B) PROBLÈME INVERSE
Les transformations que nous venons de faire ne sont pas nécessairement réversibles. Il importe de reconnaître si un diviseur de la borne supérieure qui est un diviseur logiquement possible de(X, Ÿ, Z) est un diviseur effectif pour un couple choïsi u, #.
Nous allons étudier cette réciproque du théorème I successivement :
10 Dans le cas linéaire ;
20 Dans les cas quadratique ;
30 Dans le cas général.
I. — Etude du système linéaire : \ — au + bv (S) Y = alu + be (u, ») = 1,
a, a’, a”, b, b', b'', peuvent être supposés premiers dans leur ensemble, car s’ils admettaient un p. g. c. d. D, on partirait de la représentation
1° Soit p un diviseur premier de (C, C?, C”’) supposé diviseur de (X, Ÿ, Z) et supposé divisant ».
Alors
pa, a', a’!
et réciproquement un tel p doit diviser # puisque p À (b, b', b”’).
Par analogie qg u si et seulement su qg a, a’ et a”. 20 Supposons maintenant que p + vu et soit
u = ap (mod p),
ÉTUDE ARITHMÉTIQUE 19 d’où ; aa + b a'ax + b —0 (mod p) a''a + Pa
congruences compatibles puisque C=C'=C"=0 (mod p).
L’un des 3 nombres a, a’ et a‘ au moins n’est pas nul (mod. p) soit a celui-là. Alors b aussi est différent de zéro (mod. p) car la 17e congruence donnerait
a = 0 ou u—=0 (mod p), solution que nous avons écartée. La congruence ai + b=0
définit donc x et cette valeur de « satisfait aux deux autres congruences.
Nous ferons le changement de paramètre suivant
au + bp = 0 (mod p),
ce qui peut s’écrire
Au + Bs = ps, en posant a = A(a;:b), b = B(a, b),
puisque p À (a, b) avec (A, B) — 1.
Nous pouvons trouver deux entiers C et D tels que
AD BCE et par suite poser Cu + Do = 1, d’où | Qu = Dps — Bt, (D 9 = — Cps + At.
Alors PI{X, Y, 2).
En posant u = Dp's — Bt, p = Cp's + At,
on verra quelle puissance de p figure dans (X, Y, Z).
Le nombre des transformations est limité puisque l’on 2 une borne supérieure de (X, Y, Z).
On pourrait aussi utiliser les identités
(au + bo) — a(a'u + b'o) = v(a'b — b'a), b'(au + be) — b{a'u + b'r) = u(ab' — ba’),
pour déterminer la puissance de p dans a°u + b'e connaissant celles de p dans au + bv et dans ab’ — ba’ et deux autres analogues relatives à a”’u + b'v.
