CC

Lorsque l'onduloïde se confondra avec le cylindre, cette longueur sera, en vertu du principe du paragraphe précédent, celle qui correspond à la limite de la stabilité de ce cylindre, et elle sera alors rigoureusement exacte; or, quand la figure est devenue un cylindre, le rayon de

celui-ci est, comme on Ta vu, représenté par- , et Ton

y 1 a en même temps, comme on l'a vu aussi, C' = s^ ; si

donc on désigne le rayon par r, on aura C = - et C =^ ~ . Substituant ces valeurs dans l'expression de L,

on obtient enfin, pour la longueur précise qui correspond à la limite de la stabilité du cylindre,

L = 2nr,

d'où Ton déduit

Ainsi un cylindre liquide compris entre deux bases solides est exactement à sa limite de stabilité, quand sa longueur, ou l'intervalle de ses bases, est égale à sa circonférence, ou, ce qui revient au même, quand le rapport de sa longueur à son diamètre est égal à rc.

Je ferai connaître plus loin une autre méthode au moyen de laquelle j'arrive, sans aucun calcul, au même résultat, en partant du principe de M. Delaunay (§ 82) ; mais je ne puis l'exposer qu'après ce qui concerne la limite de stabilité de l'onduloïde.

§ 398. Béer, dans le premier des deux Mémoires où il soumet au calcul une partie des résultats de mes expériences (^), parvient également à la quantité n\ voici de quelle manière. Supposant une masse liquide adhérente à un cylindre solide suffisamment long, il obtient nécessairement, pour ligne méridienne, celle d'une portion d'onduloïde, portion qui se compose d'un renflement et de deux demi-étranglements. 11 montre ensuite, à l'aide d'un artifice de calcul, que si l'on diminue progressivement le rayon équatorial de la figure, la distance des deux points extrêmes de la ligne méridienne converge vers une valeur égale à la circonférence du cylindre solide, valeur qu'elle atteint lorsque le rayon équatorial

(l) Ueber die Oberfldchen rôtir ender Fltissigheiten im aîgemeinen, insbesondere iiber den Plateau'schen Roêationsvermch (Ann. db M. Poogbmdorfp, 1856, t. XCVI, pp. 1 et 210).

est égal à celui de ce cylindre, ou, en d'autres termes, lorsque la masse liquide est réduite à une couche infiniment mince sur la surface de ce même cylindre. Puis, après l'exposé d'un résultat qui ne se rapporte point au sujet actuel, vient un passage que je traduis ici, en avertissant le lecteur que Béer représente par 2y^ la distance ci-dessus.

ce Concevons un cylindre d'huile infiniment long placé dans l'alcool dilué, et faisons-lui subir uniformément, dans toute sa longueur, une petite altération telle que la surface demeure mininue aree^^). Cette surface sera évidemment une surface de révolution dont la ligne méridienne ne se composera que de courbes égales de l'espèce considérée plus haut, se raccordant entre elles. Le cylindre acquiert ainsi une suite régulière d'étranglements alternant avec des renflements. Pour une déformation très-petite, l'enfoncement et la saillie de ces étranglements et renflements sont également très-petits, et le cylindre auquel les courbes en question seraient tangentes s'écarte aussi fort peu de la surface primitive de l'huile. De là résulte donc que la distance de deux étranglements avance d'autant plus vers la limite de 2y^ trouvée plus haut pour la surface originairement cylindrique, et conséquemment vers la valeur de la circonférence de cette dernière, que la déformation supposée est plus faible. La limite de 2y^, indépendante de la nature du liquide, n'est évidemment autre chose que la limite de la stabilité d'un cylindre liquide soustrait à la pesanteur, limite observée et mesurée par M. Plateau. Ce physicien a trouvé qu'en prenant pour unité le diamètre du cylindre, la limite dont il s'agit est comprise

(1) On verra plus loin (%% 413 et 418) que Béer n'emploierait plus aujourd'hui cette expression dans le cas dont il s'agit

256 STABILITÉ DBS FIGURBS D'BQUILIBRB;

entre 3 et 3,6. M. Hagen est arrivé, par une voie théorique, à la valeur 2,828, à quoi M. Plateau oppose la remarque suivante : Si Von remplace le rayon de courbure qu emploie M. Eagen par celui du sommet des arcs d'une sinusoïde, on obtient alorSy ptnir valeur de la limite de la stabilité, la quantité tt. Et, en effet, d'après ce qui précède, cette dernière quantité est la valeur exacte. »

Par l'expression : la distance de deux étranglements [zweier Binschnllmngen), il faut entendre la distance des milieux de ceux-ci ; et comme cet intervalle comprend un renflement et deux demi-étranglements, il équivaut en longueur à l'ensemble d'un renflement et d'un étranglement ; Béer a donc cherché de son côté, bien que par une méthode essentiellement différente de la mienne, ce que devient la longueur d'une portion d'onduloïde composée d'un renflement et d'un étranglement, lorsque cet onduloïde passe au cylindre; mais il regarde comme évident que cette même longueur est celle qui correspond à la limite de la stabilité du cylindre, et cependant on ne voit a priori aucune relation nécessaire entre la longueur d'une portion d'onduloïde, au moment où elle se confond avec le cylindre, et la stabilité ou l'instabilité de celui-ci. 11 est bien vrai qu'un cylindre, à sa limite de stabilité, se modifie de manière à présenter une portion renflée et une portion étranglée ; mais rien ne dit immédiatement qu'à l'origine de cette déformation, la figure appartienne à l'onduloïde ; c'est un point qu'il fallait établir, ainsi que je l'ai fait dans le § 396 ; cette recherche de Béer est donc incomplète, elle demande une démonstration qu'il ne donne pas.

Dans son second travail <i), il effectue la même déter-

(l) Tractatuê âe Theoria mathematica phœnomenorum in liquidis actioni gravitatis detractU observatorum, Bonn, l«57.

mination au moyen de son intégrale elliptique (§§ 84 et 85), mais il n'établit pas davantage la relation entre le résultat et la stabilité du cylindre.

§399. tTai essayé, à l'aide des cylindres d'huile formés entre deux disques solides au sein du mélange alcoolique, de vérifier, par des expériences plus précises que celles des §§ 45 et 359, la valeur exacte fr de la limite de stabilité du cylindre. Je vais rendre compte des résultats, mais auparavant je dois présenter ici quelques roHiarques sur la marche à suivre dans ce genre de recherche.

La limite de stabilité d'une figure d'équilibre constitue un passage graduel entre deux états différents de cette figure, et conséquemment l'expérience seule ne peut la déterminer d'une manière rigoureuse; mais elle peut conduire à deux valeurs assez rapprochées l'une de l'autre et telles que, pour la première, il y ait encore stabilité certaine, tandis que, pour la seconde, il y a déjà instabilité certaine. Si ces deux valeurs sont peu différentes, comme je l'ai supposé, leur moyenne donnera avec une grande approximation la vraie valeur de la limite.

J'ai employé cette méthode à l'égard du cylindre. Quand on n'est pas trop près de la limite, il y a deux caractères qui accusent nettement la stabilité ou l'instabilité de cette %ure : si, le cylindre étant réalisé dans le voisinage de sa limite et conservant sa forme, on y produit artificiellement, en poussant l'huile à l'aide du bec de la seringue, un renflement et un étranglement peu prononcés, et que la figure reprenne ensuite d'elle-même sa forme première, il est évident qu'elle possède encore une stabilité réelle; d'autre part si, pendant qu'on essaie d'obtenir le cylindre, c'est-à-dire pendant que la masse d'huile est en excès et qu'on la diminue pour arriver à la

forme cylindrique, la ^gure commence déjà à s'altérer spontanément avant que cette forme soit atteinte, on doit en conclure que le cylindre qu'on veut réaliser serait instable. La limite exacte se trouve donc entre les longueurs les plus rapprochées où ces deux effets sont encore respectivement observables.

§ 400. L'appareil dont j'ai fait usage consiste en deux disques verticaux en fer minces, de même diamètre, placés en regard, et dont l'un peut être graduellement rapproché ou éloigné de l'autre. Chacun d'eux est porté par un gros fil de fer implanté normalement au centre de sa face postérieure, et replié verticalement de haut en bas; l'extrémité inférieure de celui qui soutient le disque immobile est fixée à l'un des bouts d'une barre horizontale en fer à section carrée, et l'extrémité inférieure de celui qui soutient le disque mobile est fixée à un curseur qui glisse sans ballottement le long de cette barre. Une vis maintenue parallèlement à celle-ci, et qu'on peut faire tourner sur elle-même au moyen d'une manivelle, s'engage dans un écrou tenant au curseur; en faisant agir la manivelle dans un sens ou dans l'autre, on oblige ainsi le curseur avec son disque à marcher en avant ou en arrière. La barre horizontale est munie de quatre petits pieds, qui sont attar chés eux-mêmes sur une plaque rectangulaire en plomb servant de base à tout le système ; cette plaque était destinée à empêcher, par sa masse, que l'appareil placé au fond du vase à parois planes, dans le liquide alcoolique, n'oscillât pendant les opérations. Enfin on imprimait le mouvement à la manivelle à l'aide d'une bielle suffisamment longue dont on tenait à la main l'autre extrémité.

Le diamètre de chacun des disques a été mesuré au

cathétomètre , et Ton a trouvé pour Tun 3O""",05, et pour l'autre 30"™, 18; la moyenne 30°",11 a été prise pour Je diamètre du cylindre ; la différence O^'^jlS entre ces deux diamètres était évidemment trop petite pour exercer une influence appréciable sur les résultats. Dans chaque expérience, la distance des disques était mesurée au moyen du cathétomètre disposé horizontalement, en visant à la partie supérieure de ces disques ; on s'était assuré d'ailleurs du parallélisme de leurs plans.

1" EXPÉRIENCE. — On a placé d'abord le disque mobile à 108'°"*,40 de l'autre, ce qui donnait à fort peu près 3,6 pour le rapport de la longueur du cylindre à son diamètre, puis on a fait adhérer à l'ensemble des deux disques une masse d'huile en excès, de sorte que la figure constituait un onduloïde assez fortement renflé au milieu. Alors on a absorbé graduellement du liquide, en observant de temps à autre la figure, et celle-ci a commencé à se déformer spontanément lorsque la flèche du renflement ci-dessus était encore d'environ 5"°°*.

2ine EXPÉRIENCE. — Ou a rapproché ensuite les disques, de manière à amener leur distance à 99"""",36, ce qui correspondait au rapport 3,3. La figure étant ainsi redevenue stable, on a continué à enlever du liquide, et la tendance à la déformation spontanée ne s'est manifestée que lorsque la flèche du renflement n'était plus que de 2"°*,5 à peu près.

3°*« EXPÉRIENCE. — Distance des disques db'^'^,!^, rapport 3,18. La figure était de nouveau stable, et l'épuisement ultérieur a dû réduire la flèche à moins d'un millimètre pour qu'on vît la figure se déformer d'ellemême(i).

(I) Le rapport de la longueur au diamètre est donné ici avec deux décimales, parce qu'on reconnaît que l'on approche déjà de la limite.

4"™® EXPÉRIENCE. — Distance des disques 94"°*,53, rapport 3,14. Il ne s est plus montré de tendance à la déformation spontanée tant que la flèche avait une valeur sensible, de sorte qu on est arrivé sans difficulté à la forme cylindrique; mais ce cylindre, abandonné à lui-même, après avoir paru persister pendant quelques secondes, a commencé à s'altérer, avec une extrême lenteur d abord, puis graduellement plus vite : la figure s est partagée, comme à l'ordinaire, en une portion renflée et une portion étranglée, et la déformation a continué à marcher jusqu'à la désunion complète. On a refait plusieurs fois l'expérience, et toujours avec les mêmes résultats.

5me EXPÉRIENCE. — Distauce des disques 93°""* ,03, rapport 3,09. On a atteint sans peine la forme cylindrique, puis on a produit artificiellement un étranglement et un renflement, la flèche de ce dernier étant à peu près del"™. La figure abandonnée à elle-même a repris la forme cylindrique, et il a fallu, pour amener le progrès spontané de la déformation, porter la flèche du renflement artificiel à 3"*°* environ.

6"*® EXPÉRIENCE. — Distance des disques 93"*"",65, rapport 3, 1 1 . On est parvenu de même au cylindre ; pour qu'il y eût progrès spontané de la déformation, la flèche du renflement artificiel a dû être comprise entre 2°*°* et 3™°^. Dans cette expérience, avant de former le cylindre, on avait, bien entendu, ajouté un peu d'huile à la masse.

7"»« EXPÉRIENCE. — Distance des disques 94"*™, 18,

Il en est de même à Pëgard des expériences suivantes ; on a, bien entendu, renforcé la seconde décimale quand la troisième eût été assez grande ; dans des expériences de cette nature, il serait, je pense, illusoire de vouloir pousser la précision plus loin.

ÉTUDB THÉORIQUE, BT VÉRIFICATIONS. 861

rapport 3,13. Après une nouvelle addition préalable de liquide, on est parvenu encore au cylindre ; le progrès spontané a commencé quand la flèche du renflement artificiel n était que de 1""°* et une fraction,

§ 401. On le voit, dans les trois premières expériences, la figure a manifesté le caractère indiquant qu un cylindre formé entre les disques serait instable, et, de la première à la troisième, ce caractère a été de moins en moins prononcé; enfin, dans cette troisième expérience, pour laquelle le rapport était 3,18, on se trouvait déjà fort près de la limite cherchée. Les trois dernières expériences ont manifesté, au contraire, le caractère de la stabilité du cylindre, et cette stabilité a a été en décroissant de la cinquième expérience à la septième, pour laquelle le rapport était 3,13 et la stabilité très-faible.

On peut donc affirmer, abstraction faite de tout résultat théorique, que la limite de la stabilité du cylindre est comprise entre les valeurs 3,13 et 3,18, qui ne diffèrent entre elles que de 0,05 ; et comme les cylindres correspondants à ces deux valeurs ont encore respectivement, d une manière nette, les caractères de la stabilité et de l'instabilité, la limite cherchée est notablement supérieure à la première et inférieure à la seconde. Conséquemment si Ion prend la moyenne de ces mêmes valeurs, savoir 3,15, on peut être certain que la limite véritable n en est pas éloignée de 0,02, quantité qui n'est que les 0,006 de cette même moyenne.

Ainsi, en partant des seuls résultats de l'expérience, on doit regarder le nombre 3,15 comme étant la valeur très-approchée de la limite de la stabilité du cylindre ; or ce nombre diffère à peine de la valeur théorique ^, ou 3,14; enfin la quatrième expérience montre qu'en plaçant

les disques à la distance qui donne ce rapport théorique 3,14, la figure ne présente plus ni lun ni l'autre des caractères de Tinstabilité ou de la stabilité du cylindre, c est^à-dire que, d une part, elle ne manifeste aucune tendance à la transformation tant que la forme cylindrique n'est pas atteinte, et que, d'autre part, quand le cylindre est formé, il n'exige, pour commencer et accomplir sa transformation, aucune altération artificielle.

L'ensemble des expériences ci-dessus peut donc être considéré comme vérifiant pleinement la théorie.

§ 402. La cinquième, la sixième et la septième expérience, c'est-à-dire celles qui ont été faites en deçà de la limite, ont offert une particularité en apparence fort singulière. Chacune d'elles a été répétée plusieurs fois ; or, dans certains cas, le cylindre, qui semblait bien régulier, s'altérait de lui-même après quelques instants : on voyait s'y dessiner un renflement et un étranglement ; mais ceux-ci, après avoir atteint un degré plus ou moins marqué, quoique toujours assez petit, demeuraient stationnaires, sans progresser ni s'effacer. Ce phénomène, qui paraissait inexplicable, m'a beaucoup embarrassé, jusqu'à ce que je m'en fusse rendu raison de la manière suivante :

Quand les densités des deux liquides sont bien égales, un cylindre réalisé en deçà de sa limite doit persister indéfiniment sans aucune altération , quelle- que soit sa position dans le liquide alcoolique, qu'il soit horizontal, vertical ou incliné ; mais s'il y a entre les densités une différence, même trop faible pour déterminer dans l'huile une tendance visible à monter ou à descendre, si, en outre, l'axe de la figure est légèrement incliné, de sorte que l'un des disques est un peu plus élevé que l'autre, si enfin le cylindre est très-rapproché de sa

limite et qu'ainsi les forces qui tendent à maintenir sa forme n'aient qu'une intensité extrêmement petite, on comprend que l'infériorité ou l'excès de densité de l'huile portera celle-ci en plus grande quantité du côté du disque le plus haut ou le plus bas, et que dès lors la figure présentera un renflement et un étranglement. Toutefois, comme il ne s'agit ici que de différences trèsminimes entre les densités des liquides et entre les hauteurs des disques, ce transport de l'huile ne sera pas assez abondant pour que la figure atteigne l'onduloïde instable (§ 396) correspondant à sa longueur ; la transformation ne pourra donc s'effectuer, et la petite altération du cylindre demeurera stationnaire.

J'ai confirmé cette explication par rexpérienc% suivante : les disques étant placés à la distance qui donne le rapport 3,11, et un cylindre étant réalisé entre* eux, on a incliné quelque peu l'appareil de manière que l'un des disques fût d'environ un millimètre plus bas que l'autre, et en même temps on a donné au mélange alcoolique un excès de densité suffisant pour obliger le cylindre à s'infléchir en formant un arc d'une courbure sensible, quoique petite, dont la convexité regardait le haut; on a vu bientôt se produire un étranglement et un renflement, celui-ci s'appuyant sur le disque le plus élevé. On a établi ensuite une même inclinaison du système en sens inverse, on a effacé l'étranglement et le renflement, et on les a vus se développer de nouveau, le renflement s'appuyant sur l'autre disque. Enfin on a rendu, au contraire, la densité du mélange alcoolique un peu trop faible, ce qui arquait légèrement la figure dans le sens opposé au précédent, et le renflement s'est montré alors vers le disque le plus, bas.

J'ajouterai que, dans les trois expériences rappelées

au commencement de ce paragraphe, c'est-à-dire dans les trois dernières du § 400, quand la figure présentait l'altération stationnaire dont j'ai parlé, et qu'on l'avait abandonnée à elle-même pendant plusieurs minutes, on reconnaissait en général, par une légère flexion de l'ensemble, une différence entre les densités ; cette différence, d'abord trop minime pour déterminer un effet sensible à l'œil, s'était peu à peu accrue, soit par une variation de la température, soit par l'action cliimîque mutuelle des deux liquides, action qu'il est impossibe d'annuler complètement

Enfin je rappellerai que, dans la formation des cylindres laminaires verticaux, on voit (§ 112) l'influence du poidf de la lame renfler la figure dans sa moitié inférieure et l'étrangler dans sa moitié supérieure, quand le rapport entre l'écartement et le diamètre des anneaux commence à approcher de celui qui correspond à la limite de la stabilité du cylindre.

Il résulte de tout cela que, si l'on répète mes expériences sur la limite de la stabilité du cylindre, il faudra donner le plus grand soin à la parfaite horizontalité de l'axe des figures.

§ 403. Les résultats des cinquième, sixième et septième expériences, effectuées en deçà de la limite, et celui de la quatrième, effectuée à la limite mâme, achèvent d'établir le fait sur lequel j'ai basé la recherche de la valeur théorique de cette limite, fait consistant (§ 396) en ce que l'onduloïde instable correspondant à un cylindre stable s'approche d'autant plus de ce cylindre que celui-ci est plus voisin de la limite. En effet, l'ensemble de ces résultats donne, entre la longueur et le diamètre, la suite de rapports 3,09, 3,11, 3,13, 3,14, qui se termine au rapport limite, et donne en même temps, pour les flèches

respectives du renflement de 1 onduloïde instable, 3"^, 2"" et une fraction, 1°»" et une fraction, 0°*™.

§ 404. Supposons un cylindre réalisé ainsi un peu en deçà de sa limite de stabilité, et dans lequel on produit, par la manœuvre indiquée, un renflement et un étranglement. Puisque c'est nécessairement d'un onduloïde que part le progrès spontané de la déformation, on comprend que si, au moment où ce progrès spontané va commencer, le renflement et l'étranglement avaient, par suite de l'opération artificielle qui les a constitués, une forme et un rapport de longueur autres que ceux qui conviennent à l'onduloïde, ils prendraient immédiatement d'eux-mêmes cette dernière forme et ce dernier rapport. Maintenant rappelons de nouveau que cet onduloïde s'écarte d'autant moins du cylindre originaire que celui-ci est plus près de sa limite, et coïncide avec lui à la limite même ; rappelons , en outre (quatrième expérience du § 400), qu'à cette limite le cylindre, qui se déforme spontanément, se partage toujours en une seule portion renflée et une seule portion étranglée, et nous conclurons de tout cela que, dans un cylindre à sa limite de stabilité, la transformation s'effectue invariablement comme si elle avait pour origine un onduloïde infiniment peu différent de ce cylindre et composé d'un seul renflement et d'un seul étranglement.

L'équation [5] du § 397 montre que la ligne méridienne de la figure est alors une sinusoïde, d'où résulte cette seconde conclusion qu'à la naissance de la transformation du cylindre dont il s'agit, le renflement et l'étranglement sont rigoureusement égaux en longueur.

§ 405. Dans le § 373, je suis arrivé à la conclusion qu'un cylindre indéfini, entièrement libre sur toute sa surface, et formé d'un liquide absolument exempt de

viscosités, se transformerait très-probablement de manière que chacune des divisions, et, par suite, l'ensemble d'un renflement et d'un étranglement, aurait la longueur qui correspond à la limite de la stabilité.

Mais, d'une part, j'ai montré (§ 371) que, toujours dans la transformation régulière d'un cylindre indéfini ou d'une grande longueur, les modifications de forme s'accomplissent dans chacun de ces couples comme s'il était terminé par des bases solides; et, d'autre part, nous venons de voir (§ précédent) qu'à l'origine de la transformation d'un couple isolé ayant la longueur correspondante à la limite de la stabilité, la figure constitue un onduloïde partiel infiniment peu différent du cylindre; la même chose aura donc lieu, à l'origine de la transformation d'un cylindre indéfini, dans' tous les couples qui se forment, s'ils ont la longueur ci-dessus, et toutes ces portions identiques d'onduloïde se raccordant entre elles puisque chacune se compose d'un renflement entier et d'un étranglement entier, la figure totale constituera un onduloïde indéfini.

Si donc on se place dans les conditions théoriquement les plus simples, c'est-à-dire si l'on suppose le liquide sans aucune viscosité, la longueur du cylindre infinie ou seulement multiple exact de celle qui correspond à la limite de la stabilité, la surface convexe entièrement libre, et toute cause étrangère de trouble écartée, enfin si l'on imagine que le cylindre ait de très-petites imperfections de forme, imperfections sans lesquelles il persisterait puisqu'il constitue une figure d'équilibre, on doit croire que la transformation s'effectuera comme si elle partait d'un onduloïde infiniment peu différent de ce cylindre.

Dans ce cas, d'après la remarque qui termine le para-

ÉTDDB THÉORIQUB, BT VÉRIFICATIONS. 267

graphe précédent, la longueur initiale des renflements est rigoureusement égale à celle des étranglements. S'il j a des résistances, les renflements et les étranglements sont plus allongés, et conséquemment la figure originaire ne peut plus être un onduloïde ; mais alors encore, ainsi qu'on le verra (§ 423), les renflements et les étranglements initiaux sont très-probablement égaux en longueur.

§ 406. Il est d'ailleurs assez facile de faire comprendre à quoi tient l'influence des résistances sur la longueur des renflements et des étranglements ; l'examen de cette question contribuera en même temps à rendre plus nettes nos idées sur le jeu des pressions capillaires dans l'acte de la transformation spontanée.

Admettons qu'à l'origine d'une transformation régulière, quand on considère les renflements et les étranglements comme infiniment peu prononcés, les premiers sont réellement égaux en longueur aux seconds ; alors, quelle que soit la vraie nature de la ligne méridienne, elle constituera une courbe analogue à la sinusoïde. Raisonnons en supposant que ce soit une sinusoïde même. Si nous désignons par r le rayon du cylindre, par /3 la flèche des arcs, par / la longueur de la corde de chacun de ceux-ci, que nous prenions pour axe des abscisses l'axe du cylindre, et que nous fassions passer l'axe des ordonnées par le point d'où part l'un des arcs convexes, l'équation de notre sinusoïde sera évidemment

y «= r ■+- P sin =■ a? [1].

Prenons sur cette courbe deux points appartenant l'un à un arc convexe, l'autre à un arc concave, et placés de la même manière sur ces deux arcs, c'est-à-dire à des distances égales des origines respectives de ces mêmes arcs. Si, pour abréger, nous représentons par y le terme

/3 sin - iF de notre équation, la valeur de y sera la même»

au signe près, pour les deux points, de sorte que les ordonnées de ceux-ci seront respectivement r -f- r et ir — y, ce qui donne, d'après la formule connue, pour

les valeurs des deux normales , (^ + r) rl+"^ et

(r — r) V^ + jo*, 0ÙJ3 est, comme toujours, le coefficient

différentiel^; il faut remarquer que, par la nature de

la figure liquide, ces normales sont lune et l'autre positives ; on devra se souvenir en outre, pour Imtelligence

des formules qui suivent, que la quantité r, ou jS sin j- a?,

est prise en elle-même, et par conséquent est essentiellement positive. Quant au rayon de courbure, il est clair que sa valeur est, au signe près, la même pour les deux points; si donc q désigne le coefficient différentiel du

second ordre j~, on aura, aussi d'après l'expression connue, pour le rayon de courbure au premier point,

^- ^ et au second point — - — '^iJLt.

La pression capillaire correspondante au premier point et rapportée à l'unité de surface sera conséquemment, en vertu de la formule que j'ai si souvent rappelée.

\[r -+- 7) |/1 -f- p* (1 -+- p«)j et la pression correspondante au second point sera

P étant toujours la pression d une surface plane, et A

une constante positive dont la valeur dépend de la nature du liquide.

Retranchons la première de ces expressions de la seconde; nous aurons ainsi, pour l'excès de la pression du point de l'arc concave sur celle du point de Tare convexe,

i/TT^I''* - y' 1 "^ p^^^

Puisque nous avons supposé la déformation infiniment peu prononcée, la tangente p est partout infiniment

petite, ce qui permet de remplacer j/TTy par 1 + 5 Z^'-

Faisant cette substitution et effectuant les calculs, il vient :

^ y-^yf — qr^ -^ qy*

Négligeant les termes en p*yr^,p^, qui sont des infiniment petits d'ordres supérieurs, l'expression se réduit à