A.LH

Reste à substituer dans cette expression les valeurs de r et de ^. Les deux différentiations successives de

l'équation [1] donnent j^™ — ^sin-ro?; mais comme

nous avons affecté les quantités des signes propres qui dépendent des parties de la courbe auxquelles ces quantités appartiennent, il faut ici faire abstraction du signe négatif; et, en effet, si nous voulions remplacer, dans les expressions des deux pressions, la valeur générale

7 de l'inverse du rayon de courbure par sa valeur

relative à notre sinusoïde, nous ne pourrions laisser à

celle de q le signe — amené par la différentiation, qu'en

choisissant ce même signe entre les deux dont le déno-

minateur peut être affecté à cause de l'exposant r , sans

quoi les termes qui représentent les inverses des rayons de courbure n'auraient plus, dans les expressions dont il s'agit) les signes qui conviennent à la question ; or cela revient à faire abstraction de ces signes et à prendre q et le dénominateur d une manière absolue. Substituant donc, dans l'expression [2], ky eikq leurs valeurs absolues respectives (3 sin ^ ^ ^^^~ ®^^ 7 ^' ^^ obtient enfin,

pour la mesure de la différence des pressions correspondantes à deux points semblablement situés l'un sur un arc convexe et l'autre sur un arc concave,

AJ— — =;>psin-ra?

Dans cette expression, les facteurs A et j3 sin - a? sont,

nous le savons, essentiellement positifs, de sorte que le signe de la quantité totale dépendra de celui du facteur

-^ — -= ; la différence des pressions sera donc positive si

l'on a

ou, ce qui revient au même,

21 > 27rr,

c'est-à-dire si la somme des longueurs d'un renflement et d'un étranglement excède la circonférence du cylindre originaire, et cela dans toute l'étendue des arcs, sauf à

leurs extrémités mêmes, où le facteur |3 sin j â? s* éva-

nouit. On voit, de plus, que la différence dont il s'agit augmente à partir de ces extrémités jusqu'aux milieux des arcs. Ainsi, en premier lieu, quand un. cylindre réalisé entre deux bases solides dépassera la limite de la stabilité, mais aura assez peu de longueur pour ne donner qu'un seul renflement et un seul étranglement, la pression correspondante à un point quelconque de lare méridien de l'étranglement l'emportera sur celle qui appartient au point semblablement placé de l'arc méridien du renflement.

Considérons maintenant un second cylindre de même diamètre et formé du même liquide, mais plus long, toujours avec la condition qu'il ne s'y produise qu'un seul couple, et supposons une déformation de même degré, c'est-à-dire dont le renflement et l'étranglement aient la même flèche que dans la première figure ; nous passerons ainsi d'une sinusoïde à une autre plus allongée, mais de même flèche, ce qui revient à augmenter /sans changer j3 non plus que r et A. Si nous prenons respectivement sur ces deux sinusoïdes deux points homologues, ou tels que leurs abscisses soient entre elles comme les cordes des

arcs, le rapport - sera le même pour ces deux points,

et conséquemment le facteur j3 sin ~ ^ de l'expression [3]

aura la même valeur, ainsi que A; mais le facteur