C V + (!-*- 2CC') ;?« « 2 (1 — 2CC

L'erreur que nous commettrons sera d'autant plus minime que londuloïde se rapprochera davantage du cylindre, et le résultat que nous tirerons de cette équation, pour le cas où londuloïde se confond avec le cylindre, sera rigoureusement exact.

Écrivant, dans cette même équation, - au lieu de je?,

et résolvant par rapport à dx^ il vient :

, . 2CC' dy

^ /l— 2CC' — C«y*

ce qui donne, par l'intégration :

1 /1-+.2CC' Cy .^

x = -\/ arc sm -—^ . . . [4]

^ V 2 j/i 2CC'

Je n'ajoute point de constante arbitraire, parce que je prends pour origine l'un des points où la courbe coupe l'axe des a?, ce qui exige que l'équation soit satisfaite en y faisant à la fois y :^ 0 et iP =^ 0.

Telle est donc Téquation approchée de la ligne méridienne de londuloïde en question, équation d'autant plus exacte que cet onduloïde est plus près de coïncider avec le cylindre. Cette même équation résolue par rapport à y devient :

l/l — 2CC' , r. I -

C'est l'équation d'une sinusoïde, et l'on voit que les points où, après avoir quitté l'origine, la courbe va de nouveau couper l'axe des abscisses, sont à des distances de l'origine successivement égales à

1 /l -♦-2CC 1 /l -♦- 2CC' ^ CV — 2 ^' CV -^ ^^'"^-

Or la seconde est évidemment la longueur d'une portion de l'onduloïde composée d'un renflement et d'un étranglement ; en la désignant par L, nous aurons donc