DR RS QE A
Il n’est pas inutile de démontrer directement que ëX ou »Y ont le facteur 2 seulement à l’exposant 24 + 1.
En effet de
PAL Qui = 22...
on tire P+OQ0—0 mod)
puisque À et »? impairs sont = 1 (mod 4).
Le quotient de P£ +Q%? par 222 est impair.
a) il est = — 1 (mod 4).
b) il est = 1 (mod 4).
D’autre part, P et Q impairs ayant une somme nulle (mod 4) sont l’un = 1 (mod 4), l’autre = (— 1) (mod 4). Soit, par exemple
P=1 et Q=—1 (mod 4).
u? et #? carrés de nombres imapirs sont = 1 (mod 4). Le quotient de (nu — v£)? par 222, carré impair est = 1 (mod 4). Dans le cas a) le quotient de »Y par 222 est congru à
1—(—1)=2 (mod 4).
Dans le cas b) le quotient de £X par 224 est congru à Sen LUE EMA)
Dans les deux cas EX et nY divisés par 22+ le sont encore par 2 et non par 4, pour l’un d’eux.
4423) Si l’on posait 6 > x, EX comprendrait une partie divisible par 2?$ et l’autre seulement par 22* et par suite on a
(X, x Z) = 22a -.., ce qui est en accord avec la limite supérieure. 443) ete 2e, R = 2 d’où 2RE ERIC TERE Posons v&— un = 0 (mod 2°)
pÈ — un Æ 0 (mod 2P+1)
(BP < a),
EX contient 2 avec l’exposant 26 dans le terme QUE un)? et avec l’exposant 24 + 1 dans le terme PE? — Qr° donc avec l’exposant 2£.
nY-..
EnZ contient 2 avec l’exposant à + B + y dans un terme et 3a + 1 dans l’autre, donc au moins avec l'exposant 26.
Donc
4432) Pour B>a +1).
(nu — v£)? contient 2 avec un exposant supérieur ou égal à 2a +2 et PE? + Qr° seulement avec l’exposant 24 + 1. Donc
DC Y) 1} 20 ne
Ce théorème IV indique donc quel est l’exposant d’un facteur premier dans (X, Y, Z). Il est à remarquer que certains diviseurs de D ne peuvent être p. g. c. d. de X, Y, Z pour aucun couple u, #. Ce sont en particulier ceux qui contiennent un facteur p à un exposant impair.
Nous terminerons ce chapitre en indiquant quelques exemples schématiques et numériques.
Exemple schématique
Soient, par exemple
P = pyP»
Q — gi19293 R — riroh, 6 = AP
aucun facteur n'étant 2.
Pour que
(X, Y, Z) = pigigor1e?, il faut et il suffit que le couple w, » satisfasse au double système u—=0 (mod Qu qa)
(C) = 0 (mod p1), pt — un = 0 (mod r;, À, Pa),
ÉTUDE ARITHMÉTIQUE 37 et
u + 0 (mod g),
(N) fe Æ 0 (mod P2); P£ — un Æ 0 (mod r;, mod X, mod p, mod ?;)
| u + p Æ 0 (mod d).
En effet d’après le théorème III, seuls les facteurs q;, :, P ra À et p, figurent dans (X, Y, Z).
D’après le théorème IV ils y figurent avec l’exposant voulu.
Exemple numérique
Nous partons de la solution
Le système est alors
X = 3u? +592 — 2u(3u + 5v), Y = Su? + 52 — 2(3u + 5), Z = 230? + 5o?),
et nous avons :
D a 5.2.2 — 20 diviseurs donnés par le tableau
1 2e Et 8 16
» =0 ( (C) u = 0 (mod 5), p—u—=0 ( Le système (E) s’écrit X = 5(v — u}? — Bu?, Y = 3(» — u}? — 8r?, Z = Au — ») (3u — 56) + 1Guv.
Posons # — u + 28.
1) Si S est impair, (X, Y, Z) est divisible par 4 et non par 8.
2) SiS est pair, (X, Ÿ, Z) est divisible par 8 et non par 16, car u et s ne sont pas tous deux pairs.
(X, Y, Z) prend seulement 12 valeurs données par le tableau
1 4 8 1 pe { 9
ce qui est en accord avec le théorème IV.
Ainsi à chaque couple u, # est attaché un double système (C) et (N) déterminé par les théorèmes IIT et IV.
Pour chaque couple uw, » nous savons calculer (X, Y, Z). Nous remplaçons le système to et unique (S) par un HA limité de systèmes analogues correspondants aux différentes valeurs de CRT; 2) |
L'exemple suivant en montre bien le mécanisme.
Soit l’équation
avec la solution initiale
d’où nous tirons le système (S) X = u2 + p2 — Ju(u + 2v), Y = 2Q{u? + 0?) — 2o(u + 2e), Li = u? + sv?
On a ici De 10
Les congruences (C) sont ici
u + p =0 (mod 2), (©) {6 — 2u = 0 (mod 5),
et l’on aura -
[A Æ 0 hi (XV, 2) = ; si u+e . CR 10 = 0 = 0,
et le système (S) doit être remplacé par les 4 analogues.
1) X, Ÿ, Z tant que
Nr Æ 0, p — 2u Æ 0.
2) “> : 5 tant que ne u =0, p — 2u Æ 0.
3 0 D ES À ) 5? 5? 5 tant que ÉURE u Æ 0, Le + 2u =0.
> SES EAN / 4) 10° 10? 10 tant que UP) p — 2u =0.
Les systèmes 2), 3) et 4) contiennent sous forme apparente un dénominateur qui disparaît si l’on tient compte des congruences (C). On peut résoudre ces congruences en introduisant un nouveau couple S, t devant satisfaire bien entendu aux non congruences (N) et à la condition (u, #) ) = 1.
Pour préciser transformons le système (3).
= On doit avoir
|" — 2 =0 (mod 5), p + u +0 (mod 2), l (u + v) = 1.
Posons 9 — 2ù = DS, ù u — t, d’où = 5S + 2t
Ona(u,v) = 1si5ftetsi(s, it) — (2 ï Ona2{v +usiu et v sont de parités différentes. Le système (E) donne
