V. — LA GÉNÉRATION DES NOTIONS MATHÉMATIQUES

Les notions mathématiques sont donc, en quelque sorte, des condensés de relations de raison; elles ont leur structure nécessaire

(x) Ad hoc autem quod aliqua habeant ordinem, oportet quod utrumque sit ens, et utrumque distinctum (quia ejusdem ad seipsum non est ordo) et utrumque ordinabile ad aliud. Quandoque autem intellectus accipit aliqua duo ut entia, quorum alterum tantum vel neutrum est ens; sicut cum accipit duo futura, vel unum praesens et alterum futurum, et intelligit unum cum ordine ad aliud, dicens alterum esse prius altero ; unde istae relationes sunt rationis tantum, utpote modum intelligendi

consequentes. Pot. q. 7. a. 11.

et sont sumises à des lois nécessaires, puisqu’elles ont pour rôle et pour essence de représenter des opérations intellectuelles et qu’elles sont soumises aux lois de ces opérations. Si nous n’ajoutions rien, on pourrait se demander comment ce qui n’a aucun fondement dans les choses en tant que telles se trouve cependant les régir absolument. En réalité, les notions mathématiques, bien que constituées par des relations de raison, ont pourtant une autre source de leur intelligibilité et de leur nécessité que l’intellect. Car les opérations de l’intellect qui constituent les objets mathématiques, si elles ne tiennent absolument aucun compte de la nature de ces objets ni de leur individualité, les considèrent pourtant comme des êtres (tous interchangeables précisément en tant qu’êtres et rien autre). La mathématique se trouve donc liée à l’ontologie, les notions mathématiques étant constituées avec au moins un minimum d’éléments ontologiques. Étudions cette génération.

1. La notion la première connue, première connue en droit, parce que tout se ramène à elle; première connue en fait, parce que la plus simple de toutes; la plus aisée à acquérir, la plus nécessaire à la vie, est celle de l’être. 2. Le jeu des remplacements, des oppositions entre choses ou notions, suscite en nous la négation (d’où le non-être, qui est toujours relatif). 3. De la négation vient la division : on limite en mettant une négation entre deux êtres. Ceci n’est pas cela. 4. La division à son tour suscite la négation d’elle-même : la négation de la division s’applique, non au rapport entre éléments, mais aux éléments eux-mêmes. C’est l’unité : si cet être est divisé de cet autre, il n’est pas divisé en soi. 5. Les unités sont rapportées les unes aux autres, bien entendu, non en tant qu’individus ou en tant que natures spécifiques, mais en tant qu’êtres indivis. J'ai ainsi la multitude. Cette multitude, faite d'êtres non divisés en eux-mêmes, est d’ordre ontologique, non d’ordre mathématique. En effet, elle ne deviendra une notion mathématique qu’au moment où l’unité y jouera le rôle de mesure. Il y a donc à distinguer une unité transcendantale et une multitude transcendantale (5), une unité numérique et une multitude numérique (6) (1).

Saint Thomas fait remarquer que cette génération est théorique, correspondant à l’ordre intelligible idéal, et non à l’ordre de notre connaissance empirique : la grande loi s’applique ici que ce qui est {premier en soi » ne l’est pas du tout dans notre évolution intellectuelle. Pour nos sens, les multitudes sont données avant les unités,

(1) Pot. q. 9, a. 7, ad 15. Sum. Th. F3, q-11, 2. 2, ad 4:

nt ES DD à 703 tn. |

nous saisissons en bloc les ensembles avant de discerner les éléments. Mais lorsque l’intellect s'efforce de se soustraire aux habitudes sensorielles et de penser par lui-même, il pense l’unité avant la multitude. D’ailleurs la multitude n’est pas chaos, éparpillement pur : pour qu’elle soit un groupe, il faut qu’elle ait quelque unité, au moins dans notre pensée. Si la notion de multitude ne présuppose pas l’unité numérique, elle présuppose l’unité transcendantale; et la négation qui constitue l’unité n’est pas une négation de la multitude qui la présupposerait, mais la négation de la division interne (1).

Unité transcendantale — unité numérique : le passage de l’une à l’autre est décisif : c’est le passage de l’ontologie à la mathématique. Comprenons bien que ces deux sortes d’unité ne sont pas sur le même plan. La première dépasse la quantité et est sans rapport à elle : c’est l’être indivis; la seconde, au contraire, est obtenue par une division de la quantité. La première n’ajoute, par elle-même, rien à l’être : nier que l'être soit divisé ne lui confère pas un caractère positif, de telle sorte que l’unité transcendantale est simplement la substance indivisée. A l'inverse, l’unité obtenue par division de la quantité ajoute à l’être de l’objet, car elle a le caractère de mesure. De même s'opposent la multitude transcendantale et la multitude numérique. La première n’ajoute rien aux êtres qui en forment

: l’ensemble : elle requiert seulement que chacun d’eux soit un (indivis

en soi) et reste distinct des autres. C’est pourquoi, dans la Trinité divine, un et trois ne sont pas des nombres nombrants, mesurants, ils sont identiques à l’être : traduit en notre langage, cet énoncé signifie que le nombre cardinal est la multitude transcendantale. La multitude numérique, elle, ajoute à l’être des éléments qui la composent, puisqu'elle est constituée par la répétition de l’unité étalon qui est le principe de sa génération et la norme de sa mesure. L’'ontologie ne connaît que le même, l’autre, la distinction, l’indivision, le groupe; la mathématique se meut toujours dans la quantité et n’opère que par la mesure (2). De l’une à l’autre, la pensée accomplit un passage, nous dirions mieux un saut qui, conditionné par les choses, est aussi conditionné par sa propre nature, puisque les matériaux des opérations et les opérations elles-mêmes changent du tout au tout : la pensée passe de l’abstraction philosophique à l’abstraction mathématique. Nous venons de constater en quoi diffèrent ces deux abstractions : il a suffi d’analyser les relations entre les objets, et les

(x) Pot. q. 9, a. 7, ad 15.

(2) Pot. q. 9, a. 7.

procédés de la pensée, soit commune et métaphysique, soit mathématique. Mais constater n’est pas expliquer ni justifier. Il importe de chercher, au cœur même de l’être et de la pensée, l’origine et la légitimité des deux abstractions.

Légitime comme procédé de travail, et pourvu que nous soyons bien conscients du morcelage qu’elle opère, l’abstraction n’a pas le droit de feindre que l’être concret un soit multiple; elle n’a pas davantage le droit d’isoler les accidents de la substance, puisqu'ils jouent par rapport à elle le rôle que joue la forme par rapport à la matière, et puisqu'ils ne peuvent être compris que par elle. Seulement, les accidents s’attachent à la substance en un ordre déterminé, à savoir : a) la quantité, b) la qualité, c) les « passions » et mouvements. La quantité, qui porte les autres accidents, peut être comprise sans eux, tandis que ceux-ci ne peuvent être compris sans clle. L’abstraction qui l'isole est donc légitime (pourvu, comme on l’a dit, que cette abstraction ne soit pas prise pour un morcelage réel), et par elle se constituent les notions mathématiques (x).

Saint Thomas s’est arrêté au seuil de la mathématique, à l'endroit précis où l’unité numérique commence la génération ordinale des nombres. Cependant, s’il n’a entrepris nulle part de décrire cette génération, il a tenu à dire qu’elle n’inaugure pas, après les notions ontologiques, un autre monde dans lequel il ne subsisterait aucune trace du premier. L'unité numérique est une détermination de l’unité transcendantale; et à l’intérieur de la multitude numérique continuent de jouer les oppositions qui font la multitude transcendantale. En effet, qu’il s’agisse de l’une ou de l’autre multitude, elle est multitude parce qu'il y a division ou divisibilité. Tout ce qui cause division, cause pluralité. Or cette cause est à envisager différemment, selon qu’elle agit dans les ensembles postérieurs et complexes, où entre les éléments simples et premiers. Dans les ensembles postérieurs et complexes, le principe qui opère la division est la diversité des éléments simples et premiers : par exemple, on divise une ligne parce que ses parties occupent des places différentes. Ou sans doute, encore (ces exemples-ci ne sont pas de saint Thomas), on compte les moutons parce qu'ils diffèrent individuellement, ou on énumère la série ordinale des nombres, parce qu’il existe des multitudes d’êtres qui peuvent être objet de numération. Pour créer des unités et des groupes quantitativement mesurables, il faut disposer, comme matériaux, d’entités distinctes les unes des autres : la distinction transcen-

(x) Boet. de Trin. q. 5, a. 9e

dantale est toujours présupposée par la division mathématique.

Mais alors la distinction transcendantale ne repose sur aucune autre distinction, elle est première. La distinction de l’âme et du corps, ou toute autre distinction substantielle ou qualitative, suppose la distinction du même et de l’autre : celle-ci est primitive. Or la distinction transcendantale du même et de l’autre nous ramène à l’opposition de l'affirmation et de la négation : l’être ne diffère pas de l’être en tant qu’être, mais en tant que non-être. C’est pourquoi, quand il s’agit des notions premières, les propositions négatives ne sont pas réductibles, elles sont immédiates, affirmer cet être-ci est nier celui-là : la négation n’est pas un néant, elle est une absence.

Partout ainsi, dans les notions mathématiques, dans les jugements mathématiques, subsiste, implicite et invisible, le jeu des oppositions ontologiques : dans la diversité des notions les plus complexes agira l« efficace de la première cause », à savoir de l'opposition entre être et non-être. Nous pouvons dire, avec Boèce, que l’altérité est le principe de la pluralité et, par là, de toutes les constructions mathématiques (1).

Nous ne voulons pas ajouter, aux doctrines enseignées par saint Thomas, des applications, quelque naturelles et même quelque irrésistibles qu’elles se présentent. Il est évident, par exemple, que la multitude transcendantale, étrangère à la mesure et donc à la sériation ordinale, est un pur ensemble. En faisant correspondre chacun à chacun les éléments de ces ensembles, on obtiendrait un nombre cardinal. Les multitudes cardinales appartiennent donc, en tant que telles, à un domaine antérieur au domaine proprement quantitatif. Ces applications ont été faites récemment; mais il ne nous appartient pas de dépasser la tâche strictement historique qui est la nôtre.

(x) Boet. de Trin. q. 4, a. 1.