T) — FR AIR
1° La transformation (T) est bien birationnelle.
À 1 point x, y correspond 1 seul point £, ». Inversement, à 1 point Ë, » correspond 1 seul point x, y.
En effet, éliminons y entre les 3 équations
Re (E) 3 Q—nR= 0, ( f ==0
f(x, y) = 0 étant l'équation de la courbe, ce qui donne deux résultantes :
F=0 et pu
Eliminons x entre F et F1 par la méthode du p. g. c. d. La dernière équation obtenue F, — 0 ne contient pas x ; elle indique que les équations F et F1 ont une solution commune. L’avant-dernière équation obtenue Fy 1 — 0 est du premier degré en x. Elle définit x en fonction rationnelle à coefficients rationnels de Eet Ne J
S1 l'équation F;1 — (0 se réduisait à une identité soit d’elle-même, soit en tenant compte de l’équation F:-0, cela voudrait dire que les équations (E) ont 2 solutions communes toutes les fois qu’elles en ont une, c’est-à-dire que les adjointes
d'ordre n — 2 passant par un point fixe arbitraire de f passent toutes par un 2° point fixe, cequin’est pas.
La transformation est donc bien birationnelle à coefficients rationnels.
À la courbe f(x, y) — 0 correspond la courbe Q(Ë, n) = 0. Son degré est égal au nombre des points d’intersection de avec
la droite
aë + bn + c = 0,
ou de la courbe f avec le réseau
aP(x, y) + bQ(x, y) + Rx, y) = 0, c’est-à-dire à
nin—2)—(n—1)(n —2) = n—2.
En continuant ainsi, on arrivera pour n impair à une cubique qui, ayant 1 seul point double, aura ce point double rationnel, pour n pair à une conique ayant un point rationnel correspondant à À. On coupera la cubique ou la conique par une droite rationnelle pivotant soit autour du point double, soit autour du point rationnel: cette droite rencontrera la courbe en 1 seul point mobile, donc rationnel.
I y a donc bien une infinité de points rationnels.
On trouvera l’origine de ce raisonnement dans :
Picarp, Traité d’ Analyse, t. II, p. 549 ;
Porncaré, Journal de Mathématique, 1901, p. 102.
Il nous suffit maintenant de savoir reconnaître à quelles conditions une conique admet un point entier.
Décomposition en carrés. — Elle est bien connue ; il suffit de la rappeler en insistant sur le fait que les transformations effectuées sont à coefficients rationnels.
Soit la conique d’équation
(1) a? + bay + cp? + de + ey + f—= 01 40 Si a — 0 on a la solution = te 0 20 Si a Z 0 multiplions par 4 a. L’équation (1) s’écrit (2az + by + d}? + Dy? + A(2ae — bd)y + 4 af — & = 0,
D = 4ac — b?}
12 … SoLUTIONS ENTIÈRES DES ÉQUATIONS DU GENRE O 21) SiD — Oonalasolution
(2ax + by + d = 0, 2(2ae — bd)y + kaf — À = 0;
22) Si D Z 0 multiplions par Det l’on a D(2ax + by + dŸ + [Dy + (2ae — bd) = 4aE, et en coordonnées homogènes
D(2az + by + dz} + [Dy + (2ae — bd)z2P = LaEz, où ; E = ae + cd? + fb? — bde — hacf.
Faisons la transformation
2dx + by + az = À, Dy + (2ae — bd)z = n, 2 ==,
de déterminant 2a D Z 0 et l’on obtient l’équation (2) DE? + n°? — 4aEt? = 0,
équivalentes au point de vue solutions entières, car les transformations que nous avons faites sont linéaires, à coefficients rationnels et par suite réversibles.
Equation réduite. — Nous allons transformer l'équation (2) dela façon suivante :
19 Soient :
D = Ap° — LaË = Ca,
À et C étant sans diviseurs carrés L’équation (2) devient
(3) AXE + Y2+ C7 — 0 en posant X = p}, (S) = 0, ‘ Z =; 29 Soient :
À = ad
où d=—{A,C)
L’équation (3) multipliée par d devient.
(4) ax? + dy? + c2 = 0, en posant
Ge dx, (T) Vs 4
Wze— dl:
Les coefficients a, d, c, jouissent de la double propriété suivante : a) Ils sont sans diviseurs carrés car A et C le sont ; B) Ils sont premiers entre eux 2 à 2:
(a, d\) = 1, car À est sans diviseur carré, (dE =, » C » »
(a,c) =1, puisque d= (A, C);
Une telle équation prend le nom d’équation réduite.
Les transformations (S) et (T) sont réversibles : à toute solution rationnelle de (2) correspond une solution rationnelle de (4) et inversement. Il suffit donc de considérer l’équation réduite.
Nous renvoyons pour la démonstration du théorème suivant au livre de M. Bacamann, Zahlentheorie, t. IV ; Die Arithmetik der Quadratichen Formen, p.198.
Taéorème III. — Les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation réduite
PX2 + QY2 + RZ = 0 admette une solution entière sont que
— PQ soit reste quadratique de R, — QR ne » 2 — RP » » Q,
et P,Q,R, non tous du même signe.
Dans l'ouvrage cité ci-dessus on trouvera de plus le moyen d’obtenir un point entier.
Le problème algébrique de la recherche des points entiers est donc résolu et lorsqu'il est possible on abtient une représentation entière soit directement par la connaissance d’un point, soit par une suite de transformations birationnelles en utilisant la cubique ou la conique dernière transformée.
