AUTRE MANIÈRE D'ÉTUDIER LA DISTRIBUTION DES PÉRIODES DES BINAIRES

N. 35. Choix d'une fonction convenable de la période. — Comme les périodes des Binaires, examinées dans leur ensemble, varient considérablement, savoir :

de 0i,33 pour W. UMa, à 3,963 X 106 jours pour À 7.203,

il est (comme on a pu s’en apercevoir), difficile d’en étudier la répartition entre des intervalles d’égale amplitude, que cette dernière ait pour valeur un siècle, un an ou un jour ; dans le premier cas, on obtient une idée imparfaite et même fausse de la distribution, dans les deux autres cas le nombre des intervalles à considérer est beaucoup trop grand. |

Nous procéderons donc autrement : à chaque valeur P de la période exprimée en Jours, nous ferons correspondre la quantité :

(8) . Netlog (UP):

en prenant pour X la valeur du logarithme décimal de (10 X P) (*). Alors, quand P varie de 0,33 à 3,963 X 1056 jours, X varie seulement de 0,52 à 7,60 ; à l’étude de la répartition des valeurs de P, nous substituerons celle des valeurs de X : nous chercherons donc-le nombre des valeurs de X comprises dans des intervalles successifs égaux par exemple à 0,40 (**). É

A l’ensemble très étendu des périodes correspond alors une suite, d’amplitude beaucoup plus restreinte, de valeurs de X — log (10 P), toutes positives, réparties en dix-neuf groupes seulement pour la totalité des Binaires tant Visuelles que Spectroscopiques. Dans le groupe de rang 1, les limites entre lesquelles varie X sont alors :

0,40 x (1: — 1) et CAO,

(*) L’emploi de log (10 : P) au lieu de log P, permet de n’avoir que des logarithmes à caractéristiques toutes positives.

(**) Cette valeur de l’intervalle est celle employée par Otto Struve (R. 14).

(R. 14) Otto Struve : M. N. 86, pp. 65-66, 1925.

et la valeur moyenne de X correspondante est alors :

N. 36. Répartition des valeurs de X — log (10 - P). Représentation graphique. — Le Tableau 13 donne la répartition des valeurs de la quantité :

XP Iom (TO PT

Les lignes (1), (2) et (3) fournissent respectivement pour chaque groupe :

(1) le numéro du groupe ;

(2) les limites des intervalles relatifs à X — log (10 . P);

(3) la valeur moyenne de X — log (10 : P) pour ce groupe.

Les autres lignes du Tableau donnent successivement la répartition des valeurs de X pour les diverses catégories de Binaires envisagées au paragraphe N. 4. ,

Les résultats trouvés, consignés dans le Tableau 13 sont représentés graphiquement dans les figures 5 a et 5 b obtenues en portant en abscisses les valeurs moyennes de X = log (10 : P) relatives à chaque groupe de périodes considéré, et en ordonnées le nombre AN de Binaires correspondant pour les cinq catégories :

| [SI a ee) Figure 5 a | [BV] Re [BS + BV + BV’ (C)].

[BV + BV]

N. 37. Introduction de la moyenne géométrique des périodes. — Représentons par P,; la valeur de la période telle que :

X, = log (10 : P,).

S'il y a nr, valeurs de X égales à X,, la moyenne arithmétique X des quantités X pour une catégorie donnée de Binaires, sera fournie par la formule :

x ZX; En log (10- P) Zn; Zn,

où & = 1,2, 1, si X prend / valeurs différentes. .

Représentons par P, la valeur de la période telle que :

X = log,, (10 - P,); nous aurons alors :

Zn, log (10. P;)

log (10: P,) Se

et comme :

log;,5 (10 : P) = 1 + log,, P, il vient après simplification :

Zn, log P; En; :

log P, —

et par suite :

ROSÉ 1 DUC OA 0 np ARS QE 2 PEAR

P, est par conséquent la moyenne géométrique des valeurs de P.

Donc :

A la moyenne arithmétique X des valeurs de X relatives à une catégorie donnée de Binaires, la formule :

X = log:6 (10 - P,),

fait correspondre la moyenne géométrique P, des valeurs de P relative à la même catégorie.

Les valeurs de X figurent dans la colonne (2) du Tableau 14. Celles de P, ont été calculées pour les cinq catégories de Binaires envisagées au paragraphe N. 4, et sont indiquées dans la troisième colonne. Pour les catégories [BV] et [BV + BV’], nous avons donné en outre les valeurs de P, exprimées en années. La valeur P moyenne arithmétiqüe des périodes, relative à chaque catégorie et calculée plus haut, figure, à titre de comparaison, dans la quatrième colonne, le nombre de Binaires correspondant étant marqué dans la cinquième. Enfin, les colonnes (6) et (7) fournissent respectivement, pour

Fic. 5 a. — Répartition des quantités X — log,, (10 - P) pour les catégories [BS], [BV] et [BV+BV'].

: ESANEAOR ++ ui Ces+8v+8 2 Q)] oo F o | 7 ; RE È h à lof re eË © je ù re : \ :

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ki 6,60 7.00 7,40

SE SOL CN La sie cn eu Se e0 0eme QU Set MANIA : F16. 5 b. — Répartition des quantités X — log;, (10 : P) pour les catégories [BS+ BV — (C)] et [BS+BV+BV/—{(C)].

eee | p le le |6r | 97 | oc | ox | sr | 67 | oz | cr | ex | #2 | 90 | 62 | 18 | Se | 3 || — |[(9)}— Ag+Aga+$al| (8) 26% | — | — | — | 37 | ge | 19 | 1e | 7 | 9r | 61 | £r | 6 | va | 9 | 60 | 18 | SG | 3 | — [(9)—Ag4+Sa] (£) PA AV ES 20) Per ENT A AO A Er AVE A AT NE QE AO GS Se nt |A den (AS +A] (9) A ol 2e De PEN DE IS ON 2 10 er AA LE PR A UE QE ES A PS A A A Er Or [A4] (9) PET 8 AE VARIE Pc D LA REA UE PS DTA ne A ec NN 7 AS [sal (3) 0® ‘lo ‘clo9‘9loz‘9lo8 ‘sos ‘slo0 ‘clog ‘%loz ‘los ‘eloz ‘el 00 ‘elo9 ‘zloz ‘3 08 ‘110% ‘71007109 ‘0107 ‘0 (q : 07) 801 (8) So ro | toner in es æ | & | & | N ne AN AM 2 | © (4 : 01) $01 = X [se] œ Æ © [er] Le] Co Æ © (VO Le) Q Æ (==) a LS) [+] Fe [æ) PSE SAIS REUT ENS ANS AS INSEE NS NE EN RCA IR inod (z) SI SI [er] a œ [SA [SA Æ Æ Æ (we) (#b] ND Le] 9 Cond Lo [æ) [=] NN ts 600 Ne MSN Mel rte ele Rio bte] e lt ile | fe saJTUTT © [=] =) (a, =, (æ)] (=) O (= (=) ED} [=] (= [æ)] œ a (=) (=) © . o | * ” RE M TS ER A TE ASE DEAD CURE tan pe adnoxs np OL GE er MANN Or enr ST AA TA OP GAS NEA "SET EN ENS RTE SZ DT Re (t)

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chaque catégorie de Binaires, les abscisses X, des sommets de la courbe de distribution de la variable X, et les valeurs correspondantes P, de la période dont il sera question au paragraphe suivant N. 38.

(1) (2) (3) 72, At) (5) (675 a) à P, = Moy. GÉOM. PEN oYe ABSC. DES CATÉGORIE X + e.p. DES PÉRIODES ARITHM. N sommers Xm Pm FES re ARRET D rca 2,300; 73 191,85 1.114,92 360 1,48 31,0 CENTRE PRE RARE 5,32-20,39 20; 66515658 1044085105 73822006 1 LEVANT RETASSRECS 5,404+0,44 925.361: — 69,44 9236%,03 192 5,40 69,2 1,48 - 310 PBSDEN IC) PES 3,134+1,13 15407200 292 ee à 1,48 3:,0 0 S j

[BS+BV-+BV/—{C)] …: 3,3321,19 213:,53 533 te Remarque I. — On constatera que les P, sont nettement inférieurs aux

valeurs correspondantes de P. Il n’y a pas lieu de s’en étonner puisqu'on démontre que pour une quantité susceptible de prendre plusieurs valeurs différentes, la moyenne géométrique est plus petite que la moyenne arithmétique.

Remarque II. — Comme X — log 40 : P, les valeurs de log P relatives aux diverses catégories de Binaires sont respectivement :

1,30 pour les [BS]; 4,32 pour les [BV]; 4,40 pour les [BV + BV']; 2,13 pour les [BS + BV — (C)]; et 2,33 pour les [BS + BV + BV’ — (C)]; [voir colonne (2), Tableau 14]. log P varie donc considérablement quand on passe d’une catégorie de Binaires à l’autre ; il en est de même de la moyenne géomé-

trique (P,) et de la moyenne arithmétique P des périodes, comme le montrent respectivement les colonnes (3) et (4) du Tableau 14. La colonne (6) du même Tableau montre par contre la stabilité de la position de l’abscisse de chacun des maxima X, de X.

N. 38. Étude des diagrammes (5 a) et (5 b).

Catégorie [BS]. Le diagramme statistique relatif aux seules Binaires Spectroscopiques, figure 5 a, est nettement dissymétrique ; il en est naturellement de même du diagramme des fréquences qui n’en diffère que par une dilatation des ordonnées. Quand X croît, la fréquence des valeurs de X, d’abord très faible jusqu'à X — 0,60, va ensuite en croissant rapidement, passe par un maximum pour Xy — 1,48 environ, puis diminue d’abord rapidement jusqu’à

ce que X = 2,60, et ensuite plus lentement, La valeur P, de la période correspondant à labscisse X, — 1,48 du maximum de fréquence est donnée par la relation :

Xu = 1,48 = log, (10: Pa), d'où: … Py— 310.

Le fait que le diagramme de fréquence présente un seul maximum paraît en contradiction avec les résultats indiqués par Otto Struve (R. 15). Cet auteur trouvait en effet trois maxima de fréquence correspondant respectivement à :

ISSUE PS==teJours : P, = 400 jours.

Le premier maximum a disparu par suite de la sélection opérée parmi les Binaires Spectroscopiques (voir N. 2) ; le second se confond avec le maximum unique trouvé ci-dessus ; le troisième qui correspondrait à X — 3,60, à peine indiqué dans le Tableau 13 et la figure 5 « n’est pas nettement confirmé par nos résultats. LS |

Catégorie [BV]. Le diagramme relatif aux Binaires de Catégorie [BV] (figure 5 a) est modérément dissymétrique et présente un maximum unique correspondant sensiblement à :

M < 9,38, donc : Px = 66 ans, Î.

Catégorie [BV + BV']. Le diagramme relatif à la catégorie [BV + BV'] (voir figure 5 a), peu différent du précédent, est presque symétrique et présente un maximum unique correspondant sensiblement à :

10,40, donc : M —:09 ans 2;

Catégories [BS + BV — (C)] et [BS + BV + BV’ —(C)]. Enfin les diagrammes relatifs aux catégories [BS + BV — (C)]et [BS + BV + BV’ — (C)] présentent deux maxima dont les abscisses sont :

Xy = 1,48 et X5 — 5,38 pour la catégorie [BS + BV — (C)], Xy = 1,48 et Xx — 5,40 pour la catégorie [BS + BV + BV’ — (C)],

et qui correspondent respectivement, comme .on le voit, aux maxima observés, le premier pour la catégorie [BS], le second pour la catégorie [BV] ou

(R. 15) Otto Struve : M. N. 86, p. 75, 1925.

[BV + BV/] suivant le cas. Les valeurs de la période relatives à ces abscisses autour desquelles se concentrent les valeurs de X sont par suite :

Pr= 30 et Pi — 66 ans, 1, pour la catégorie [BS + BV — (C)], Pu= 3,0 et Px— 69 ans, 2, pour la catégorie [BS+BV+BV'—(C)].

Comme nous l'avons déjà signalé plus haut, les abscisses X,;, des sommets des courbes de distribution de la variable X et les périodes correspondantes P, ont été inscrites respectivement dans les colonnes (6) et (7) du Tableau 14.

Remarque. — La quasi-symétrie de la courbe de distribution de la variable X pour les Catégories [BV] et [BV + BV'] est confirmée par ce fait que la valeur moyenne de la variable X et sa valeur dominante X,, sont très voisines dans le premier cas et identiques dans le second.

N. 39. — En résumé, en étudiant la distribution des valeurs de la variable : X — logs (10 : P), nous trouvons, suivant les Catégories :

[BS] : Une courbe nettement dissymétrique à un sommet (pour P; — 3 jours); [BV] : Une courbe modérément dissymétrique à un sommet ER (pour Pi — 66 ans, 1) ; [BV + BV’) : Une De presque symétrique à un sommet (pour P5 — 69 ans, 2) ; [BS + BV — (C)] : Une courbe à deux sommets (pour P, = 3 jours et Pr — 66 ans, 1); [BS + BV + BV’ — (C)]: Une courbe à deux sommets (pour Pre jours et Pi — 69 ans, 2).

N. 40. Conclusion. — L'étude de la répartition des valeurs de la variable : X = logo (10 : P),

pour les diverses catégories de Binaires, confirme en gros les résultats obtenus en étudiant la distribution des périodes P, en ce sens que : Quand on groupe ensemble les Binaires PRÉPAS pIques # les one

Visuelles, tout se passe, en pratique, comme si l’on mélangeait deux populations qui, relativement à la variable choisie, P ou X — log (10 - P), ont des domaines presque totalement distincts :

Les petites périodes (P <3 ans ou X < 2,86), sont la quasi-propriété des Binaires Spectroscopiques ; elles se concentrent autour de la valeur P = 2i5, les valeurs de X s'accumulent par contre autour de X,, — 1,48, qui correspond à une valeur quelque peu différente de la période : P,, — 3 jours.

, Les périodes supérieures à 3 ans, (X > 2,86) se rencontrent surtout, jusqu’à présent, parmi les Binaires Visuelles ; elles se concentrent dans l'intervalle (20-50 ans), les valeurs de X s’accumulant par contre entre des valeurs qui correspondent à des périodes allant de 65 à 69 ans environ.

Remarque. — Comme nous le verrons plus loin, l’influence de la sélection n’est pas étrangère, au moins en partie, aux genres de distribution rencontrés pour les diverses catégories de Binaires.