CYLINDRE

CYLINDRB

DB 15»" DB DIAMàTBB.

DB 30»" DB DIAlfÀTRB.

Moyenne. . 29"60

Moyenne. . 60"38

(1) On étirait, à cet effet, la grosse masse vers la petite, au moyen de l'anneau dont j'ai parlé dans le ^ 46. Mais il fallait empêcher que Panneau, en quittant la figure liquide, n'entraînât avec lui une quantité sensible d'huile ; pour cela, au lieu de faire adhérer à la grosse masse la totalité de

On voit que les nombres relatifs à un même diamètre ne s'écartent pas assez les uns des autres pour qu on ne puisse regarder le rapport des deux moyennes comme s approchant beaucoup du rapport véritable des durées. Or le rapport de ces deux moyennes est 2,04, c'est-à-dire juresque exactement égal à celui des deux diamètres. D'ailleurs, il est évident que, pour chacun de ces derniers, le plus grand des nombres obtenus doit correspondre au cas où le cylindre était formé de la manière la plus parfaite, et, par conséquent, il est probable que le rapport de ces deux plus grands nombres s'approche aussi beaucoup du rapport véritable des durées. Or ces deux nombres sont, d'une part 36,4, et, de l'autre, 73,6, et leur rapport est 2,02, nombre qui diffère encore moins de 2, ou du rapport des diamètres.

Nous pouvons donc admettre que les durées relatives à ces deux cylindres sont entre elles comme les diamètres de ces mêmes cylindres; d'où nous déduirons cette loi, que la durée partielle de la transformation d'un semblable cylindre est proportionnelle au diamètre de celui-ci.

J'ai dit (§ précéd.) que la loi ainsi obtenue fournirait par elle-même un nouveau motif de croire qu'elle ne changerait pas si nos cylindres d'huile courts étaient réalisés dans le vide ou dans l'air. En effet, la proportionnalité au diamètre est la loi la plus simple possible.

Panneau, on laissait libre une petite poHion de celui-ci, et comme alors son action était insuffisante pour étendre la grosse masse Jusqu'à l'autre, on y aidait en poussant légèrement l'huile avec l'exti*émite du bec de la seringue. Loraqu'après la réunion des deux masses on retirait l'anneau, il n'al>andonnait dans le liquide alcoolique qu'une sphérule fort petite, que d'ailleurs on réunissait ensuite au reste de l'huile à l'aide de l'anneau luimême, ainsi que la plus grosse des sphérules dues à la transformation du met.

et, d'autre part, les circonstances daiis lesquelles le phénomène s opère sont moins simples dans le cas de la présence du liquide alcoolique qu'elles ne le seraient dans celui de son absence; par conséquent, si la loi changeait du premier au second, il s ensuivrait qu'une simplification dans les circonstances amènerait, au contraire, une complication dans la loi, ce qui est bien peu vraisemblable.

Nous pouvons donc, je pense, légitimement généraliser la loi ci-dessus d'après l'ensemble des remarques du paragraphe précédent, et en tirer la conclusion qui suit :

Si Ton suppose un cylindre liquide formé dans le vide ou dans l'air, assez long pour fournir plusieurs sphères, libre sur toute sa surface convexe, et d'une longueur telle, que les divisions prennent exactement leur longueur normale, le temps qui s'écoulera depuis l'origine de la transformation jusqu'à l'instant de la rupture des filets sera exactement ou sensiblement proportionnel au diamètre de ce cylindre.

§ 381 . Occupons-nous maintenant de la valeur absolue du temps dont il s'agit, pour un diamètre donné, le cylindre étant toujours supposé réalisé dans le vide ou dans Tair, assez long pour fournir plusieurs sphères, libre sur toute sa surface convexe, et d'une longueur telle que ses divisions prennent leur longueur normale.

Il est clair que cette valeur absolue doit varier avec la nature du liquide : car elle dépend évidemment de la densité de celui-ci, de l'intensité de ses forces figuratrices, et enfin de ses viscosités.

Les expériences que nous venons de rapporter ne donnent à l'égard de l'huile qu'une limite supérieure fort éloignée : c'est ce qui résulte d'abord des deux causes

que nous avons signalées dans le § 379 et qui sont dues à la présence du liquide alcoolique ; mais à ces deux causes s'en joint une troisième que nous devons faire connaître. Si Ion imagine un cylindre d'huile formé dans les conditions ci-dessus, la somme des longueurs d'un étranglement et d un renflement sera probablement plus considérable à l'égard de ce cylindre qu'à l'égard de nos cylindres d'huile courts ayant le même diamètre : car, à cause de la grande viscosité de l'huile, cette somme doit sans doute surpasser, plus que dans nos cylindres d'huile courts la longueur qui correspond à la limite de la stabilité. Or on peut poser en principe, que, toutes choses égales d'ailleurs, une augmentation dans la somme des longueurs d'un étranglement et d'un renflement tend à rendre la transformation plus rapide, et, par conséquent, à raccourcir les durées totale et partielle du phénomène. En effet, pour un diamètre donné, plus la somme dont il s'agit s éloigne de la longueur qui correspondrait à la limite de la stabilité, plus les forces qui produisent la transformation doivent agir avec énergie ; d'ailleurs, immédiatement au-dessous de la limite de la stabilité la transformation ne s'effectuant plus, on peut alors considérer la durée du phénomène comme infinie, d'où il suit que lorsqu'on passe au delà de cette limite, la durée passe d'une valeur infinie à une valeur finie, et que, par conséquent, elle doit décroître rapidement à partir de cette même limite; enfin, c'est aussi ce que confirment les résultats de l'expérience comme nous le montrerons plus loin § 407. Ainsi, lors même qu'il serait possible de former dans le vide ou dans l'air l'un de nos cylindres d'huile courts, et d'éliminer, par conséquent, les deux causes de retard dues à la présence du liquide alcoolique, la durée relative à ce cylindre surpasserait

224 STABILITÉ DBS FIGURES D'ËQUILIBRB;

encore celle qui se rapporterait à un cylindre d'huile de même diamètre formé dans les conditions que nous avons supposées.

§ 382. Mais si, en comptant la durée absolue dans le cas de lun de nos cylindres d'huile courts, nous n'obtenons à l'égard de ce liquide qu'une limite supérieure beaucoup trop élevée, le cylindre de mercure du § 369, cylindre qui est formé dans l'air, et dont la longueur est sufi^ante par rapport au diamètre pour que les divisions aient exactement ou à fort peu près leur longueur normale, nous fournira, au contraire, à l'égard de ce dernier liquide, une limite inférieure probablement plus approchée.

D'abord, dans le cas de ce cylindre, dont le diamètre était, comme nous l'avons dit, de 2'""*,1, la transformation ne s'effectue pas en un temps tellement court, que l'on ne puisse estimer avec quelque exactitude là durée totale du phénomène ; je dis la durée totale, parce que dans une transformation aussi rapide, il serait bien difficile de saisir l'ihstant de la rupture des filets. Pour approcher autant que possible de la valeur de cette durée totale, j'ai eu recours au procédé suivant.

On a réglé, par des épreuves successives, les battements d'un métronome de telle manière qu'en soulevant avec rapidité, à l'instant précis d'un battement, le système des bandes de verre appartenant à l'appareil qui sert à former le cylindre, le battement suivant parût coïncider avec la terminaison de la transformation ; puis, après s'être assuré encore plusieurs fois que cette coïncidence paraissait bien exacte, on a déterminé la durée de l'intervalle entre deux battements, en comptant les oscillations exécutées par l'instrument pendant deux minutes, et divisant ce temps par le nombre des oscilla-

tion8. J'ai trouvé ainsi, pour Tintervalle dont il s'agit, la valeur 0",39. La durée totale de la transformation de notre cylindre de mercure peut donc être évaluée approximativement à 0",39, ou, plus simplement, à 0",4.

Mais ce cylindre n est pas libre sur toute sa surface convexe, et son contact avec la plaque de verre doit influer sur la durée, tant directement que par l'accroissement qu'il détermine dans la longueur des divisions. Examinons donc sous ce double point de vue l'influence dont il s'agit.

L'action directe du contact avec la plaque est sans doute bien faible : car, dès que la transformation commence, le liquide doit se détacher du verre dans tous les intervalles entre les parties renflées, de manière à ne plus toucher le plan solide que par une série de trèspetites surfaces appartenant à ces parties renflées ; par conséquent, si l'action directe du contact de la plaque était seule éliminée, c'est-à-dire si l'on pouvait faire en sorte que le cylindre fût libre sur toute sa surface convexe, mais que cependant les divisions qui s'y forment prissent la même longueur qu'auparavant, la durée totale se trouverait à peine diminuée.

Reste donc l'effet de l'allongement des divisions. La longueur des divisions de notre cylindre est égale à 6,35 fois le diamètre (§370), tandis que, dans l'hypothèse d'une liberté complète de la surface convexe, cette longueur serait très-probablement moindre que 4 fois le diamètre (§ 373); or, en vertu du principe établi dans le paragraphe précédent, cette augmentation dans la longueur des divisions entraîne nécessairement une diminution dans la durée, diminution d'autant plus considérable, qu'elle a lieu dans le voisinage de la limite de la stabilité ; par conséquent, si Ion pouvait faire en sorte que

rallongement dont il s'agit n'existât pas, la durée totale se trouverait très-notablement accrue.

Ainsi, la suppression de l'action • directe du contact de la plaque ne produirait dans la durée totale qu'une diminution très-légère ; et l'annulation de l'allongement des divisions déterminerait, au contraire, un accroissement très-notable dans cette même durée; si donc ces deux influences étaient éliminées à la fois, ou, en d'autres termes, si notre cylindre était libre sur toute sa surface convexe, la durée totale de sa transformation serait trèsnotablement supérieure au résultat direct de l'observation.

Maintenant, la quantité que nous avons à considérer, cest la durée partielle, et non la durée totale; mais, dans les mêmes circonstances, la première doit être peu inférieure à la seconde : car lorsque les filets vont se rompre, les masses entre lesquelles ils s'étendent approchent déjà de la forme sphérique; par conséquent, en vertu de la conclusion ci-dessus obtenue, nous devons admettre que la durée partielle dont nous nous occupons, c'estrà-dire celle qui se rapporterait au cas d'une liberté complète de la surface convexe du cylindre, excéderait encore notablement la durée totale observée, savoir 0",4.

En partant de cette valeur 0",4 comme constituant la limite inférieure, correspondante à un diamètre de2™™,l, la loi de la proportionnalité de la durée partielle au diamètre donnera immédiatement la limite inférieure correspondante à un autre diamètre quelconque : on trouvera, par exemple, que, pour dix millimètres, cette limite

0",4 X 10 serait de — '-^1 — = 1">9, ou plus simplement de 2".

Si donc on suppose un cylindre de mercure d'un centimètre de diamètre, formé dans le vide ou dans l'air, assez long pour fournir plusieurs sphères, libre sur

toute sa surface convexe, et d une longueur telle que ses divisions prennent leur longueur normale, le temps qui s écoulera depuis l'origine de la transformation de ce cylindre jusqu'à l'instant de la rupture des filets, surpassera notablement deux secondes.

§ 383. Revenons, pour un instant, à notre théorie de la génération des filets (§§ 376 à 378). Une conséquence immédiate de cette théorie, c'est que plus est grande la vitesse avec laquelle un étranglement s'approfondit, moins le filet doit être mince ; or, ainsi qu'on l'a vu plus haut, un étranglement doit s'approfondir d'autant plus vite qu'il est plus allongé ; si donc, par suite de circonstances particulières, un étranglement appartenant soit à un cylindre, soit à une autre figure, est très-allongé, le filet auquel il donnera lieu sera épais, et la principale des sphérules résultant de sa conversion pourra ne pas différer beaucoup en diamètre des deux masses extrêmes ; il est même possible que, vu sa longueur, il fournisse plus d'une grosse sphérule ; nous verrons un exemple remarquable de ces cas. Si, au contraire, un étranglement est très-court, le filet sera très-délié, et conséquemment la sphérule très-petite, ou même il ne se formera ni filet ni sphérule ; une expérience de M. Tait (§ 345) offre un exemple de ce dernier cas, et nous en indiquerons un autre au § 504.

En outre, un filet se transformant dès que le rapport entre sa longueur et son diamètre atteint la limite de stabilité des cylindres, il en résulte qu'un filet très-court devra aussi être très-mince pour se transformer, et que si, au moment où il vient d'être développé, il n'a pas un diamètre assez petit, il ne se transformera qu'après s'être suflSsamment aminci; tandis qu'un filet très-long, filet qui, d'après ce qui précède, est originairement épais,

pourra se transformer en cet état. De là donc une seconde raison de la différence des résultats fournis respectivement par un étranglement court et par un étranglement allongé.

§ 384. Il n est pas inutile de présenter ici, en résumé, l'ensemble des faits et des lois que les expériences décrites dans ce qui précède nous ont conduit à établir à regard des cylindres liquides instables.

1** Lorsque un cylindre liquide est formé entre deux bases solides, si le rapport de sa longueur à son diamètre surpasse une certaine limite dont la valeur exacte est comprise entre 3 et 3,6, le cylindre constitue une figure d'équilibre instable.

La valeur exacte dont il s'agit est ce qne nous nommons la limite de la stabilité du cylind/re.

2** Si le cylindre a une longueur considérable par rapport à son diamètre, il se convertit spontanément, par la rupture de l'équilibre, en une série de sphères isolées, égales en diamètre, également espacées, ayant leurs centres sur la droite qui formait l'axe du cylindre, et dans les intervalles desquelles sont rangées, suivant ce même axe, des sphérules de différents diamètres. Seulement chacune des bases solides retient adhérente à sa surface une portion de sphère.

3^ La marche du phénomène est la suivante : le cylindre commence par se renfler graduellement sur des portions de sa longueur situées à égale distance les unes des autres, tandis qu'il s'amincit dans les portions intermédiaires, et la longueur des renflements ainsi formés est égale ou à fort peu près à celle des étranglements ; ces modifications continuent à se prononcer de plus en plus, en s'effectuant avec une vitesse accélérée, jusqu'à ce que les milieux des étranglements soient devenus

très-minces; alors, à partir de chacun de ces milieux, le liquide se retire rapidement dans les deux sens, mais en laissant encore les masses réunies deux à deux par un filet sensiblement cylindrique ; puis celui-ci éprouve les mêmes modifications que le cylindre ; seulement il ne s y forme en général que deux étranglements, qui comprennent, par conséquent, entre eux un renflement ; chacun de ces petits étranglements se convertit à son tour en un filet plus délié, qui se brise en deux points et donne naissance à une sphérule isolée très-petite, tandis que le renflement ci-dessus se transforme en une sphérule plus grande ; enfin, après la rupture de ces derniers filets, les grosses masses prennent complètement la forme sphérique. Tous ces phénomènes s'accomplissent d une manière symétrique par rapport à Taxe, de sorte que, pendant leur durée, la figure ne cesse pas detre de révolution.

4*" Nous nommons divisions d un cylindre liquide, les portions de ce cylindre dont chacune doit fournir une sphère, soit que nous considérions par la pensée ces portions dans le cylindre même, avant quelles aient commencé à se dessiner, soit que nous les prenions pendant la transformation, cestrà-dire pendant que chacune d elles se modifie pour arriver à la forme sphérique. La longueur d une division mesure, par conséquent, la distance constante qui, pendant la transformation, se trouve comprise entre les cercles de gorge de deux étranglements voisins.

Nous nommons , en outre, longueur normale des divisions y celle que prendraient les divisions si le cylindre auquel eÛes appartiennent avait une longueur

infinie.

Dans le cas d'un cylindre limité par des bases solides,

les divisions prennent aussi la longueur normale lorsque la longueur du cylindre est égale au produit de cette même longueur normale par un nombre entier ou bien par un nombre entier plus un demi.

Alors, si le second facteur est un nombre entier, la transformation se dispose de telle manière, que, pendant son accomplissement, la figure se termine d'un côté par un étranglement et de lautre par un renflement; si le second facteur est composé d un nombre entier plus un demi, la figure se termine de chaque côté par un renflement.

Quand la longueur du cylindre ne remplit ni Tune ni l'autre de ces conditions, les divisions prennent la longueur la plus approchée possible de la longueur normale, et la transformation adopte celle des deux dispositions ci-dessus la plus convenable pour atteindre ce but,

5° Pour un cylindre d'un diamètre donné, la longueur normale des divisions croît avec les résistances qui gênent la transformation; elle varie donc, mais sans doute assez faiblement, avec la nature du liquide, les viscosités, tant intérieure que superficielle, de celui-ci constituant des résistances. S'il y a une résistance extérieure, telle que le contact de la surface convexe du cylindre avec un plan solide, cette résistance augmente conséquemment aussi la longueur normale des divisions. Dans tous les énoncés qui suivent, nous prendrons le cas le plus simple, savoir celui de l'absence de toute résistance extérieure ; en d'autres termes, nous supposerons toujours les cylindres dans le vide ou dans l'air, et libres sur toute leur surface convexe.

ô*" Deux cylindres diff'érents en diamètre, mais formés du même liquide, et ayant des longueurs telles que les divisions prennent dans chacun d'eux leur longueur

ÉTUDE PUREMEiNT EXPÉRIMENTALE. 231

normale, se divisent d'une manière semblable, c'est-à-dire que les longueurs normales respectives des divisions sont entre elles comme les diamètres de ces cylindres.

En d'autres termes, la nature du liquide ne changeant pas, la longueur normale des divisions d'un cylindre est proportionnelle au diamètre de celui-ci.

Il en est de même, par conséquent, du diamètre des sphères isolées dans lesquelles se convertissent les divisions normales, et de la longueur des intervalles qui séparent ces sphères.

7" Par suite des viscosités intérieure et superficielle, le rapport entre la longueur normale des divisions et le diamètre du cylindre surpasse toujours la limite de la stabilité. Il se réduirait sans doute à cette limite même si le liquide était exempt de toute viscosité.

8" On peut adopter 4 comme valeur moyenne de ce rapport dans les différents liquides. D'après cela, on a, pour la valeur approximative probable du rapport entre le diamètre des sphères isolées qui résultent do la transformation et le diamètre du cylindre, le nombre 1,8?; et, pour celle du rapport entre la distance de deux sphères voisines et ce même diamètre, le nombre 2,18.

9'' Le temps qui s'écoule depuis l'origine de la transformation jusqu'à l'instant de la rupture des filets, est exactement ou sensiblement proportionnel au diamètre du cylindre. ,

10* Pour un même diamètre, et les divisions ayant toujours leur longueur normale, la valeur absolue du temps dont il s'agit varie avec la nature du liquide.

11^ Dans- le cas du mercure, et pour un diamètre d'un centimètre, cette valeur absolue est notablement supérieure à deux secondes.

12^ Lorsque un cylindre est formé entre deux bases

solides suffisamment rapprochées pour que le rapport de la longueur du cylindre au diamètre soit compris entre une fois et une fois et demie la limite de la stabilité, la transformation ne produit quun seul étranglement et un seul renflement ; on n obtient alors pour résultat final, que deux portions de sphères inégales en volume et en courbure, respectivement adhérentes aux bases solides, plus des sphérules interposées.

§ 385. Nous venons d'étudier expérimentalement ce qui concerne la stabilité des cylindres liquides ; passons au caténoïde.

On a vu (§ 60) que le caténoïde partiel de hauteur maxima, quand on le réalise, au sein du liquide alcoolique, avec une masse d'huile pleine, est toujours parfaitement stable, et que cependant on doit le regarder comme étant à sa limite de stabilité. Nous allons, comme je lai annoncé (§ 111), éclaircir cette difficulté.

Pour cela, commençons par décrire, avec leurs curieuses particularités, les expériences relatives à la repherche de ce caténoïde maximum. Rappelons d abord ce que nous avons déjà dit (§ 62), savoir : que le diamètre extérieur des anneaux était de 71'"™; que, dans toutes les expériences dont il s'agit, après avoir formé un cylindre entre ces anneaux, on enlevait graduellement de l'huile à la masse ; enfin qu'on interrompait de temps à autre l'exhaustion, pour observer la figure. Voici maintenant les résultats :

• l'^' Expérience. Distance des anneaux, 55'"'". On réduit par degrés à une fraction de millimètre la flèche des calottes sphériques qui constituent les bases ; alors, pendant une interruption de l'épuisement, un phénomène singulier se produit : la figure éprouve une petite modification spontanée; la convexité des bases augmente

rapidement, jusqu'à ce que la flèche reprenne une valeur d environ 2"'", 5, et par conséquent 1 étranglement formé entre les anneaux s'amincit quelque peu, puis tout demeure parfaitement stationnaire. En absorbant encore de l'huile avec ménagement, la flèche s'accroît jusqu'à 3«nra à peu près; enfin, à la suite d'une nouvelle absorption, la figure se désunit à la manière ordinaire par le milieu de l'étranglement.

2°*® Expérience. Distance des anneaux, 49™™. Les bases finissent par perdre sensiblement toute courbure, puis il y a, comme précédemment, transformation spontanée : les bases redeviennent légèrement convexes , avec une flèche d'environ 1'"™. Une nouvelle absorption amène la désunion.

3me Expérience. Distance des anneaux, 47'"™. Les bases paraissent encore s'aplanir tout à fait, et la figure persiste dans cet état. Des absorptions ultérieures semblent d'abord n'avoir d'autre elFet que d'approfondir l'étranglement, sans que les bases cessent de se montrer planes; puis une petite convexité se reforme, mais non plus spontanément : elle naît et augmente au fur et à mesure que l'on épuise; lorsque la flèche est à peu près de 1™*",5, la désunion s'etFectue.

4me Expérience. Distance des anneaux, 45™™. Les bases deviennent d'abord planes, puis légèrement concaves. La flèche de cette concavité croît jusqu'à 2™™ approximativement; puis on observe de nouveau une transformation spontanée : la concavité se change en une convexité, dont la flèche est de près d'un millimètre. L'action de la seringue détermine ensuite la désunion.

5™® Expérience. Distance des anneaux, 43™™. Les bases sont rendues planes, puis concaves, et la flèche de la

concavité atteint graduellement 4™™ ou 5™"; enfin la figure se désunit.

§ 386. Voyons ce que nous apprennent ces expériences. En premier lieu, il nest pas facile, remarquons-le, de juger du point précis où les bases de la figure sont rendues planes, une courbure extrêmement faible échappant à la vue. De là naît quelque incertitude dans la détermination de la hauteur limite du caténoïde ; heureusement les particularités que nous avons signalées fournissent un moyen d'appréciation plus exact.

Dans la quatrième expérience, on passe nécessairement par des bases planes, puisque la courbure, de convexe qu elle était, devient graduellement concave par le progrès de l'absorption du liquide ; mais en est-il de même dans la deuxième et dans la troisième, où l'on a paru arriver aussi à des plans? Essayons d'éclairer cette question. La première, la deuxième et la quatrième expérience ont cela de commun qu'il s'y est produit une petite modification ou transformation spontanée de la figure, tandis que dans la troisième ce phénomène n'a pas eu lieu ; et cette modification a été en décroissant de la première à la deuxième, pour disparaître dans la troisième et reparaître dans la quatrième. On doit croire, d'après cela, que la troisième expérience forme une sorte de passage en deçà et au delà duquel se manifestent les petites transformations spontanées; mais l'effet s'est montré, dans la première expérience, lorsque les bases avaient encore une courbure visible, et, dans la quar trième, lorsqu'elles en avaient pris une en sens inverse; il est donc bien probable que, dans la deuxième, au moment où l'on a vu naître la transformation spontanée, les bases conservaient encore une courbure réelle, quoique trop faible pour être distinguée, et que c'est seule-

ment dans la troisième^ où la distance des anneaux était de 47 millimètres, que Ton a atteint des bases tout à fait planes. Si, dans cette troisième expérience, les bases jugées planes ont paru ne commencer à perdre cet état qu'après l'absorption d'une quantité très-notable de liquide, cela tient évidemment à la difficulté mentionnée plus haut de distinguer nettement le point où la courbure est annulée.

Ainsi, avec nos anneaux de 71 millimètres de diamètre, on peut admettre que la distance de 47 millimètres diffère très-peu de celle pour laquelle on commence à

obtenir des bases rigoureusement planes, et 47 est sensi-

blement les- de 71 ; c'est de cette manière qu'à l'aide de

l'expérience seule effectuée sur un caténoïde plein, j'ai

trouvé r pour la valeur très-approchée du rapport entre

la hauteur du caténoïde limite et le diamètre des bases.

§ 387. En second lieu, appelons l'attention sur les petites transformations spontanées considérées en ellesmêmes. Jusqu'à présent, quand nous voyions une de nos figures liquides se transformer, et passer ainsi d'un équilibre instable à un équilibre stable, l'altération était profonde, la masse se séparait en deux ou plusieurs parties, et le résultat final du phénomène se composait toujours de sphères ou de portions de sphères ; ici rien de semblable : l'altération est petite, la masse ne se désunit pas, et le résultat final est une figure qui s'éloigne peu de la première, du moins dans la portion réalisée, et qui peut être de la même nature. Dans la première expérience, par exemple, un onduloïde partiel instable se transforme en un autre onduloïde peu différent, et il en est sans doute de même dans la deuxième.

En outre, ce qui est plus remarquable encore, la com-

paraison des deux premières expériences semble indiquer que Tonduloïde instable et londuloïde stable dans lequel il se convertit se rapprochent indéfiniment l'un de l'autre à mesure que la distance des anneaux est plus voisine de la hauteur maxima du caténoide.

Ces faits nous donnent la clef de la difficulté relative à la stabilité du caténoïde limite plein. Lorsque, les anneaux étant à la distance qui correspond à ce caténoïde et un cylindre étant formé entre eux, on fait agir la petite seringue, la figure devient d'abord, nous le savons, un onduloïde qui, en variant par suite de l'absorption, tend progressivement vers le caténoïde; mais la troisième expérience nous montre, de plus, que si, après avoir atteint cette limite, on continue l'opération, la figure redevient insensiblement un onduloïde qui, au fur et à mesure de l'épuisement, s'éloigne de ce même caténoïde. Si donc le caténoïde partiel de plus grande hauteur constitue le passage entre les caténoïdes partiels stables et les caténoïdes partiels instables, il constitue, d'autre part, le passage entre une suite continue d'onduloïdes stables et une autre suite continue d'onduloïdes également stables. Telle est évidemment la raison de la stabilité prononcée du caténoïde partiel de plus grande hauteur réalisé à l'état plein; aussi, comme nous l'avons vu (§§ 111 et 222), quand on réalise le caténoïde à l'état laminaire, et qu'ainsi on rend impossible la formation de toute autre figure, il perd sa stabilité dès qu'on lui donne la hauteur maxima.

Cette explication laisse cependant encore quelque obscurité sur l'idée d'une figure à la fois très-stable et à sa limite de stabilité ; je vais donc la rendre plus complète. Ainsi que je viens de le faire remarquer, il peut arriver, dans certains cas, que la figure stable vers

laquelle marche une figure instable qui se déforme spontanément, soit de plus en plus rapprochée de celle-ci à mesure qu on diminue la distance des bases , et se confonde enfin avec cette figure instable pour une valeur déterminée de la distance en question, de manière qu'alors la figure est nécessairement stable; mais elle est réellement à sa limite de stabilité, en ce sens que si Ion essaie de la réaliser sur une portion plus étendue de sa ligne méridienne, elle ne se maintiendra pas. Seulement la nouvelle forme qu elle prendra différera d autant moins de la première que celle-ci dépassera moins la limite, en sorte que si Ion a été à peine au delà de cette limite, le changemept de forme sera très-minime.

Tel est sans doute le cas du caténoïde ; si, avec une masse pleine, on parvenait à en réaliser un dont la chaînette méridienne s étendît au delà des points correspondants à la hauteur maxima, il constituerait le plus rentré des deux caténoïdes possibles entre les mêmes bases, et conséquemment il serait instable (§§ 58 et 60) ; et Ion peut conclure de la 4"® et de la 5"*® expérience du § 385, que sa déformation spontanée le convertirait en un nodoïde ou en un onduloïde, mais ce changement de forme serait d'autant plus petit que le caténoïde excéderait moins la limite en question; enfin, s il est à cette limite même, il n y aura pas de changement du tout, et la figure sera stable. Nous verrons ci-après un second exemple du même genre.

§-388. Arrivons àlonduloïde. Les conditions de stabilité de cette figure sont essentiellement différentes suivant que son milieu est occupé par un étranglement' ou par un renflement.

Dans le premier cas, la limite de stabilité n'a rien d absolu : quand le rapport entre la distance et le dia-

mètre des bases est assez grand, et que, par Texhaustion graduelle de la masse, on approche du point où la figure se désunirait spontanément, celle-ci présente (§55), outre 1 étranglement, deux portions adjacentes de renflements ; dans ce cas donc la ligne méridienne de londuloïde partiel à sa limite de stabilité s'étend beaucoup au delà des deux points d'inflexion ; mais il n'en est plus de même pour un intervalle moindre des bases, comme dans les onduloïdes voisins du caténoïde limite ; dans ces derniers, la ligne méridienne est loin d'atteindre les points d'inflexion ; en effet, le caténoïde peut (§ 61) être considéré comme un onduloïde dans lequel les points d'inflexion de la ligne méridienne sont situés à l'infini, et conséquemment, dans un onduloïde partiel très-rap proche du caténoïde limite, onduloïde qui, d'après les expériences du § 385, est lui-même très-près de sa limite de stabilité, les points d'inflexion doivent être situés fort loin au delà des bases de la figure.

Heureusement les choses sont toutes différentes dans le second cas, c'est-à-dire pour un onduloïde partiel dont le milieu est un renflement : alors la limite de la stabilité paraît pouvoir s'exprimer d'une manière très-simple et toujours la même ; en effet, l'expérience conduit (§ 52) à admettre que la figure liquide est à sa limite de stabilité lorsqu'elle se termine aux cercles de gorge de deux étranglements consécutifs, ou, en d'autres termes, lorsqu'elle est exactement composée d'un renfiement entre deux demi-étranglements. Nous reviendrons sur ce point (§ 409).

§ 389. Reste encore, quant aux figures d'équilibre de révolution, ce qui se rapporte à la stabilité du nodoïde. Mes procédés réalisent, on l'a vu, soit la portion engendrée par une partie ou par la totalité d'un nœud de la

ligne méridienne (§§ 63 à 68), soit la portion engendrée par un arc de cette ligne tournant sa convexité vers l'extérieur (§71). Nous aurions donc à chercher la limite de la stabilité dans ces deux cas de la figure partielle.

Dans le premier, l'expérience nous a montré (§ 65) la stabilité setendant au moins depuis la circonférence engendrée par le sommet du nœud jusqu'aux deux circonférences où les éléments sont perpendiculaires à Taxe de révolution ; cependant il y a nécessairement une catégorie de nœuds pour lesquels la stabilité s'arrête en deçà des dernières circonférences ainsi caractérisées. En effet, concevons un nodoïde très-voisin du caténoïde (§ 77), et considérons en particulier l'un des nœuds de sa ligne méridienne; ce nœud sera, nous le savons, très-allongé, de sorte que les points où les tangentes sont perpendiculaires à l'axe de révolution se trouveront à une distance de celui-ci très-grande par rapport à celle du sommet du nœud et par rapport à l'intervalle compris entre eux. Si donc on pouvait réaliser entre deux disques la portion de figure engendrée par la partie d'un semblable nœud allant du sommet jusqu'aux points en question, ces disques seraient très-rapprochés relativement à leur rayon, et la figure étranglée pénétrerait fort avant dans leur intervalle. Mais, entre deux disques ainsi placés, mes procédés ne donnent jamais qu'un étranglement dont la ligne méridienne diffère peu d'une demi-circonférence, comme le montrent les jf^. 36 et 37 (§65). Entre deux disques suffisamment rapprochés, il y a conséquemment deux figures étranglées théoriquement possibles, partant l'une et l'autre des bords des disques où leurs lignes méri^ diennes respectives ont leurs éléments couchés sur les rayons de ces disques, et pénétrant inégalement entre ces mêmes disques; or, comme la moins rentrée est

toujours la seule qui se réalise, j'en conclus que la plus rentrée serait instable, c'est-à-dire que, pour celle-ci, la stabilité cesse en deçà des circonférences où les éléments sont perpendiculaires à Taxe.

D'après cela, on doit, me semble-t-il, admettre comme très-probable ce qui suit :

lo Dans la figure la moins rentrée, la limite de la stabilité est au delà des circonférences situées aux bords des disques, de sorte que, pour réaliser cette figure jusque près de sa limite, il faut un procédé différent. Celui du § 67 permet de réaliser, en relief, la portion engendrée par la totalité d'un nœud; à la vérité, la figure n'est pas stable, mais elle persiste assez longtemps pour qu'on puisse en conclure que, si elle n'est pas à sa limite de stabilité, elle en est du moins très-voisine : il n'est pas douteux que si, au lieu d'un anneau en simple fil de fer, on employait une bande de fer peu large et courbée cylindriquement, de manière que la ligne méridienne de la figure liquide n'atteignît pas la pointe du nœud, bien que s'en rapprochant, cette figure, qui dépasserait de beaucoup les circonférences dont il s'agit, serait stable (1). Dans la figure la plus rentrée, au contraire, la limite de la stabilité est en deçà de ces mêmes circonférences.

2® A mesure que Técartement des disques est plus grand, les deux figures se rapprochent lune de l'autre, et il en est de même de leurs limites respectives de stabilité ; enfin , pour une certaine valeur maxima de Técartement, ces deux figures coïncident, ainsi que leurs

(1) En résumant ma 4"*^ Série dans les ânn. de Chim. et de Phys. db Paris (3^^ série, t. LUI), j'ai dit, page 37, que la âgure obtenue dans un anneau en fil de fer, est à sa limite de stabilité ; cette assertion est évidemment trop positive.

ÉTUDB PUREMENT EXPÉRIMENTALE. 241

limites de stabilité, qui se trouvent alors aux bords mêmes des disques. Je suis porté à croire que ce dernier cas est celui du nodoïde dont la ligne méridienne est engendrée par le roulement d'une hyperbole équilatère, et je pense, en outre, qu'au delà de lecartement en question, il ny a plus de nodoïde étranglé possible entre les mêmes disques.

Si ces conjectures sont vraies, le nodoïde étranglé aurait, dans un cas particulier simple, une limite de stabilité nettement définie.

§ 390. Dans le second cas de réalisation, c est-à-dire dans celui où la figure est engendrée par un arc convexe vers lextérieur, on a vu (§§ 71 et 114) qu'en rapprochant graduellement les deux disques, on atteint un point au delà duquel la figure, soit pleine, soit laminaire, perd sa forme de révolution, la masse d'huile ou la lame se portant davantage d'un coté de l'axe du système ; on a vu aussi qu'à la plus petite distance des disques où la figure conserve sa régularité, les éléments de l'arc méridien aux points où il aboutit aux deux disques, semblent être, ou à fort peu près, perpendiculaires à Taxe. On pourrait présumer, d'après cela, que la limite de stabilité du nodoïde partiel renflé correspond au cas où les éléments extrêmes de l'arc méridien sont perpendiculaires à l'axe ; mais j'ai cherché à décider la question par de nouvelles expériences.

On a d'abord mesuré exactement le diamètre des disques; il était, pour l'un, de 71™™,38, et, pour l'autre, de 71">°»,82, moyenne 7r""',60. On a ensuite fait adhérer à l'ensemble de ces deux disques, au sein du liquide alcoolique, une masse d'huile suffisante, puis on a abaissé graduellement le disque supérieur, et on l'a arrêté au point au delà duquel la figure renflée commençait à

perdre sa forme de révolution. Cela fait, on a mesuré au cathétomètre Tintervalle des deux disques, ou plutôt la distance comprime entre la face supérieure du disque supérieur et la face inférieure du disque inférieur, puisque c'était des bords de ces deux faces que partait la surface libre de la figure liquide ; on a effectué cette opération de deux côtés opposés de Taxe, et Ton a trouvé les deux valeurs 63"™,95 et 64"*™,08, moyenne 64"""",01; enfin, en disposant le cathétomètre horizontalement, on a mesuré le diamètre équatorial de la figure, et Ion a obtenu 118"«,67.

Or, en prenant comme données le diamètre des disques et le diamètre équatorial de la masse, M. Lamarle a bien voulu calculer pour moi, au moyen des fonctions elliptiques (§ 84), la distance qui aurait dû exister entre les bords solides d où partait la figure liquide pour qu'à ces bords les éléments fussent perpendiculaires à l'axe, et il a trouvé ainsi 51"™,9, valeur qui n'est que les huit dixièmes environ de la distance mesurée 64"",01.

On a répété ensuite l'expérience avec une masse d'huile moindre. Ici la distance des disques était, en moyenne, 39'"",63, et le diamètre équatorial de la figure 101"°*, 17; la valeur de la distance des disques déduite du calcul, pour le cas de Thorizontalité réelle des éléments extrêmes, était 32"*", 10, qui constitue aussi les huit dixièmes de la valeur mesurée.

Il suit évidemment de ce constant désaccord entre l'apparence des figures et les résultats du calcul, que, dans ces figures, les éléments extrêmes de l'arc méridien faisaient encore, en réalité, un angle notable avec les prolongements des rayons des disques, et que si, au simple aspect, on pouvait croire cet angle nul, cela

tenait à la grande difficulté d'une semblable appréciation.

On doit, je pense, conclure de là que, dans le nodoïde partiel renflé, la limite de la stabilité est en deçà des circonférences où les éléments sont perpendiculaires à Taxe.

§ 391. Dans les expériences que je viens de décrire, quand, après avoir abaissé le disque supérieur jusqu'à la dernière limite où la figure liquide se maintient régulière, on abaisse encore ce même disque d une quantité très-petite, le transport latéral de la masse est aussi très-petit, et reste tel tant que le disque demeure dans la même position ; il augmente par un abaissement ultérieur, et se montre d autant plus prononcé que l'abaissement est plus grand.

Le nodoïde partiel renflé nous offre donc un nouvel exemple d'une figure liquide permanente bien qu'étant à sa limite de stabilité, et le phénomène s'explique comme à l'égard du caténoïde plein : c'est que la figure stable dans laquelle ce nodoïde se convertirait spontanément s'il était au delà de sa limite, est d'autant plus rapprochée que le nodoïde est supposé plus près de cette limite, et coïncide enfin avec lui à la limite même.

Ajoutons une dernière remarque : lorsque le cylindre, l'onduloïde étranglé, l'onduloïde renflé, le caténoïde et le nodoïde étranglé atteignent ou dépassent leur limite de stabilité, et, par suite, s'altèrent spontanément, le phénomène s'accomplit sans que la figure liquide perde sa forme de révolution, et la figure stable résultante est encore de révolution autour du même axe; mais, ainsi qu'on vient de le voir, le nodoïde renflé fait exception : pendant sa déformation spontanée, la figure se montre dissymétrique, et elle demeure telle après l'achèvement du phénomène. Un autre exemple de dis-

symétrie s'était déjà préienté à nous dans la déformation spontanée d'un nœud de nodoïde réalisé en relief dans un anneau en fil de fer (§ 67).

§ 392. Dans cette recherche des limites de stabilité des figures d'équilibre de révolution, nous avons toujours supposé la figure terminée à deux sections perpendiculaires à Taxe et égales en diamètre. Mais il est clair qu on pourrait adopter d autres terminaisons, et qu'alors les limites de stabilité seraient différentes : on pourrait, par exemple, prendre encore pour bases de la figure deux sections perpendiculaires à Taxe, mais leur donner, sauf dans le cas du cylindre, des diamètres inégaux. On a vu (§ 91) que M. Lindelôf a traité analytiquement, sous ce rapport, la question du caténoïde ; mais j'étais arrivé auparavant à un résultat remarquable que j'avais fait connaître dans ma 11™® Série; le voici : quand on prend le cercle de gorge pour l'une des terminaisons, le caténoïde n'a plus de limite de stabilité, c'est-à-dire que la seconde base peut être aussi loin de la première qu'on le veut, sans que la figure tende à s'altérer spontanément.

Pour le démontrer, concevons un onduloïde partiel terminé d'un côté au cercle de gorge d'un étranglement, et, de l'autre côté, à l'équateur de l'un des deux renflements entre lesquels, dans la figure indéfinie, cet étranglement serait compris ; l'onduloïde ainsi formé sera très-stable, puisque, en conservant la première base, il faudrait, pour atteindre la limite de stabilité, reculer la seconde jusqu'au cercle de gorge suivant (§ 52). Imaginons maintenant que, la première base, savoir le cercle de gorge, demeurant constante, on fasse varier l'onduloïde en question de manière qu'il converge graduellement vers le caténoïde ; notre seconde

base, cest-à-dire la section équatoriale du renflement, ira en croissant et en s éloignant de la première, et la figure conservera évidemment sa stabilité; enfin, à la limite de ces variations, ou, en d'autres termes, quand la section dont il s agit sera infiniment grande et infiniment éloignée, londuloïde, qui n'aura pu perdre sa stabilité, sera un demi-caténoïde s étendant à l'infini à partir du cercle de gorge ; si donc on prend où Ton veut, sur ce demi-caténoïde, une section perpendiculaire à Taxe, et qu on en fasse la seconde base de la figure, cette figure sera toujours nécessairement stable.

Afin de véri 1er cette déduction, j ai pris, pour la seconde base, l'anneau en fil de fer de 20 centimètres de diamètre, employé dans l'expérience du § 186^'% et, pour le cercle de gorge, un autre anneau, dont le diamètre n'était que de 3,5 centimètres; celui-ci était porté par une fourche dont la queue était fixée sous un bras horizontal mobile le long d'une tige verticale. On a mouillé de liquide glycérique ce petit anneau, puis on a produit une lame du même liquide dans le grand, et l'on a posé ce dernier sur ses pieds, de façon que la lame fût horizontale; le support qui soutenait le petit anneau a été ensuite placé de manière que ce petit anneau fût audessus du grand et que les centres de tous deux fussent sur une même verticale; on a Rabaissé alors le petit anneau jusqu'à ce qu'il vînt se mettre en contact avec la lame, puis on l'a soulevé graduellement. La lame adhérant à la fois aux deux anneaux, a pris nécessairement la forme d'une portion de caténoïde, et l'on a pu ainsi arriver à rendre d'abord vertical l'élément de la chaînette méridienne qui aboutissait au petit anneau, puis à le faire rentrer vers l'axe d'une manière visible, de sorte que la figure présentât un commencement d'étran-

glement; en d'autres termes, on a pu non-seulement atteindre le demi-caténoïde, mais même le dépasser un peu, sans que la figure perdît sa stabilité.

Ce dernier résultat est d'accord, autant qu'on peut en juger en l'absence de mesures précises, avec les nombres du tableau du § 91. On voit, en effet, par ce tableau, que, quel que soit le rapport des diamètres des bases, le caténoïde, à sa limite, a toujours un cercle de gorge ; mais on voit, en même temps, qu'à mesure que le diamètre de la base supérieure diminue, celui du cercle de gorge s'en rapproche, de telle sorte que si le diamètre de la base supérieure n'est, comme dans mon expérience, que les 0,17 de celui de la base inférieure, l'étranglement doit être assez légèrement accusé. On n'a pu, d'ailleurs, observer cet étranglement qu'un peu en deçà de la hauteur limite du caténoïde, puisque, à cette limite même, la figure se désunissait.

Dans l'article où il donne le tableau dont il s'agit, M. Lindelôf montre que ses formules établissent, comme mon raisonnement, l'absence de limite de stabilité à l'égard du caténoïde dont l'une des bases est le cercle de gorge.

Les nombres du tableau, du moins ceux de la 2™® colonne, sont susceptibles de vérifications expérimentales précises ; seulement elles ne seraient pas sans difficultés, car il faudrait trouver le moyen de rendre les plans des deux anneaux exactement parallèles et de disposer rigoureusement les deux centres sur une même perpendiculaire à ces plans.

§ 393. Les figures d'équilibre qui ne sont pas de révolution ont aussi, et pour la plupart sans nul doute, leurs limites respectives de stabilité. Seulement il faut, pour chacune d'elles, faire également une convention à

regard du système solide dans lequel on la comprend.

Je citerai d abord, comme exemple, celle des surfaces mentionnées dans le § 137, que j ai réalisée à Tétat laminaire; ainsi qu'on la vu (§ 138), on obtient une portion stable de cette surface dans le système solide que j ai choisi, quand la hauteur de celui-ci est égale à sa largeur; mais il n'en est plus de même quand la hauteur est quadruple de la largeur.

Je citerai encore Théliçoïde de M. Lamarle que j'ai réalisé avec de Thuile dans le liquide alcoolique (§ 132). Il était compris, on se le rappelle, entre des sections perpendiculaires à Taxe de la figure ; or il montrait une stabilité bien décidée quand les sections solides étaient distantes d un quart de spire ; mais on ne parvenait plus à le former entre deux sections éloignées d'une demispire , ce qui indique qu'avec cette longueur il est instable.

J'étais porté à croire que l'héliçoïde gauche à plan directeur n'a pas de limite de stabilité, du moins lorsqu'il est compris, à l'état laminaire, dans un système solide composé d'une portion de l'axe et d'une hélice rattachée à celui-ci par des portions droites (§ 1 30) ; en effet, celui que j'ai réalisé avait deux spires complètes, et il était parfaitement stable ; or, d'après une remarque de M. Schwarz(i), on démontre aisément l'exactitude de cette conjecture, en partant d'un résultat connu du calcul des variations.

(l) Voir Particle inscrit au § 508 sous le n» 37.

Tt -S

fait voir que la méthode employée par M. Hagen, bien qu'ingénieuse, ne pouvait donner qu une valeur plus ou moins éloignée de la véritable, parce que les arcs méridiens des renflements et des étranglements ne sont pas des arcs de cercle, et qu en substituant à ces derniers des arcs de sinusoïde, évidemment plus rapprochés de ceux de la courbe réelle, on obtient un résultat notablement différent.

J ai annoncé alors que j'étais parvenu, à laide d'une méthode rigoureuse, à la valeur exacte de la limite dont il s'agit, et que cette valeur exacte est la quantité t, cest-à-dire le rapport de la circonférence au diamètre, ou 3,1416. Je vais maintenant faire connaître cette méthode ; le principe sur lequel elle repose m'a été fourni par M. Lamarle. v

§ 396. Supposons un cylindre d'huile horizontal réalisé entre deux disques au sein du mélange alcoolique, et assez court pour être stable, sans être cependant trop en deçà de la limite. Si, en poussant légèrement le liquide en plus grande quantité vers lun des disques au moyen du bec de la petite seringue, on détermine la formation artificielle d'un renflement et d'un étranglement, et si cette modification de la figure ne dépasse pas un certain degré, la masse abandonnée ensuite à elle-même reprend spontanément la figure cylindrique initiale. Mais si l'altération excède le degré dont il s'agit, elle progresse ensuite spontanément, et la transformation s'achève.

Or, au degré précis d'altération qui sépare les tendances à ces deux effets opposés, la masse doit évidemment être indiff'érente à l'une et à l'autre ; il doit donc y avoir là un état d'équilibre, bien que cet équilibre soit instable ; et comme la figure est alors encore de révolution et qu elle se compose d'un renflement et d'un