CHAPITRE X

Stabilité des fissures d'équilibre; étude théorique, et vérifioationB

expérimentales.

§ 394. Dans le chapitre précédent, nous n'avons eu recours qu à l'expérience ; voyons maintenant ce que la théorie peut nous apprendre à 1 égard de la stabilité de nos figures .

Quelques mois après la publication de ma 2'"® Série, où j'avais exposé l'étude expérimentale de la stabilité du cylindre, M. Hagen a essayé (*) d'appliquer le calcul à la recherche de la limite relative à cette figure. Pour cela, supposant un cylindre liquide dont la forme est très-légèrement altérée de manière qu'il présente une suite de renflements et d'étranglements égaux et extrêmement peu prononcés, M. Hagen admet que les arcs méridiens de ces renflements et de ces étranglements peuvent, sans erreur sensible, être assimilés à des arcs de cercle. Il calcule, dans cette hypothèse, les pressions capillaires exercées aux sommets respectifs d'un arc convexe et d'un arc concave, et enfin il cherche la limite de la stabilité en partant de la considération que la difi'érence des deux pressions ci-dessus doit être positive d'un côté de cette limite, et négative de l'autre côté ; il arrive ainsi à la valeur 2î, c'est-à-dire au nombre 2,8284.

§ 395. Dans un article (2) en réponse à cette Note, j'ai

(1) Ueber die Auflôsung flUssiger Cylinder in Trojifen (Ann. de M. Poo- GENDORFF, année 1850, vol. LXXX, p. 559).

(2) Ueber die Grànze der Stabilitdt eines flUssigen Cylinders (Ibid., ibid.,

p 5GG;.

fait voir que la méthode employée par M. Hagen, bien qu ingénieuse, ne pouvait donner qu'une valeur plus ou moins éloignée de la véritable, parce que les arcs méridiens des renflements et des étranglements ne sont pas des arcs de cercle, et quen substituant à ces derniers des arcs de sinusoïde, évidemment plus rapprochés de ceux de la courbe réelle, on obtient un résultat notablement différent.

Jai annoncé alors que j'étais parvenu, à l'aide d'une méthode rigoureuse, à la valeur exacte de la limite dont il s'agit, et que cette valeur exacte est la quantité t, c'est-à-dire le rapport de la circonférence au diamètre, ou 3,1416. Je vais maintenant faire connaître cette méthode ; le principe sur lequel elle repose m'a été fourni par M. Lamarle.

§ 396. Supposons un cylindre d'huile horizontal réalisé entre deux disques au sein du mélange alcoolique, et assez court pour être stable, sans être cependant trop en deçà de la limite. Si, en poussant légèrement le liquide en plus grande quantité vers l'un des disques au moyen du bec de la petite seringue, on détermine la formation artificielle d'un renflement et d'un étranglement, et si cette modification de la figure ne dépasse pas un certain degré, la masse abandonnée ensuite à elle-même reprend spontanément la figure cylindrique initiale. Mais si l'altération excède le degré dont il s'agit, elle progresse ensuite spontanément, et la transformation s'achève.

Or, au degré précis d'altération qui sépare les tendances à ces deux effets opposés, la masse doit évidem^ ment être indifférente à l'une et à l'autre ; il doit donc y avoir là un état d'équilibre , bien que cet équilibre soit instable ; et comme la figure est alors encore de révolution et qu elle se compose d'un renflement et d'un

étranglement, elle forme nécessairement une portion d onduloïde . En second lieu, puisque cet onduloïde partiel constitue le degré d'altération où va commencer la tendance spontanée à une altération plus profonde, il doit s écarter d'autant moins de la figure initiale, cest-à-dire du cylindre, que celui-ci est plus près de sa limite de stabilité. Enfin, lorsque le cylindre est à cette limite même, londuloïde partiel doit coïncider exactement avec lui, puisque alors la plus faible trace d'un renflement et d un étranglement doit suffire pour amener la transformation spontanée.

§ 397. Le principe ci-dessus étant admis, appliquons-y le calcul. Reprenons l'expression de la condition générale à laquelle doivent -satisfaire les lignes méridiennes des figures d'équilibre de révolution, savoir (§ 36)

M"*"N = ^' expression où M est le rayon de courbure et N la normale. Dans le cas du cylindre, la ligne méridienne étant une droite, M est partout infini, ce qui réduit la

formule à-= C, d'où N = -; or comme la droite en

question est parallèle à l'axe , la normale N est le rayon du cylindre engendré, d'où il suit que ce rayon

est égal à ^.

Rappelons-nous, en outre, que l'expression générale ci-dessus, mise sous la forme difi'érentielle, peut s'intégrer une première fois (§ 84). Si l'on prend l'axe de révolution comme axe des a?, cette intégrale, qui représente nos lignes méridiennes, devient :

p désignant le coefficient différentiel Jf , et C étant la

dx

constante arbitraire introduite par l'intégration. S'il s'agit du cylindre, la tangente est nulle partout; faisant donc ^ = 0 et résolvant par rapport à y, on a :

y = ç =^ C /l — 2CC'.

Il est clair qu'ici y est le rayon du cylindre, et puisque ce rayon est simplement égal à -, la constante arbitraire C doit être déterminée de manière à annuler le radical j/l — 2CC', c'est-à-dire qu'il faut faire C' == 5^ . Cela posé, concevons un cylindre réalisé entre deux disques de rayon - , et supposons la distance de ces disques telle que le cylindre soit en deçà de sa limite de stabilité, mais extrêmement près de celle-ci. Alors l'onduloïde partiel qui lui correspond s'en écartera à peine ; en d'autres termes, les arcs méridiens du renflement et de l'étranglement seront presque confondus avec la droite

y = ^ , et il en sera de même des arcs méridiens de tous

les autres renflements et étranglements de la figure complète, c'est-àrdire infiniment prolongée au delà des disques. Dans cette circonstance, par conséquent, l'ordonnée y variera très-peu sur toute l'étendue de la ligne méridienne, et la tangente p demeurera toujours fort petite.'

Introduisons ces conditions dans l'équation [1], et, pour cela, transportons l'axe des x parallèlement à luimême, au-dessus de sa position première, d'une quantité

égale à- , de manière à le faire coïncider avec la géné-

ratrice du cylindre. Remplaçons donc y par y + p, et

n'oublions pas que, dans l'équation transformée, y repré-

sentera lordonnée comptée à partir du nouvel axe des abscisses, de sorte que, dans toute la courbe, y demeurera, comme ;?, fort minime. Développons, en outre, le radical ^\ -+-p* \ nous pourrons négliger toutes les puissances de jo supérieures à la deuxième, et nous aurons ainsi, au lieu du radical en question, la quantité

1 + 5i^'- Faisant donc ces substitutions, l'équation [1]

deviendra, les réductions étant effectuées,

2CV -4- C*yV ■»- 2CyV -^- (1 -^ 2CC');?«=2 (1 — 2CC'). [2]

Enfin, à cause de la petitesse de y et de jo, négligeons les termes du 4'"« et du 3"*® degré C'jo'y' et 2Cp^yy et réquation se réduira ainsi à