 X 52 = 600 : il faut ajouter deux zéros à ce produit, car 6 fois le carré des dizaines X le carré des unités ne peut donner moins que des centaines, puisque 102 X 1? — 100:
3° Plus 4 fois le produit des dixaines X le cube des unités; 4 X 2 X 55 — 1.000: il faut y ajouter un zéro, car + fois les dizaines X le cube des unités ne peut donner moins que des dizaines, puisque 10 X 15 10(1);
4° afin on joint au tout la quatrième puissance des unités; 5= 625.
Ces opérations sont réalisées sous le titre Epreuve du 5.
On retranche ensuite du dividende la somme 230625 et, comme il n’y a pas de reste, on en conclut que 25 est bien la raciae exacte de 390625.
Si la soustraction ne peut s’opérer, c’est que le chiffre qu’on vient d'essayer est trop fort ; il est trop faible si le reste surpasse la somme des résultats des opérations partielles, indiquées sur a seulement, dans tous les termes de la formule moins le premier, et réalisées sur le nombre qui est déjà à la racine.
(1) Remarquez qu'on ajoute à chaque produit partiel autant de zéros qu’il y a de termes dans la formule, après celui sur lequel on opère, ‘
Formule
Pour A Pour B
de ces Opérations.
Pour C 4a5 +6a? + 4a Pour D 5a* + 10a5 +10a2—+5a Pour E Gaÿ+-15a4420a5+15a2+6a
DEUXI Quelle est la racine
Epreuve du 3.
