A) RECHERCHE D’UNE LIMITE DE (X, Ÿ
Tuéorème Î[. — Lorsque u, v varie de façon arbitraire, la condition (u, v) — À étant satisfaite, le p. g. c. d. de X, Y, Zest nécessairement diviseur d’un nombre fixe, bien déterminé, indépendant de u et p.
Autrement dit, (X, Ÿ, ŸY) ne peut prendre qu’un nombre limité de valeurs.
Soit le système
[X = au + bur-lp +... + br, (S) Yu + | Z =a'u" + -..
Comme u et # sont premiers entre eux on peut répartir les facteurs premiers de (X, Y, Z) en 2 groupes :
19 Ceux qui sont les premiers avec u
20 Ceux qui sont premiers avec #.
Un même facteur premier peut appartenir aux 2 groupes, mais tous ont été considérés, ce qui nous suffit.
Soit p” la puissance maximum d’un facteur premier figurant dans (X, Y, Z) pour tout couple choisi u, », le facteur p étant supposé premier à ?.
Nous pouvons poser
u—= ay (mod p), et le fait que
p” | X, Y,Z, s’écrit (am + +1) gn(aam+...+l) Z=O0 (mod p”), ADI EE EN) ou VAR (4) a'at +... +) Z=0 mod p"|).
Résolvons le système (1), par rapport à a, æ-l et at—2, ce qui se fait linéairement. Nous avons
Dar A anTs CRUE, @) D RRQ CE LS —= 0 (mod p"):
Dar EAN SR Ep"
En multipliant la 3° équation par « et la soustrayant de la 2€ et en opérant de même avec la 2€ et le 17€ nous obtenons
Aan—2 4 Bar-3 +..+L A'an—2 + B'an-8 + ... + [' = 0 (mod p”).
A''an-2 + ...
En poursuivant ainsi on arrivera soit à un système du 4e degré, soit à un du 2€.
1er Cas : système linéaire
Ces 3 congruences ne sont compatiblés que si p” / les 3 mineurs.
É = a b'! PT LRS b'e", C et (RE donc
(C, C’, C”) est donc une borne supérieure des diviseurs du 2e groupe.
2e Cas : système quadratique
a +ba+e ga +b'a+tece —=90 (mod p’), a’ 'a2 + b''a + c d’où nous déduisons en résolvant par rapport à æ&, œet 1. De? = Da = D = 0 (mod p”).
Dans ce cas
D | abc!)
est une borne supérieure des diviseurs du 2€ groupe,
18 SOLUTIONS ENTIÈRES DES ÉQUATIONS DU GENRE [e)
En étudiant les diviseurs du 1e groupe on obtiendra une nouvelle borne supérieure et le produit de ces 2 bornes sera une borne supérieure de (X, Y, Z).
