II. — Etude du système quadratique
X— au + buvr— œw?
(S) Y = alu + b'us — cv? (u, +?) = 1.
Z = au? + blu — c''#?
Pour la raison déjà donnée, les 9 coefficients peuvent être supposés premiers dans leur ensemble
Soit p un diviseur premier de D supposé diviseur de (X, Y,2). On peut supposer :
1er Cas : pfo. — Alors pJa, a’, a" et réciproquement un tel p est diviseur de p.
Si et seulement si
ple(bu +o ; v(bu + co) 3; v(b''u + c'#),
condition satisfaite soit par
(11) pl”, (12) plbu+cæ 3; bu+ce 3; b'u + cr, (13) P | 9 et p l bu + ce ; b'u - c'o ; b''u + PUR
Dans chacun de ces cas nous remplaçons le couple u, » par un couple s, t, par une transformation homographique comme dans le cas du système linéaire.
2e Cas:p À v. — Posons alors
u = «(mod p), et nous devons avoir 1 a+ ba+c (S) a'a + b'a+c —=0 (mod p).
Aucun a n’est nul (mod p). — En éliminant & entre ces congruences, on obtient Ca —B (4) Ca—B' —=0.
Ces 3 congruences sont compatibles car en éliminant « entre elles on obtient
CB'—BC'—=4"D=0 et
11) L'un des C n’est pas nul (mod p). — Par exemple C. La 17e congruence (4) donne
Ce ME
Cette valeur de x satisfait à la 17€ congruence (S).
ax + ba + c=0, si et seulement si
aB? + 8BC + «C2? = 0, ce qui s’écrit, en tenant compte de
aA + BB + «€ = D=0,
a(B? — AC) = 0, ou B2 — AC =0 car pra
Mais alors si B? — AC = 0, les 2 dernières congruences (S) ont leur résultant nul (mod p) et ont une solution commune qui est précisément cette valeur +.
La condition B? — AC = 0 est donc nécessaire et suffisante pour que p/(X, Y, 2).
12) Les 3 C sont nuls (mod p). — Si les 3 À ne sont pas tous nuls (mod p) nous poserons
p—=fu (mod p)
et le système (4) deviendra
qui nous ramène à un cas déjà étudié.
— Siles 3A sont nuls.
u GENRE O
lues par rapport à b
121) Soit l’un des b + 0. — Par exemple b.
Les congruences A A AT CG GG réso
DA bi 1e peut s’écrire +=?
donnent :
car A! = bc! — cb =0 20 AE Nr Le —— 9 a b c 11 b'' c'’ ?
se réduisent à une seule.
et les 3 congruences (S) 122) Les 3b sont = 0. — Le système (S) devient
ax? + c (2) | a'è+c —=0, a''a? + c!
résoluble seulement si ac —ta"= ec! — da! a — a" —=0, ce qui s'écrit 11 11 ! ’ c He AAC ne et ne) du
une seule par exemple à la 1€
puisque p ne divise aucun à.
te quadratique de p.
Les 3 congruences se réduisent à qui est possible si, et seulement si, —acestres
2) Un ou plusieurs d sont nuls, aucun C ne l’est (mod p).
Nous poserons v = fu (mod p),
et les congruences (S) deviendront
PR
N analogues à celles que nous venons de résoudre 3) Un a est nul par exemple a = 0 (mod p).
Les systèmes (S) et (L) deviennent ba + c (S:) al + b'a + c' a''a2 + b''a 4 c'!
= 0 (mod p),
ÉTUDE ATIRHMÉTIQUE 23
et Ca —B—=0,
Les congruences (S1) n° 1 et (L1) sont compatibles, car leur résultant est
bB + «QC = D — a = 0 (car p / a).
Les 2 dernières congruences (S1) sont compatibles si, et seulement si, leur résultant
B2 — AC = 0, (mod p).
Leur solution commune dans ce cas est la valeur de « précédemment considérée.
4) Deux a sont nuls, par exemple, a’ = a” = 0 (mod p). Le système (S) devient
a + ba + c (Sa) b'a+c —=0.
{ b'a "e ce"
Les 2 dernières congruences sont compatibles car leur résultant est Aet l’on a aA + a'À' + a'A"=D=0, et a = a" =0 (mod p) et a Æ 0,
donc
Donc p divise (X, Y, Z) si, et seulement si, cette valeur de « satisfait à ae? + ba + c = 0, e’est-à-dire si
a'c''2 — bb'c" + cb"2 = 0 ;
5) Les trois a sont nuls (mod p).
Le système (S) se réduit à un système linéaire dont nous avons déjà fait l'étude.
Remarquons d’ailleurs que les cas 3), 4) et 5) se simplifient du fait que 1 ou plusieurs c sont alors =0 (mod p).
Dans un exemple numérique, on aura avantage à déterminer une borne supérieure de (X, Ÿ, 2) inférieure à celle donnée.
Soient (A, A, A") 3 di,
(B, D; B"') = da, (C7 CH) dé,
Pour résoudre le système (S) par rapport à u?, uv, s? il suffit de multiplier les équations respectivement par
Re re. dis ) de” ; dy , ce qui donne q D 7 U (X Y, 2) (ou, D 2 TRE : D D Soit A le p. p. c. m. de 1 T de
Alors (XV 2) EME Que, /Aer,
Soit (X, YŸ, Z) maximum = p"...
p” est premier certainement à l’un des deux nombres u? ou r? ou moins. Donc
p" |A, et par suite À est une borne supérieure de (X, Y, Z).
Dans chacun des cas étudiés nous remplacerons le couple u, # par un transformé homographique s, t. La recherche de la puissance avec laquelle p figure dans (X, Y, Z) s’effectue comme dans le cas linéaire.
