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-[n)—,Ag+Ag+ Sa] 3° [(n)—Aa+$sal sorxofgseo set mod [2 — X : {fx 01) 801 = X]oousfuruon — ‘SG NVATAVL

deux autres catégories sont placés à droite : le nombre supérieur correspond à la catégorie [BV], le nombre inférieur à la catégorie [BV + BV]. :

Le Tableau 55 est en réalité double : il donne, quand elles sont différentes de zéro, les valeurs de »;; concernant les catégories composites : dans la case (à, j) le nombre supérieur correspond à la catégorie [BS + BV — (C)], le nombre inférieur à la catégorie [BS + BV + BV’ — (C)].

N. 200. — Les carrés moyens v? et les coefficients de contingence C ont été calculés d’après les Tables 54 et 55 pour les diverses catégories de Binaires envisagées au paragraphe N. 4. Leurs valeurs sont indiquées dans le Tableau 56 ; N représente le nombre de Binaires correspondant. La dernière colonne fournit la valeur maximum de l'erreur probable relative à C.

Contingence [X = log (10 P) ; Y — e].

CATÉGORIE g? csG N e.p. max. sur C EESTI REC nr 0,752 0,655 360 0,036 EVA SR ANT Net 0,836 0,675 151 0,055 ÉBMEBNVARE EEE NES 0,818 0,671 192 0,049 [BS+BV—(C)] ............ 0,855 0,679 492 0,030 [BS+BV+BV'—(C)] ...... 0,967 0,701 533 0,029

On constatera que les carrés moyens de contingence relatifs aux diverses catégories de Binaires ont des valeurs de même ordre. Les coefficients de contingence C ont de même des valeurs très voisines et d’ailleurs grandes.

L'emploi du coefficient de contingence comme critère relativement à la mesure de l'intensité de la liaison entre périodes et excentricités nous conduit par suite à la conclusion suivante :

Chez les diverses catégories de Binaires, il paraît exister une liaison serrée entre les quantités X = log (10 PJ et Y — e, donc entre les périodes et les excentricités.

N. 201. — Nous aurions pu essayer d'apprécier l'intensité de la relation entre périodes et excentricités en nous basant sur la valeur du coefficient de corrélation

- relatif, soit à la liaison (P, e), soit à la liaison [X = log (40 P); Y — e]: nous allons maintenant effectuer ce calcul pourles diverses catégories de Binaires.

sil er

Vis",

Par suite de la grande diversité des périodes, il serait difficile de les répartir en un nombre raisonnable d’intervalles égaux ; en conséquence, nous avons déterminé le coefficient de corrélation r’ relatif à la liaison (P, e), en partant des valeurs individuelles de P et de e. En ce qui concerne le coefficient de corrélation r relatif aux quantités X — log (10 P) et Y — e, nous avons employé les Tableaux 54 et 55 qui ont été construits de manière à pouvoir être utilisés indifféremment comme Tables de contingence ou Tables de corrélation.

Nous avons groupé, dans le Tableau 57, non seulement les valeurs der’ etr relatives aux diverses catégories de Binaires envisagées, et les nombres N de Binaires correspondants, mais aussi, dans le cas de la liaison :

[X = op (OP); Vel,

les valeurs du coefficient de contingence C, des rapports de corrélation »,, et Nyx et des différences (n?, — r?) et (n?, — r?) qui seront employés ultérieurement pous la discussion des résultats.

Corrélation (P, e) et corrélation [X — log (10 P) ; Y — el.

1 2 EEE le 5 6 ALES 9 CATÉGORIE r’ r +e.p. C xx He. p.| vx He. p.| N | °xv-7° | n°yx7? RSS RE OL 0,1910,57+0,02/0,655,0,58+0,02/0,60+0,02,36010,0115,0,0351 LI CRE ER 0,28/0,29-+ 0,05l0,67510,39+ 0,05l0,36:- 0,05/151/0, 068010, 0455 EBNÉEBV I. Le 0,22,0,30-0,04/0,671/0,42-+ 0,040,36+ 0,04192/0,0864/0,0396 [BS+BV—(C)]...... 0,4810,71+0,01/0,6791/0,73 + 0,0110,71+0,01,492,0,028810,0000 dl El de chou

IN. 202. Résultats. Discussion. — Les valeurs trouvées pour les coefficients de corrélation r’ et r paraissent indiquer que : 10 La corrélation entre P et e est faible, sauf pour la catégorie :

[BS + BV — (G)];

* W. 8. Finsen, (R 64), trouve r’ = + 0,18 + 0,08 pour 135 BV. (R 64), W. S. Finsen. (M. N. 96, p. 864; 1936).

90 La corrélation entre X — log (10 P) et Y — e est faible pour les catégories [BV] et [BV + BV'], assez élevée pour la catégorie [BS] et forte pour les catégories [BS + BV — (C)] et [BS + BV + BV’ — (C)].

De tels résultats paraissent partiellement contradictoires en ce qui concerne l'intensité de la liaison entre périodes et excentricités, puisque cette intensité n’a pas la même valeur suivant qu’on s’adresse à r ou à r’ pour l’estimer. Il n’y a pas lieu de s’en étonner.

Nous avons en effet rappelé (N. 11), que, dans le cas où les régressions ne sont pas linéaires, on sous-estime toujours l'intensité de la liaison entre deux caractères en la mesurant par la valeur du coefficient de corrélation, et ceci d’une manière qui dépend de la forme des lignes de régression. Or, en admettant

que les courbes de régression soient des droites dans le cas de la relation :

EX = log AO PP) el;

elles ne le seraient plus dans le cas de la relation (P, e), et inversement. Ceci explique les différences constatées entre r et r”. \ Or nous verrons plus loin (N. 203), que, pour les catégories :

[BS], [BS + BV — (C)] et [BS + BV + BV’ —(C)], les régressions sont pratiquement linéaires dans le cas de la corrélation : [X = log (10 P); Y = e],

elles ne le sont donc pas pour la liaison (P, e), par suite les valeurs de r’ ne sauraient convenir.

Pour les catégories [BV] et [BV + BV] les valeurs de r qui sont beaucoup plus petites fournissent une valeur trop faible pour la mesure de l'intensité de la liaison. Ceci est a fortiori vrai pour les valeurs de r’ qui sont encore plus petites que celles de r.

Nous devons donc conclure que :

Les valeurs du coefficient de corrélation r’ relatif à la liaison (P, e) ne conviennent pas pour apprécier l'intensité de la relation entre périodes et excentricités, quelle que soit la catégorie de Binaires considérée.

N. 203. Comparaison entre les coefficients de contingence C et de corrélation r. — La comparaison entre les colonnes (3) et (4) du Tableau 57 montre que :

19 Les coefficients de contingence G relatifs aux diverses catégories de

Binaires sont comparables entre eux, et relativement grands, paraissant ainsi révéler l’existence d’une liaison serrée entre périodes et excentricités. 20 Les coefficients de corrélation r, concernant les quantités :

X = log (10 P) et DA

présentent, pour les diverses catégories de Binaires envisagées, des valeurs nettement discordantes, puisqu'elles s’échelonnent entre 0,29 et 0,71. Les valeurs de r concordent en pratique avec celles de C pour les catégories :

[BS] : 0,57 contre 0,655, [BS + BV — (C)] ‘ 0,71 contre 0,679, [BS + BV + BV'—(C)] : 0,70 contre 0,701,

mais leur sont nettement inférieures pour les catégories :

[BV] s 0,29 contre 0,675, [BV + BV] s 0,30 contre 0,671.

Par suite, l’intensité de la liaison entre périodes et excentricités apparaît, dans les deux derniers cas, comme nettement différente suivant qu'on utilise, pour l’apprécier, le coefficient de corrélation r, ou le coefficient de contingence C.

Pour essayer d'expliquer ces anomalies, nous sommes conduits à déterminer les droites ajustées aux lignes de régression par la méthode des moindres carrés, afin de voir dans quelle mesure les divers points connus des lignes de régression empiriques correspondantes s’en écartent. Nous avons déterminé les équations de ces droites pour les diverses catégories de Binaires, dans le cas de la liaison :

Re lo AOP EN ET:

elles figurent dans les colonnes (2) et (3) du Tableau 58, les moyennes liées ayant été affectées d’indices, (1) ou (7), pour les distinguer des moyennes générales. Pour faciliter la représentation graphique de ces droites, nous donnons, en. outre, d’une part [colonnes (4) et (5)], les coordonnées X, Y de leur point d’intersection qui est le point moyen général, et, d’autre part [colonnes (6) et (7)], leurs pentes respectives relatives à l’axe des abscisses (900 — x.) et , les angles «, et «, étant définis par les relations :

b, et b, ont ici même signification qu’au paragraphe N. 8, savoir : b, est le coefficient de régression de X en YŸ et b, celui de Y en X. La colonne (8) cote le nombre N de Binaires renfermées dans la catégorie étudiée.

Droites ajustées aux lignes de régression pour la corrélation [X — log (10 P) ; Y = el].

(1) : (2) - - f) (4) | (5) | (6) | (7) (8) CATÉGORIE RÉGRESSION DE X ENYŸ Récression pe YENX | X | Y 900-x| a> | N PRO eee X(5 3,078 + Vs+-1,682 | Yes —0,106 : X4—0,044 |2,30/0,20| 180,0] 6°,0/360 VE nes de Xp =0,731 : 44,928 | Vin —0,115 : X5—0,081 |5,3210,53) 530,8] 6°,6/1151 ÉÉVÉBVRER Xp 0,812 : Y+4,978 | Ven —0,111 + X5—0,075 |5,40)0,52| 500,9) 60,3/192 [BS+BV—{C)]..….….. Xp —=4,560 : Y+1,807 | Yen ==0,141 + X5—0,057 |3,13/0,29) 120,4] 60,3/492 [BS+BV+BV—(C)]| Xp —4,738 + Y5+1,861 | Yan —0,103 - X5—0,033 |3,3310,31| 110,9) 50,9/533

Les points connus des lignes de régression empiriques, déduits des Tableaux 54 et 55, et les droites ajustées correspondantes sont représentés graphiquement, pour les diverses catégories de Binaires étudiées par les cinq diagrammes de la figure 9. Les droites ajustées sont tracées en trait plein ; les points jalonnant les lignes de régression empiriques sont représentés par des points (.) pour la ligne de régression de Y en X et par des croix (+) pour celle de X en Y.

Le lecteur constatera sans peine que les lignes de régression empiriques de Y en X, relatives aux cinq catégories envisagées, se confondent pratiquement avec les droites ajustées correspondantes : ces dernières ont d’ailleurs des directions presque parallèles, puisque leurs inclinaisons « par rapport à l’axe des abscisses s’échelonnent entre 50,9 et 60,6.

Les points connus de la ligne de FéGrorIBR de X en Y, bien que s’en écartant notablement, jalonnent encore à peu près, dans leur ensemble, la droite ajustée correspondante pour les catégories :

[BS], [BS + BV-—(C)] … et. [BS+ BV + BV! — (C)].

I n’en est pas de même pour les catégories [BV] et [BV + BV'] pour chacune

ÿ en X

CRs+Bv-(0)

Yÿse 3007 CAS+AV +RV - (C)]

EAN)

NC)

log (10 P) ;

Fi1c. 9. — Lignes de régression relatives à la corrélation [X

et droites ajustées correspondantes.

R. Bonner.

desquelles l’un des points extrêmes connus s’écarte considérablement de la droite ajustée *.

Dans le cas de la régression de X en Y, les droites ajustées n’ont pas des inclinaisons comparables, comme le montrent les diagrammes (fig. 9) et les valeurs de (900 — x,) (Tableau 58) : si (909 — «;) est compris entre 119,9 et 18 pour les trois catégories renfermant des Binaires Spectroscopiques, il est par contre de 530,8 pour les [BV] et de 500,9 pour les [BV + BV].

En résumé, en ce qui concerne la corrélation [X = log (10 P);, Y — el], les deux régressions sont pratiquement linéaires pour les catégories :

[BS], [BS + BV —(C)] et. [BS + BV + BV'—(C)];

aussi r et C présentent-ils dans ces trois cas des valeurs voisines.

Par contre pour les catégories [BV] et [BV + BV], seule la régression de Y en X est linéaire, ce qui peut expliquer, dans une certaine mesure, pourquoi, dans ces deux derniers cas, le coefficient de corrélation r est nettement inférieur au coefficient de contingence C.

N. 204. Remarque. — Les rapports de corrélation n,, et n,, qui figurent dans les colonnes (5) et (6) du Tableau 57 sont sensiblement égaux au coefficient de corrélation r et sont peu différents du coefficient de contingence C pour les trois catégories [BS], [BS + BV — (C)] et [BS + BV + BV’ —(C)] pour lesquelles les deux régressions sont à peu près linéaires. En ce qui concerne les catégories [BV] et [BV + BV'] les rapports de corrélation sont encore presque égaux entre eux, mais leurs valeurs sont intermédiaires entre celles des coefficients de corrélation r et celles des coefficients de contingence C.

Nous pouvons d’ailleurs former les différences (n2, —r?) et [n?% — rè) qui mesurent la divergence par rapport à la linéarité des lignes de régression de X en Ÿ et de Y en X respectivement. Leurs valeurs sont données dans les colonnes (8) et (9) du Tableau 57 ; elles sont toutes inférieures à 0,05, sauf pour les différences (n?, — r?) relatives aux catégories [BV] et [BV + BV']. Par

* Ces points anormaux, de coordonnées respectives (4,07 ; 0,05) et (4,20 ; 0,05), ne sont d’ailleurs pas de poids négligeables, puisqu'ils correspondent respectivement à 3 étoiles pour la catégorie [BV] sur un total de 151 étoiles et à 5 étoiles pour la catégorie [BV-+BV/] sur un total de 192 étoiles. Pour la catégorie [BSJ, la ligne de régression de X en Y présente elle aussi un point qui s’écarte notablement de la droite ajustée correspondante, mais ses coordonnées (3,00 ; 0,85) proviennent d’une étoile seulement sur un total de 360 étoiles.

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suite la régression de Y en X s’écarte peu de la rectilinéarité pour toutes les catégories de Binaires ; il en est de même en ce qui concerne la régression de X en Ÿ pour toutes les. De sauf [BV] et [BV + BV], ce qui confirme les résultats.précédemment obtenus.

N. 205. Remarque II. — Certaines des propriétés du coefficient de corrélation rappelées aux paragraphes N. 11 et N. 14, et qui sont intervenues dans la discussion ci-dessus, ne semblent bien établies que dans le cas où les distributions propres des caractères X et Y sont normales. Certaines des anomalies : rencontrées plus haut, pourraient par suite être dues au fait que la répartition des quantités X — log (10 P) ou celle des excentricités e n’est par normale. Or, il résulte de ce qui a été dit au paragraphe N. 39, que la courbe de distribution des valeurs de X — log (10 P) ne peut être considérée comme à peu près normale que dans le cas des Binaires Visuelles ; elle est par contre nettement dissymétrique quand il s’agit des Binaires Spectroscopiques et présente même deux sommets pour les catégories composites. De même la courbe de répartition des excentricités est quasi-normale dans le cas des Binaires Visuelles ; elle présente par contre la forme d’un J retourné (1) quand il s’agit des Binaires Spectroscopiques et une forme plus compliquée encore pour les catégories composites (voir N. 45).

Nous en tirerons les deux conclusions suivantes :

10 La distribution des quantités X — log (10 P) et celle des excentricités e étant quasi-normales pour les Binaires Visuelles, la différence trouvée pour ces étoiles entre le coefficient de corrélation r et le coefficient de contingence C, doit plutôt être attribuée au fait que la ligne de régression de X en Y s’écarte dans ce cas de la rectilinéarité.

20 Le fait que la distribution des quantités X — log (10 P) et celle des excentricités e ne sont pas normales pour les Binaires Spectroscopiques et les catégories composites ne paraît pas avoir eu beaucoup d'influence sur la valeur du coefficient de corrélation r, puisque celui-ci est, pour ces catégories d'étoiles, très voisin du coefficient de contingence.

- N. 206. Conséquences. — Comme :

log (10 P) — 1 + log P,:

et par suite :

log (10 P) = 1 + log P,

les droites ajustées aux lignes de régression relatives à la relation (log P ; €), se déduisent aisément des colonnes (2) et (3) du Tableau 58. Les résultats sont donnés dans le Tableau 59.

CATÉGORIE (1) RÉcression pElogPENe (11) RÉGRESSION DEEEN log P FRS Te er log P; — 3,078 e; + 0,682 e — 0,106 log P: + 0,062 FAIR ete tue ere log P;:— 0,731 e; Æ 3,928 & = 0,115 log P: + 0,034 [EVENE EReRMEZ log P; — 0,812 e; + 3,978 ei = 0,111 log P: + 0,036 [BS+BV—(C)] ...... log P; = 4,560 e; + 0,807 ei = 0,111 log P; + 0,054

[BS+BV+BV—(C)] log P; = 4,738 e; + 0,861 & — 0,103 log P; + 0,070

D’après ce qui a été dit plus haut sur la rectilinéarité des lignes de régression, les formules du groupe (I) relatives aux catégories :

[BS, [BS+BV—(C] et [BS+ BV + BV'—(C)]

permettent de trouver la valeur moyenne log P; de log P correspondant à une valeur donnée e; de l’excentricité e.

Par contre les formules du groupe (I) relatives aux catégories [BV] et [BV + BV'] ne sauraient être utilisées pour obtenir la valeur moyenne log P, de log P correspondant à une valeur e; de l’excentricité, tout au moins quand e < 0,20 pour la catégorie [BV] et e < 0,30 pour la catégorie [BV + BV], car les diagrammes (fig. 9) montrent que ce n’est que pour e > 0,20 dans le cas des [BV] et e > 0,30 pour les [BV + BV'] que les points connus de la ligne de régression de X en Ÿ ne s’écartent pas trop de la droite ajustée correspondante.

Les cinq formules du groupe (II) conviennent au contraire pour obtenir la valeur moyenne e, de e correspondant à une valeur donnée de log P.

N. 207. — Dans son article « Statistical concerning binary Stars» (R. 65), Knut Lundmark opérant sur un ensemble non sélectionné de 399 Binaires tant spectroscopiques que visuelles, a calculé le coefficient de corrélation r relatif à la liaison (log P ; e), et a déterminé les droites de régression correspondantes.

(R. 65) Knut Lundmark : Statistical concerning binary Stars (Meddelanden fran Astronomiska Observatorium Upsala, n° 20, 4927).

Il est intéressant de comparer les résultats de K. Lundmark à ceux que nous avons obtenus pour la catégorie [BS + BV + BV’ — (C)] qui groupe, elle aussi, les Binaires Spectroscopiques et les Binaires Visuelles de toutes classes, même celles à orbite incertaine. C’est l’objet du Tableau 60.

Les colonnes successives de ce Tableau donnent : la valeur moyenne e de

l’excentricité, la valeur moyenne log P, les écarts-types o, et o14 p, le coefficient de corrélation r relatif à la liaison (log P ; e), et enfin le nombre N de Binaires étudiées.

e log P Ge Olog P r N RÉFÉRENCE

0,3166 2,3239 0,2534 1,786 0,685 399 K. Lundmark (1927) 0,31 2,33 0,26 1,76 0,70 533 R. Bonnet (1944)

Nous donnons ci-dessous les droites ajustées qui se correspondent :

K. Lundmark (1927) : R. Bonnet (1944) :

log P = 4,8356 - e + 0,8103 log P = 4,738 : e + 0,861 e — 0,0973. log P + 0,0864% e — 0,103.log P + 0,070

On constatera que l’accord est vraiment bon, malgré une forte augmentation du matériel inclus dans la Statistique faite. Les valeurs des moyennes, des écarts-types et du coefficient de corrélation, prises dans ces conditions, paraissent remarquablement stables. Il n’en serait peut-être pas de même si la comparaison portait, non pas sur l’ensemble des Binaires, mais sur les seules Binaires Visuelles.

N. 208. Remarque III. — Comme la région de non-rectilinéarité des courbes de régression de X en Y relative aux Binaires Visuelles coïncide précisément avec le domaine des faibles valeurs de e, on pourrait encore supposer que la petitesse de r correspond dans ce cas à la réalité, c’est-à-dire à une moindre intensité de la liaison entre périodes et excentricités qui serait due à ce que le contraste entre les valeurs de la période liées, d’une part aux fortes valeurs de e, et d’autre part aux petites valeurs de e, apparaît moins nettement en raison de la rareté relative des faibles excentricités dans ces catégories de Binaires. Mais si la petitesse du coefficient de corrélation r était réelle, il faudrait alors en conclure que le coefficient de contingence C est trop fort ; il

faudrait dès lors attribuer cette dernière anomalie au fait que le mode de subdivision employé pour les quantités X — log (10 P) est d’une finesse excessive et que par suite on se trouve dans le cas où les irrégularités de la distribution ont une grosse répercussion sur la valeur du coefficient de contingence (voir NA

Mais la rareté relative des faibles excentricités chez les Binaires Visuelles est principalement due à l’influence de la sélection, les mesures micrométriques ne permettant pas l’observation des Binaires à courtes périodes qui ont en majorité de faibles excentricités ; dans ces conditions, il nous paraît plus vraisemblable d'admettre que l'intensité de la liaison :

X = log HO P) EYE

chez les Binaires Visuelles correspond en réalité à la forte valeur de C ne qu’à la faible valeur de r.

N. 209. Conclusion. — Il ressort des diverses Feng faites au cours de la discussion précédente que :

L'emploi du coefficient de contingence C semble nettement préférable à celut du coefficient de corrélation r, pour apprécier l'intensité de la liaison entre périodes et excentricités chez les Binaires.

La première de ces méthodes s’est en effet révélée plus générale que la seconde, et ne paraît pas moins précise dans le cas où les deux méthodes conviennent.