TT

-j — -=5 augmentera en passant du point de la première

figure au point de la seconde, et d'autant plus qu'on aura donné à / un plus grand accroissement. La prédominance des pressions capillaires de tous les points de l'étranglement sur celles des points du renflement est donc d'autant plus forte que le couple est plus allongé ; et comme nous pouvons appliquer à chacun des couples formés

dans la transformation d'un cylindre d une grande longueur ce que nous venons de trouver à Tégard d'un couple isolé, il en résulte que, dans la transformation d'un semblable cylindre, plus les renflements et les étranglements sont allongés, plus les forces qui font progresser le phénomène sont intenses. D'après cela, lorsque, dans un cylindre indéfini ou d'une longueur considérable, la transformation est gênée par des résistances soit extérieures, soit intérieures, ces résistances, à moins quelles ne soient trop énergiques, pourront être surmontées par un allongement des couples ; or on conçoit que la transformation se dispose d'elle-même de manière à produire cet effet, et qu'elle allonge d'autant plus les couples que les résistances opposent plus d'obstacle.

A la vérité, le calcul ci-dessus est basé sur la supposition qu'à l'origine du phénomène, la ligne méridienne est une sinusoïde ; mais, ainsi que je l'ai fait remarquer, si, en réalité, elle n'est pas telle, elle a bien probablement beaucoup d'analogie avec cette courbe, à laquelle elle se réduit d'ailleurs, nous le savons, quand les couples ont la longueur correspondante à la limite de la stabilité ; si l'on en connaissait la nature exacte, et qu'on lui appliquât le calcul précédent, on parviendrait sans aucun doute au même résultat.

§ 407. D'abord, en effet, on y arrive par les considérations exposées dans le §381, considérations d'où il résulte a priori que lorsqu'un cylindre réalisé entre deux bases solides a une longueur assez petite pour ne donner qu'un seul couple, il doit se transformer d'autant plus rapidement que sa longueur excède davantage la limite de la stabilité ; et puisque, dans la transformation régulière d'un cylindre indéfini ou d'une grande longueur, les

choses se passent à Fégard d'un couple quelconque comme s'il était terminé par des bases solides, il s'ensuit que, dans un cylindre indéfini ou d une grande longueur, la transformation sera aussi d autant plus rapide que les couples seront plus allongés; mais une transformation plus rapide suppose des forces plus intenses; les différences de pression dont il a été question dans le paragraphe précédent augmentent donc avec la longueur des couples.

En outre, on peut recourir à des vérifications expérimentales : il suffit, pour cela, d'après ce que je viens de dire, de réaliser, avec le même liquide, des cylindres de même diamètre dépassant de plus en plus leur limite de stabilité, et de compter, pour chacun d eux, la durée de la transformation. Or c'est ce qui a été effectué en même temps que les expériences du § 400 : dans les trois premières, après avoir observé le point où la figure commençait à s'altérer spontanément, on a continué l'extraction du liquide, jusqu'à ce que, en employant la petite manœuvre indiquée dans la note du § 359, c'esir à-dire en régularisant constamment la figure au moyen du bec de la seringue, on eût atteint la forme cylindrique; puis on a abandonné la figure à elle-même, et l'on a compté, avec une montre ordinaire, la durée approximative de la transformation; on a estimé aussi cette durée dans la quatrième expérience, où le cylindre était à sa limite de stabilité. On a trouvé ainsi : pour le rapport limite 3,14 entre la longueur et le diamètre, une durée de 11 minutes; pour le rapport 3,18, une durée de 4 minutes ; pour le rapport 3,3, une durée de 2 minutes ; et, pour le rapport 3,6, une durée de .1 minute.

En répétant la quatrième expérience, il est arrivé

plusieurs fois que la durée a été seulement de 5 à 7 minutes ; mais on voit qu elle était toujours supérieure à

toutes les autres.

1 tt' § 408. Si, dans l'expression [3] du § 406, on a -5 — — <0,

d'où 21 < 2nr, ce qui la rend négative, on conclura du mode de raisonnement employé, que les pi'essions capillaires de tous les points de l'étranglement seront inférieures à celles des points du renflement, et d'autant plus que le couple sera plus court. Dans ce cas, par conséquent, si le couple est unique et terminé à deux bases solides, la masse liquide tendra à regagner la figure cylindrique ; en d'autres termes , le cylindre formé entre les bases dont il s'agit sera stable, et sa stabilité sera d'autant plus prononcée que sa longueur sera moindre.

Enfin si l'on a -, - J = 0, d'où 21 = 2i:r, la diffé-

rence des pressions est nulle dans toute l'étendue du couple, de sorte que, s'il n'y a qu'un seul couple compris entre des bases solides, la masse ne tendra ni à revenir à la figure cylindrique, ni à s'en éloigner davantage ; le cylindre formé entre ces bases sera donc alors à sa limite de stabilité, comme nous le savions d'ailleurs.

Cette manière d'arriver à la limite de la stabilité du cylindre n'est autre chose, on le voit, que la méthode de M. Hagen (§ 394), mais corrigée en substituant aux arcs de cercle des arcs de sinusoïde, et en évaluant les pressions dans toute la longueur de ces arcs, au lieu de le faire à leurs sommets seulement.

tj 409. Occupons-nous actuellement de londuloïde. Les conditions de stabilité de cette figure changent, on l'a vu (§ 388), suivant que son milieu est occupé par un

étranglement ou par un renflement. L'application d'une méthode théorique au premier cas serait sans doute bien difficile; mais il n'en est pas de même à l'égard du second :

Quand on réalise un onduloïde partiel de cette seconde espèce en faisant adhérer, au sein du mélange alcoolique, une masse d'huile à la surface convexe d'un cylindre solide préalablement frotté d'huile (§ 47), il est évident que la surface dd cette masse ne peut, à ses extrémités, former un angle avec la mince couche d'huile qui mouille la surface solide au delà de ces mêmes extrémités, et qu'ainsi la surface de la figure doit venir lécher la couche dont il s'agit, d'où il suit que la ligne méridienne se termine précisément aux minima de distance à l'axe; or, nous le savons, l'onduloïde ainsi réalisé est stable, et on en tire cette conclusion rigoureuse que la limite de la stabilité n'est point en deçà des cercles de gorge des deux étranglements. 11 faut maintenant démontrer qu'elle n'est pas non plus au delà.

Pour cela, reprenons la réalisation de notre onduloïde entre les deux petits disques (§ 52); laissons à la masse d'huile un excès suffisant pour que les derniers éléments de la ligne méridienne n'aient pas encore atteint le parallélisme réel ou apparent avec l'axe, mais n'en soient pas très-éloignés [fig. 100); cet onduloïde sera conséquemment stable. Poussons alors légèrement l'huile avec le bec de là petite seringue vers l'un des disques ; nous diminuerons ainsi ou nous eflfacerons entièrement la portion d'étranglement qui était du côté de ce disque, tandis que nous rendrons plus prononcée la pQrtion d'étranglement aboutissant à l'autre disque. Or il est clair que les choses se passeront ici comme à l'égard du cylindre; c'est-à-dire que si la déformation artificielle ne dépasse pas un certain

degré, la figure abandoonée à elle-même reprendra sa forme originaire, mais que, si Ion va au delà de ce degré, elle continuera spontanément à s'altérer dans le même sens, jusqu a sa désunion complète. Il y a donc ici également, à ce degré précis de déformation, une figure d'équilibre instable (§ 396) ; et comme, pendant la

Fig. 100.

déformation artificielle et la déformation spontanée subséquente, la figure d'huile se maintiendra toujours de révolution et que sa ligne méridienne présentera toujours au moins un point d'inflexion, la figure d'équilibre instable dont il s'agit est nécessairement un autre onduloïde.

Cet onduloïde instable, que, pour abréger le langage, nous appellerons Ymiduloide conjuguéy sera, d'après ce qui précède, dissymétrique par rapport au milieu de l'intervalle (les deux disques, c'est-à-dire aura son renflement plus rapproché de lun de ces disques que do l'autre {^fig. 101). Enfin ce même onduloïde s'écartera évidem-

ment d'autant moins de Tonduloïde originaire que celui-ci était plus près de sa limite de stabilité, et, à cette limite, coïncidera exactement avec lui.

Fig. 101.

Maintenant remarquons que, d'après le mode de génération de la ligne méridienne de Tonduloïde par le foyer

Fig. 102.

d une ellipse roulante (§ 82), cette ligne est nécessairement d'une symétrie parfaite des deux cotés d'un maxi

mum de distance à Taxe, et qu'ainsi, dans un onduloïde indéfini, il y a symétrie rigoureuse des deux côtés de réquateur d'un renflement. Il suit de là que si Ion comprend entre deux disques égaux un renflement d'onduloïde avec des portions des deux étranglements adjacents, et si ces portions dépassent Tune et l'autre leurs cercles de gorge respectifs [jig. 102), les deux disques sont rigoureusement à égale distance de la section équatoriale du renflement. Pour que cette section n'occupe pas le milieu précis^ de l'intervalle des disques, il faut évidemment que l'un des étranglements dépasse son cercle de gorge, et que l'autre n'atteigne pas le sien ; c'est donc là le cas de Tonduloïde conjugué [iig. 101); dans cet onduloïde, un seul des deux étranglements présente un cercle de gorge.

Ces principes établis, concevons un onduloïde de l'espèce considérée dans ce paragraphe, et précisément à sa limite de stabilité; imaginons-le mathématiquement parfait, en sorte qu'il se maintienne, et supposons que ses étranglements dépassent leurs cercles de gorge, de manière qu'il soit analogue à celui de laj^. 102. Ajôutons-y une très-petite quantité de liquide, ce qui en fera une figure stable, mais voisine de sa limite. Puisque nous sommes maîtres du volume ajouté, nous pouvons le prendre assez minime pour que l'onduloïde stable produit diff'ère aussi peu que nous le voudrons de l'onduloïde primitif, et conséquemment pour que l'onduloïde instable conjugué diffère lui-même aussi peu que nous le voudrons de cet onduloïde primitif; si donc celui-ci, c'est-à-dire l'onduloïde à sa limite de stabilité, s'étendait au delà des cercles de gorge de ses étranglements, nous pourrions toujours, par une addition de liquide suffisamment petite et un transport minime du renflement vers l'un des

disques, arriver à un onduloïde conjugué dont les étranglements dépasseraient encore tous deux leurs cercles de gorge respectifs; or, d après ce que j ai démontré plus haut, cela est incompatible avec la nature de londuloïde conjugué. Notre onduloïde à sa limite de stabilité ne peut donc se terminer au delà des cercles de gorge do ses étranglements, et puisqu'il ne peut non plus, comme je l'ai fait voir au commencement de ce paragraphe, se terminer en deçà, il se termine bien réellement à ces cercles mêmes, ainsi que lexpérience me lavait indiqué.

J'ajouterai que M. Lindelôf, à qui j'ai communiqué ce résultat, m'a dit y être arrivé de son côté par le calcul ; l'expérience , le raisonnement et l'analyse s'accordent donc pour l'établir.

§ 410. Je puis actuellement exposer la méthode annoncée à la fin du § 397, par laquelle je parviens sans aucun calcul à la valeur exacte de la limite de stabilité du cylindre.

Il suit de la génération des lignes méridiennes, que la portion de la ligne méridienne de l'onduloïde comprise entre un minimum de dislance à l'axe et le minimum suivant, correspond à une révolution entière de l'ellipse roulante; donc l'onduloïde partiel engendré par cette portion, c'est-à-dire l'onduloïde à sa limite de stabilité, a une longueur égale à la périphérie de l'ellipse dont il s'agit ; or, quand cette ellipse devient un cercle, l'onduloïde devient un cylindre, et conséquemment celui-ci, à sa limite de stabilité, a une longueur égale à la circonférence du cercle roulant; mais cette circonférence est évidemment égale à celle du cylindre; donc le cylindre limite a une longueur égale à sa propre circonférence; donc enfin, dans un semblable cylindre, le

rapport de la longueur au diamètre a pour valeur exacte la quantité ir.

§ 41 1 . On a vu (§ 387) que le caténoïde de hauteur maxima est bien réellement à sa limite de stabilité, et nous savons aussi que lorsqu'on le réalise à Tétat laminaire, il se convertit en deux lames planes dès qu'on atteint cette hauteur maxima; or, en conséquence du calcul de Goldschmidt (§ 80), à cette même hauteur maxima, le rapport de lecartement des bases à leur diamètre est égal à 0,6627. En employant certaines précautions, j'ai pu soumettre à une vérification expérimentale cette valeur précise.

Pour cela, j'ai substitué aux anneaux en fil de fer deux bandes de fer ployées cylindriquement, d'un centimètre de hauteur et de deux millimètres d'épaisseur, ayant leurs bords en regard taillés extérieurement en biseau sous un angle d'environ 45^, de manière que les arêtes de ces deux biseaux, arêtes d'où devait partir la lame, fussent tranchantes. Ces deux bandes ou anneaux étaient façonnés au tour; le diamètre des

circonférences formées par chacune des

arêtes ci-dessus a été trouvé exactement le même pour les deux(U, et égal à

^ 71™'",02. La iU], 103 représente, en grandeur réelle, la coupe verticale du coté

gauche du système. Ces mêmes anneaux

P'»- »"^- étaient portés comme les anneaux en fil

de fer, savoir l'inférieur par trois petits pieds et le supérieur par une fourche; seulement ces pieds et cette fourche étaient plus solides. De même que dans les expériences des §§ 1 10 à 114, la tige verticale à laquelle

(1) On a mesuré ces diamètres au moyen du cathétomètre, en plaçant pour cela les anneaux dans une position verticale.

on devait visser la queue de la fourche s adaptait, à Taide d'une pièce intermédiaire convenable, à lextréraité de la lunette d'un cathétomètre ; on pouvait ainsi élever bien verticalement lanneau supérieur, et en mêm^ temps mesurer avec exactitude la quantité dont son arête tranchante s'était séparée de celle do l'anneau inférieur. Les choses étant ainsi disposées, on a procédé de la manière suivante : on a posé, par ses pieds, l'anneau inférieur sur une tablette à vis calantes et sous l'anneau supérieur soutenu, comme je l'ai dit, par le cathétomètre ; on a rendu bien horizontale l'arête du premier, au moyen des vis calantes et d'un petit niveau à bulle d'air; on a descendu ensuite le second, et, à l'aide d'une pince, on a courbé légèrement la queue de la fourche dans un sens ou dans un autre, en faisant glisser en même temps, de petites quantités, l'anneau inférieur sur la tablette, jusqu'à ce que les deux arêtes fussent exacment superposées. Alors, après avoir remonté l'anneau supérieur, on a mouillé de liquide glycérique les bords en biseau des deux anneaux, en se servant pour cela d'un pinceau, puis on a abaissé de nouveau l'anneau supérieur jusque très-près de l'autre, et l'on a rempli du même liquide la rainure circulaire formée par les deux biseaux, en y promenant le pinceau bien imbibé. Cela fait, on a soulevé l'anneau supérieur jusqu'à un millimètre environ en deçà de la quantité qu'indiquait la théorie, et qu'on avait préalablement déterminée ; puis on a fait agir, avec des ménagements extrêmes, la vis du mouvement graduel, en s'arrêtant au moment précis de la rupture de l'équilibre, c'est-à-dire à l'instant où la figure se resserre rapidement pour se désunir en son milieu et se convertir en deux lames planes, comme avec les anneaux en fil de fer.

Le diamètre des bords tranchants étant, ainsi que je lai indiqué plus haut, de 71°»™,02, on devait avoir (§ 80), pour la hauteur du caténoïde limite et conBéquemment pour récartoment de ces bords correspondant à la rupture de réquiUbre, 7 1 '"°>,02 x 0,6627 = 47°»»,06. Or, sur sept fois qu'on a effectué l'expérience, la lecture au cathétomètre a donné six fois identiquement la même valeur, savoir 46"»",97, et une fois 46"»™,92 qui s'écarte à peine de la précédente. On doit donc regarder la valeur 4gmm 97 comme étant celle que donne l'expérience ; elle ne diffère de la valeur théorique 47">"™,06 que de 0°>°s09, quantité qui n'atteint pas les deux millièmes de cette valeur théorique.

J'appellerai ici l'attention sur une autre vérification de la théorie. Nous avons vu (ibid.) que, d'après les calculs de Goldschmidt, lorsque l'écartement des bases excède la limite, il n'y a plus, comme surface de révolution à courbure moyenne nulle s'appuyant sur ces bases, que deux plans qui les occupent respectivement ; or nous savons en effet, par l'expérience ci-dessus et par celles des §§ 111 et 222, qu'au moment où, par l'écartement graduel des anneaux, on atteint la limite théorique soit exactement, soit à fort peu près, le caténoïde laminaire compris entre eux se transforme spontanément en deux lames planes.

La discussion contenue dans le § 78 et le théorème de M. Delaunay (§ 82) complété par M. Lamarle (§ 83) ont, du reste, montré, depuis, que, parmi les surfaces de révolution, le caténoïde et le plan sont les seules à courbure moyenne nulle.

Rappelons ici que le caténoïde limite est défini (§ 80) par cette propriété simple, que les points extrêmes de sa chaînette méridienne sont ceux dont les tangentes pro-

longées iraient également toucher la chaînette méridienne opposée, ou, ce qui revient au même, se couperaient au centre de la figure.

On a vu encore (§ 89) que le caténoïde en question jouit de cette autre propriété simple, que son volume est la moitié de celui du cylindre de même base et de même hauteur, propriété que nous avons également vérifiée par l'expérience (§ 90).

Enfin ce même caténoïde possède une dernière propriété, celle d'être unique ; nous savons, en effet, que, pour tout écartement des bases inférieur à l'écartement limite, il y a toujours deux caténoïdes possibles s appuyant sur ces base^ et pénétrant inégalement entre elles, caténoïdes qui diffèrent d'autant moins l'un de l'autre qu'on approche davantage de la limite, et dont le moins rentré est le seul stable.

§ 412. Nous aurions encore à chercher, par la théorie, les limites précises de stabilité du nodoïde dans les différents cas examinés aux §§ 389 et 390; mais ici, comme à l'égard de l'onduloïde partiel étranglé, les principes que nous avons appliqués au cylindre et à l'onduloïde partiel renflé ne sauraient être employés. Il en est de même quant aux figures mentionnées au § 393.

§ 413. Essayons maintenant de pénétrer plus avant dans l'essence des phénomènes.

Concevons une figure d'équilibre liquide réalisée dans un système solide, et mathématiquement parfaite ; alors la pression capillaire sera rigoureusement la même en tous les points de la couche superficielle, et la figure, quelle que soit son étendue, se maintiendra tant qu'une cause extérieure ne viendra point la troubler. Supposons qu'on lui imprime artificiellement une déformation trèspetite ; ainsi altérée, elle cessera en général d'être une

figure d'équilibre, et dès lors les pressions respectivement correspondantes aux différents points de sa couche superficielle ne seront plus exactement égales ; si donc on l'abandonne à elle-même, elle tendra à quitter ce nouvel état. Cela posé, deux cas sont possibles : savoir que la figure tende à revenir à sa première forme, ou bien qu elle tende à s en éloigner davantage. Si le premier cas a lieu quelle que soit la nature de la petite déformation, la figure est stable ; si, au contraire, le second cas se présente soit pour une petite déformation quelconque, soit pour une petite déformation d'une nature déterminée, la figure est instable.

Mais on peut envisager la stabilité et l'instabilité des figures liquides sous un autre point de vue, également général, dont l'idée m'a été suggérée par un passage de l'un dés Mémoires de Béer, passage que je reproduis plus bas.

Les géomètres ont admis, comme résultat de l'analyse,

que les surfaces représentées par l'équation - -4- - - = C,

c'est-à-dire les surfaces dont la courbure moyenne est constiinte, sont aussi celles qui, renfermant un volume donné, ont une étendue minima. Mais s'il fallait accepter ce principe sans restriction, il s'ensuivrait que toute figure d'équilibre liquide partielle terminée à un système solide serait nécessairement stable, quelque portion qu'elle représentât de la figure complète à laquelle elle appartient : l'onduloïde, par exemple, conserverait toute sa stabilité avec un nombre quelconque de renflements et d'étranglements entre ses deux bases solides.

En effet, la couche supertîcielle de la masse étant réellement, nous le savons (chap. V), dans un état de tension, elle fait constamment effort pour se resserrer;

si donc, dans Tétat d'équilibre, son étendue était toujours un minimum, une déformation très-petite quelconque augmenterait cette étendue, et conséquemment la couche superficielle ferait effort pour reprendre ses dimensions premières et rétablir la forme dequilibre. Aussi Béer cherche à modifier le principe énoncé par les géomètres : dans le second des deux Mémoires qu'il a publiés sur mes expériencesll), il s'exprime de la manière suivante :

c< Un liquide à l'état d'équilibre et soustrait à toute influence étrangère jouit de cette propriété que la variation de sa surface est toujours nulle cette surface est donc de la nature de celles qu'on nomme minimœ ou maximae areae ; or, à une surface maximœ areœ correspondra évidemment un équilibre instable, tandis qu'à une surface minimae areae correspondra un équilibre stable. »

Cependant, si l'on réfléchit, on se convaincra sans peine qu'une surface renfermant un volume donné ne saurait constituer un maximum d'une manière absolue, car on pourrait toujours trouver des modes de petite déformation qui laugmenteraient : si l'on imagine, par exemple, que la figure se sillonne de cannelures telles que la somme de celles qui sont en creux par rapport à la surface primitive soit égale en volume à la somme de celles qui sont en relief, de façon que le volume total n'ait pas changé, il est clair que la surface aura reçu par là un accroissement notable, quelque ténues qu'on suppose les cannelures en question. C'est, sans doute, pour ce motif que les géomètres ont considéré les surfaces à courbure moyenne constante comme ayant toujours chacune un minimum d'étendue.

(1) Voir la troisième note du § 398.

L expérience vient d'ailleurs confirmer cette impossibilité d'un maximum absolu, et c'est elle, en outre, qui nous donnera la solution des difficultés ci-dessus :

Quand on a réalisé entre deux disques, dans le liquide alcoolique, un cylindre d'huile dépassant très-pèu sa limite de stabilité, si, avant que la déformation spontanée ait commencé à se montrer, on pousse légèrement le cylindre en son milieu à l'aide d'une spatule recouverte d'étoffe, de manière à fléchir la figure d'une certaine quantité, puis qu'on enlève la spatule, on voit la figure revenir d'elle-même à la forme cylindrique, plus ou moins altérée par la naissance du renflement et de l'étranglement ; d'où il faut conclure qu'un cylindre dépassant sa limite de stabilité est néanmoins stable encore et conséquemment minimae areae, par rapport aux déformations qui le fléchiraient. 11 résulte de là que la surface d'une figure d'équilibre liquide qui dépasse sa limite de stabilité, est encore minimae areae par rapport à certaines déformations, tandis qu'elle est maximae areae par rapport à d'autres.

L'expérience montre, de plus, qu'une figure d'équilibre liquide donnée comprise dans un système solide donné, et dépassant sa limite de stabilité, s'altère toujours identiquement de la même manière : le cylindre, par exemple, terminé à deux disques solides, se fractionne toujours en portions renflées alternant avec des portions étranglées, et, quand aucune cause perturbatrice n'intervient, les longueurs respectives des renflements et des étranglements, à une époque quelconque du phénomène, sont toujours les mêmes dans les mêmes conditions de l'expérience ; dans l'onduloïde partiel renflé et compris entre deux disques égaux, le renflement marche toujours vers lune des bases, de façon que l'un

des deux étranglements s'efface par degrés, tandis que l'autre s'approfondit jusqu'à sa désunion ; etc.

Or ces faits paraissent conduire à une seconde conséquence, savoir qu'au delà de la limite de stabilité, ou bien la surface n'est maximœ areae que par rapport à un seul mode de déformation, ou bien, si elle est maximœ are» par rapport à plusieurs, il existe certaines conditions qui déterminent le choix de la masse parmi ceux-ci, de façon qu'une seule déformation est susceptible de progresser. '

§ 414. Pour rendre plus évidentes encore les déductions qui précèdent, je vais étudier le cylindre au point de vue des variations que subit l'étendue de sa surface quand on altère un peu la forme de celle-ci, sans changer le volume qu'elle renferme; cette figure, en effet, se prête sans trop de peine à un semblable examen.

Concevons un cjlindre liquide d'une longueur quelconque par rapport à son diamètre et terminé à deux bases solides, et imaginons qu'on lui imprime une déformation finie, mais très-petite, astreinte à la seule condition que les aires de toutes les sections planes parallèles aux bases solides soient demeurées les mêmes que dans le cylindre. Une telle déformation est admissible, car elle n'altère pas le volume de la masse ; figurons-nous, en effet, deux de ces sections infiniment rapprochées; le volume de la tranche liquide qu'elles comprennent sera égal au produit de l'aire de l'une d'elles par la distance qui les sépare, et puisque cette aire est égale à celle d'une section circulaire du cylindre, le volume en question sera égal à celui d'une tranche de même épaisseur appartenant au cylindre ; enfin le volume total de la figure étant la somme des volumes de toutes les tranches obtenues en coupant cette figure par un nombre infini de

288 STABILITÉ DBS FIGUftBS D'ÉQUILIBRE ;

plans infiniment rapprochés et parallèles aux bases, et le nombre de ces tranches étant le même avant et après la déformation, celle-ci, comme je l'ai avancé, n apporte aucune modification au volume total dont il s'agit.

Considérons actuellement, dans la figure déformée, l'une des tranches ci-dessus. Si les sections qui la comprennent ne sont pas circulaires, leurs périmètres seront plus grands que celui des sections du cylindre, puisque de toutes les courbes planes qui renferment la même aire, la circonférence de cercle est la plus courte; la petite zone superficielle qui unit ces périmètres et qui fait partie de la surface libre de la figure, sera donc, pour cette raison et, en outre, parce qu'elle se compose en général d'éléments obliques aux plans des deux sections, plus grande que la petite zone appartenant à une tranche du cylindre. Si les deux sections sont circulaires, elles seront, par la condition assignée aux aires, identiques à celles du cylindre, mais leurs centres ne seront pas en général exactement en regard l'un de l'autre, de sorte que la petite zone qui unit les deux périmètres se composera aussi d'éléments obliques, et sera encore conséquemment plus grande que celle d'une tranche du cylindre. D'après cela, comme le nombre des tranches est le même dans la figure déformée et dans le cylindre, la somme des .surfaces des petites zones de la première l'emportera sur la somme de celles des petites zones du second; donc enfin, ce qui est la même chose, la surface libre de la figure déformée sera plus étendue que celle du cylindre.

Ainsi, de quelque nature que soit la petite déformation, si elle est telle que les aires des sections parallèles aux bases n'aient pas changé, elle augmente 1 étendue de la surface libre de la masse; en d'autres termes, la

surface du cylindre est un minimum par rapport à toutes les petites déformations de cette espèce.

Parmi ces mêmes déformations, se trouve évidemment celle qui consiste en une simple flexion, et nous avons vu, en effet, qu'un cylindre liquide légèrement fléchi revient spontanément à la forme de révolution.

§ 415. Supposons maintenant une petite déformation qui change les aires des sections parallèles aux bases. Alors, puisque le volume total, ou la somme des volumes de toutes les tranches, est invariable, il faut nécessairement que, parmi les sections, les unes aient des aires plus grandes et les autres des aires plus petites que Taire d'une section du cylindre ; il faut conséquemment que la figure ait des portions renflées et des portions amincies. Voyons donc si, dans cet état, la surface de la figure doit encore excéder celle du cylindre, ou si elle peut être moindre.

Afin de rendre la question accessible au calcul, imaginons que la figure déformée soit elle-même de révolution, et quelle ait pour ligne méridienne une sinusoïde. Comme la déformation doit être supposée finie, bien que très-petite, on comprend que Taxe de cette sinusoïde ne pourra coïncider avec la génératrice du cylindre : pour que le volume soit demeuré le même, les renflements devront saillir moins en dehors de la surface cylindrique primitive que les étranglements ne s'enfoncent en dedans ; l'axe de la courbe sera donc un peu plus rapproché de l'axe de révolution que la génératrice du cylindre ; nous désignerons par (i la petite différence de ces deux distances. Alors, en prenant pour axe des abscisses l'axe de révolution, et en plaçant l'origine au pied de l'ordonnée de l'un des points où la sinusoïde coupe son axe et où commence un arc convexe, si / est la longueur des

cordes des arcs, (3 la flèche de ces mêmes arcs, et r le rayon du cylindre originaire, on trouvera aisément que l'équation de notre sinusoïde est :

TT

y i= r — (x+(3sinya? [!]•

Cherchons d'abord la relation entre /x et (3 nécessaire pour que le volume n'ait pas changé. Notre figure liquide étant terminée à deux disques solides, supposons que du premier de ces disques parte un renflement, et que sur le second s'appuie un étranglement ; nous pourrons alors partager, par des sections de même diamètre que les disques, la figure en un nombre entier de parties égales contenant chacune une portion renflée et une portion étranglée; seulement, par suite de la non-coïncidence entre l'axe de la sinusoïde et la génératrice du cylindre, on comprend que, dans chacun des couples ainsi formés, la portion renflée ne constitue pas un renflement complet, et qu'à l'extrémité de la portion étranglée s'ajoute le commencement du renflement qui la suit. Or tous ces couples étant égaux, et la somme de leurs volumes représentant le volume total de la masse, il s'ensuit que le volume de chacun d'eux est égal à celui de la portion du cylindre primitivement comprise entre les mêmes sections ; il suffira donc, pour établir que le volume total n'a pas changé, de chercher l'expression du volume d'un couple, et de l'égaler à celle du volume de la portion correspondante du cylindre.

Mais on peut substituer au couple en question un autre couple terminé par deux sections ayant pour rayon la distance r — /x de l'axe de la sinusoïde à l'axe de révolution, sections dont la première passe par le point où naît un arc convexe, et dont la seconde passe par

celui OÙ finit lare concave suivant ; on voit, en effet, qu en agissant ainsi, on ajoute une petite portion à la première extrémité du couple considéré d'abord, mais qu'on retranche à l'autre extrémité une portion identique. Ce nouveau couple se composera ainsi exactement d'un renflement complet et d'un étranglement complet, et se prêtera sans difficulté au calcul.

L'expression générale du volume d'un corps de révolution terminé à deux sections perpendiculaires à l'axe,

est, comme on sait, Ay^dx. Pour l'appliquer à notre

couple, il suffira d'y remplacer y par la valeur que donne l'équation [1] ; on a de cette manière :

7rU*(te=7ru r— .|x+(3sin-ra? j dx

=^11 (»•- l^y-^ jU — ^ {r-p)cos^

Prenons maintenant cette intégrale entre les limites du couple en question, c'est-à-dire de x=^0kœ=2l; nous obtiendrons

2kI I (r — p)« 4- |- 1= 2nrH + 7rZ(2fjL« — 4r^ + p«).

Telle est donc l'expression du volume du couple ; or celui de la portion de même longueur 21 prise dans le cylindre est 27rrH; pour que ces deux volumes soient égaux, il faut conséquemment que l'on ait

Résolvant par rapport à fx, il vient :

Observant que, comme /x doit être très-petit, il faut prendre le radical avec le signe — , développant ce radical, et négligeant les puissances de fi supérieures à la deuxième à cause de la petitesse de cette quantité, on a enfin :

C'est la relation cherchée (^) entre fz et (3.

Passons à la surface. Celle-ci est, comme on le sait encore, représentée d'une manière générale, dans le cas des

corps de révolution, par 2n\yds = 2n\y\/ i •*-(jz) -^î

or y est donné par Téquation [1], équation doù l'on

déduit aussi -r^-'^cos-x. On aura donc :

dx l l

2n\yds ='2n\(r— Il -^ Psin^ ^)\/ ^ "** ^jr^^^^ 1^ ' ^'

Mais, à cause de la petitesse de |3, on peut développer le radical et se borner aux deux premiers termes de la série; avec cette simplification, on trouve :

27rUeï^ = 27rl (r-^ii •¥ Psin-a? H 1 *♦■ ^tt^^^'t^ )*^- Effectuant la multiplication, négligeant le terme en /3',

(1) Cette relation montre que si l'on suppose la déformation, et, par suite, la flèche infiniment petite, comme nous Pavons fait dans le calcul du ^ 406, la quantité /u, c'est-à-dire l'intervalle entre l'axe de la sinusoïde et la génératrice du cylindre, est du deuxième ordre^ et conséquemment disparaît devant^; c'est pourquoi, dans le calcul que nous venons de citer, nous avons fait coïncider les deux droites dont il s'agit.

et intégrant aussi entre les limites ^=0 et w=2l, on obtient :

expression dans laquelle il faut introduire la condition [2]

At

relative au volume ; faisant donc fx = j- , et négligeant

le terme en /3*, il vient enfin, pour la valeur de la surface de notre couple,

47iW-*-7r(3«jÇ-.Jj [3]

Or la surface de la portion de même longueur prise dans le cylindre est 4:nrl; la surface de notre couple sera donc plus grande ou plus petite que celle de la portion de cylindre, suivant qu'on aura

- < - ou - > -^ > r l r l

inégalités d où Ion tire les suivantes :

21 < 27rr ou 21 > 2nr.

Mais 21 est la longueur du couple, et Sttt la circonférence du cylindre ; si donc la longueur du couple excède la circonférence du cylindre, la surface de ce couple sera moindre que la portion de cylindre ayant même

longueur; or la surface de notre couple étant égale à celle du couple primitivement considéré, et la figure

déformée entière se composant de couples identiques à

ce dernier, il s'ensuit que, dans la condition ci-dessus,

la surface libre totale de la figure déformée sera moindre

que la surface libre totale du cylindre.

§ 416. Ainsi, quand le cylindre est suffisamment long

par rapport à son diamètre, sa surface est un maximum

à l'égard de la petite altération qui partagerait la figure en portions alternativement renflées et étranglées, de forme et de longueur convenables ; or nous savons que tel est, en effet, le mode de transformation spontanée d'un cylindre liquide instable ; la théorie et l'expérience se vérifient donc encore mutuellement.

A la vérité, nous ne sommes pas certains qu'au commencement de la transformation d'un cylindre liquide dépassant sa limite de stabilité, la ligne méridienne de la figure soit rigoureusement une sinusoïde; mais cette condition n'est pas indispensable : quand la dernière inégalité du paragraphe précédent existe, la surface totale de la figure a diminué d'une quantité finie, bien que très-petite, et dès lors on peut évidemment, sans annuler tout à fait la différence ou la faire passer en sens contraire, modifier jusqu'à un certain point la ligne méridienne de façon qu'elle ne constitue plus une sinusoïde exacte.

En outre, on peut, sans que l'inégalité en question cesse d'avoir lieu, attribuer au couple toutes les longueurs supérieures à la circonférence du cylindre, pourvu qu'elles soient en même temps des parties aliquotes de la distance des deux bases ; par conséquent, lorsque le cylindre dépasse suffisamment sa limite de stabilité, si, d'une part, il y a (§ 414) une infinité de petites déformations à l'égard desquelles sa surface est encore un minimum, il y a, d'autre part, plusieurs petites déformations à l'égard desquelles cette surface est un maximum.

§ 417. Supposons actuellement la longueur du cylindre aissez peu considérable pour que la transformation spontanée ne donne lieu qu'à un seul couple, cest-à-dire ne partage la figure entière qu en une seule portion renflée et une seule portion étranglée. Dans ce cas, 21 repré-

sentera la longueur totale du cylindre; si donc cette longueur remporte sur la circonférence, la surface du cylindre sera un maximum à Tégard de la petite déformation , et cette déformation progressera. Si , au contraire, la longueur du cylindre est moindre que sa circonférence, la surface de ce cylindre sera un minimum à regard de la petite déformation, et celle-ci devra s effacer d elle-même. Enfin si le cylindre a une longueur égale à sa circonférence, la déformation, pourvu qu'on la suppose extrêmement peu, ou, avec plus d'exactitude, infiniment peu prononcée, n'altérera pas l'étendue de la surface, et conséquemment n'aura aucune tendance à progresser ou à s'effacer; or nous savons, en effet, qu'un cylindre liquide dont la longueur est égale à la circonférence est précisément à sa limite de stabilité, et de ce qu'en deçà de cette longueur il est stable, nous devons conclure qu'alors sa surface est un minimum à l'égard de toute espèce de déformation trèspetite.

§ 418. La discussion contenue dans les paragraphes précédents établit donc, relativement au cylindre liquide, les principes suivants :

1** Quelque grand que soit l'intervalle des bases solides par rapport à leur diamètre, la surface du cylindre compris entre elles est toujours minimae areae à l'égard de certaines petites déformations.

2° Pour tout intervalle des bases excédant leur circonférence, la surface du cylindre, quoique minimae are» à l'égard des petites déformations ci-dessus, est, au contraire, maximse areae à l'égard de certaines autres petites déformations, parmi lesquelles est celle qui progresse d'après l'expérience.

3" Pour tout intervalle des bases moindre que leur

circonférence, la surface du cylindre est minimae areae d'une manière complète, c'est-à-dire à l'égard de toute espèce de petite déformation.

L'analogie des phénomènes observés permet évidemment d'étendre ces principes aux autres figures d'équilibre, et nous en déduirons cette conclusion générale :

Lorsqu'une figure d'équilibre a une limite de stabilité, c'est seulement en deçà de cette limite que sa surface est minimœ areœ d'une manière complète, c'est-à-dire qu'elle est moindre que toutes les surfaces voisines comprenant le même volume et terminées au même système solide ; au delà de la limite dont il s'agit, la surface de la figure est encore minimae areœ à l'égard de certaines déformations, mais elle est maximae areœ par rapport à une autre au moins, que les forces moléculaires font progresser.

Il faut donc restreindre dans ce sens le principe admis par la généralité des géomètres relativement aux surfaces dont la courbure moyenne est constante : la plupart de ces surfaces ne sont complètement minimae areae qu'entre certaines limites, au delà desquelles elles sont minimae areae à l'égard de certaines variations, et maximae areae à l'égard d'autres variations.

Il est à peine nécessaire de faire remarquer que si, dans le calcul du §415 et dans ce qui le suit, j'ai supposé la déformation finie quoique extrêmement peu prononcée, c'est que je raisonnais au point de vue physique, c'est-à-dire à celui des figures liquides réalisées; mais il est clair qu'au point de vue purement mathématique, rien n'empêche de supposer la déformation infiniment petite, et qu'on arriverait encore aux mêmes conclusions ; seulement, dans le cas du cylindre, la ligne méridienne de la figure altérée devrait alors être une sinusoïde

exacte, ce qui est indifférent pour la théorie, et le terme -y 1 de l'expression [3] du paragraphe cité représenterait la variation seconde de la surface.

§ 419. Si donc on voulait traiter a priori, et uniquement par le calcul, la question des limites de stabilité des figures d'équilibre liquides, le problème consisterait à chercher, pour chacune des jsurfaces représentées par

réquation ^b" "^ ^' = C, les limites entre lesquelles elle

XV xV

est minimœ areae d'une manière complète, c'est-à-dire moindre que toute autre surface voisine comprenant le même volume et ayant les mêmes terminaisons ; ces terminaisons devraient d'ailleurs être caractérisées d'avance d'une manière suffisante. Si le calcul est praticable, on aura ainsi une méthode générale pour la détermination des limites de stabilité dont il s'agit.

Cette recherche ne me paraît pas dénuée d'intérêt, même au point de vue purement mathématique; elle présenterait probablement des difficultés très-grandes, et je laisse aux géomètres le soin de l'essayer. On a vu, dans ce chapitre, qu'en s'aidant à la fois de l'expérience et de la théorie, la question se résout nettement et d'une manière simple dans plusieurs cas, au moyen de méthodes particulières.

Ajoutons qu'il est facile de se rendre raison maintenant de la stabilité de la sphère (§ 357); on sait, en effet, que la surface de ce corps est, d'une manière absolue, la plus petite surface possible qui puisse envelopper un volume donné. Quant au plan, sa stabilité est, ainsi que je l'ai montré (§ 358), une conséquence nécessaire de celle de la sphère.

§ 420. Un point reste à examiner. On a vu que

la surface d'un cylindre liquide suffisamment long par rapport à son diamètre, est maximse areae à l'égard de plusieurs petites déformations, et Tanalogie permet de penser que la même chose a lieu pour d'autres figures d'équilibre; en outre, nous savons qu'une figure d'équilibre quelconque excédant sa limite de stabilité éprouve toujours la même déformation spontanée dans les mêmes circonstances expérimentales ; il faut donc reconnaître, tout au moins dans le cylindre, l'existence d'une condition théorique qui détermine le choix de la masse parmi toutes les déformations qui diminueraient sa surface.

On serait tenté de croire , au premier abord , que puisque la surface tend incessamment à décroître, les forces moléculaires choisissent la déformation qui rend ce décroissement le plus grand possible. Mais il n'en est pas ainsi ; en eflFet, la déformation qui produirait le plus grand décroissement de la surface doit être unique pour une figure donnée ; or, dans la transformation spontanée du cylindre, la longueur des couples varie, nous le savons, pour un même diamètre et une même distance des bases, avec les viscosités du liquide et les autres résistances. D'ailleurs l'expression [3] du § 415 montre qu'au commencement de la transformation, la plus grande diminution de la surface correspondrait au cas où la valeur de l serait la plus grande possible, et conséquemment à celui où, quel que fût l'écartement des bases relativement à leur diamètre, il ne se formerait entre elles qu'un seul renflement et un seul étranglement; et l'on ne peut objecter que cela tient à la nature de la courbe que j'ai prise pour ligne méridienne, et qui n'est peut-être pas la véritable; j'ai eff'ectué un calcul analogue à celui du § 415 sur deux autres lignes, savoir, en premier lieu, sur une ligne brisée qui engendrerait

une suite de cônes tronqués égaux réunis alternativement par leurs grandes et par leurs petites bases, et, en second lieu, sur une ligne composée d'arcs de cercle égaux alternativement convexes et concaves vers Textérieur, c est-à-dire sur la ligne méridienne supposée par M. Hagen (§ 394); or, dans les deux cas, j'ai trouvé encore que la plus grande diminution correspondait à la plus grande longueur de chaque portion renflée ou étranglée ; il est donc bien probable que ce résultat est général, et qu'ainsi il a lieu pour la véritable ligne méridienne.

§ 421. La condition qui fixe le choix entre toutes les petites déformations d'où résulterait une diminution de la surface, doit, par conséquent, être cherchée ailleurs, et l'on y arrive, je pense, par les considérations suivantes :

Lorsque, par une cause quelconque, une masse liquide soumise aux seules actions moléculaires ne constitue pas une figure d'équilibre, et qu'ainsi les pressions correspondantes aux diff'érents points de sa surface sont inégales, elle tend nécessairement à égaliser ces pressions, et alors le liquide est chassé incessamment des points de plus forte pression vers ceux de moindre pression, jusqu'à ce que les inégalités aient complètement disparu. La figure se modifie donc de telle manière qu'à chaque instant les pressions soient aussi peu différentes que le permettent les conditions du phénomène; en d'autres termes, à chaque instant de celui-ci, la forme de la masse a toujours le plus d'analogie possible avec une forme d'équilibre.

Maintenant supposons une figure liquide dépassant sa limite de stabilité et réalisée entre des terminaisons solides. Elle aura nécessairement une foule de petites irrégularités imperceptibles à l'œil, et provenant à la fois

du procédé même de sa formation, quel qu'il soit, des petits mouvements inséparables de ce procédé, etc., de sorte qu elle ne constituera une figure d'équilibre qu'en apparence, et se trouvera, en réalité, dans le cas cidessus. Or, parmi ces irrégularités, les unes seront telles que, si elles existaient seules, elles augmenteraient la surface, et d'autres seront telles qu'elles la diminueraient; conséquemment les premières tendront à s'effacer, et les secondes, au contraire, tendront à progresser; mais, en vertu de ce qui précède, les forces moléculaires choisiront parmi ces dernières celles qui permettront à la masse modifiée de s'écarter le moins possible d'une autre figure d'équilibre, et les feront progresser en les régularisant.

On peut encore exprimer ce principe autrement : puisque les forces qui produisent la transformation sont les différences de pression, on peut dire que le phénomène se dispose de manière à s'accomplir avec la moindre dépense possible de force.

§ 422. Appliquons ces considérations au cylindre. Supposons un cylindre liquide d'une longueur considérable relativement au diamètre, réalisé par un moyen quelconque entre deux bases solides. Nous avons vu qu'une irrégularité consistant dans le partage de la figure en portions alternativement plus épaisses et plus minces, pouvait diminuer la surface; d'un autre côté, la figure d'équilibre la plus voisine du cylindre est l'onduloïde, qui se compose de portions alternativement renflées et étranglées ; si donc notre principe est vrai, les forces moléculaires choisiront, parmi toutes les petites irrégularités du cylindre, les amincissements suffisamment espacés, elles les régulariseront, en les prononçant de plus en plus, et elles dispose-

ront la figure de manière à l'approcher le plus possible d'un onduloïde. D après cela, si le liquide était complètement exempt de viscosité, et qu'il y eût en même temps absence de résistances extérieures, de manière que la transformation pût s'effectuer avec une entière liberté, enfin si la distance des bases était un multiple exact de leur circonférence, le phénomène marcherait comme s'il avait pour origine iin onduloïde infiniment peu différent du cylindre.

Or j'étais déjà arrivé (§ 405) à ce dernier résultat, en m'appuyant sur l'expérience et sur des raisonnements d'une autre nature ; deux méthodes essentiellement différentes concourent donc à l'établir, et dès lors le principe exposé dans le paragraphe précédent, principe à peu près évident en lui-même et dont le résultat en question découle immédiatement, peut, je pense, être regardé comme suffisamment démontré.

§ 423. Si l'intervalle des bases solides n'est 'pas un multiple exact de leur circonférence, de sorte que les couples ne puissent prendre la longueur qui convient à l'onduloïde, c'est-àrdire leur longueur minima, ou bien s'il s'agit d'un liquide réel, auquel cas il y a des résistances, les couples seront plus allongés, nous le savons; mais, toujours en vertu de notre principe, la figure, à l'origine de la transformation, approchera autant que possible d'un onduloïde, et l'on peut admettre qu'elle sera ce que deviendrait un onduloïde si celui-ci était simplement étiré dans le sens de sa longueur. S'il en est effectivement ainsi, la ligne méridienne originaire sera encore une sinusoïde, comme nous l'avons supposé, et, par conséquent, la longueur des renflements sera encore rigoureusement égale à celle des étranglements.

Dans son second Mémoire, Béer énonce, au sujet des

3œ STABILITÉ DES FIGURES D'ÉQUILIBRE;

modifications par lesquelles passe progressivement un long cylindre^ une idée analogue à celle que j ai émise plus haut; il pense que, pendant toute la durée de la transformation, la masse, qui ne peut plus affecter une figure d'équilibre, se façonne de manière, non pas à s'éloigner toujours le moins possible d une telle figure, mais à présenter constamment un ensemble de figures d'équilibre ; en d'autres termes, seloû lui , pendant l'accomplissement du phénomène, la figure se compose de portions renflées d onduloïde alternant avec des portions cylindriques, ces dernières diminuant de plus en plus en diamètre tandis qu elles augmentent en longueur, et les premières se renflant davantage en se raccourcissant, jusqu'à ce que, dans les portions cylindriques, il y ait égalité entre la longueur et la circonférence ; ces mêmes portions constituant alors deâ cylindres instables, se transforment à leur tour; de là les sphères et les sphémules.

Cette idée, difficilement admissible a priori, est d'ailleurs en désaccord avec ce que montrent les expériences du § 400 : dans celles-ci, quand le rapport entre Técartement et le diamètre des bases solides égale ou surpasse très-peu la limite de la stabilité, de manière que la transformation s'effectue avec assez de lenteur pour qu on puisse bien observer les changements de la ligne méridienne, cette dernière forme toujours une courbe parfaitement continue, jusqu'à ce que le milieu de l'étranglement n ait plus qu'une petite épaisseur ; alors seulement on voit se développer avec rapidité le filet cylindrique. Aussi Béer, à qui j'avais fait part de mes remarques, a-t-il reconnu son erreur 1^.

(l) Ueber die Trantformation dei flUssigen Cylinders (Ax^n. de M. Poo-

OBNDOBFF, VoL Cil, p. 320).

§ 424. Les assemblages de lames liquides ont aussi leurs conditions de stabilité, et Ion a vu (§ 210) comment M. Lamarle a soumis ce sujet à une théorie précise. Je terminerai ce chapitre par le résumé d'un travail de M. Duprez(i) sur un phénomène dans lequel les pressions capillaires combinées avec l'action de la pesanteur produisent des effets curieux de stabilité et d'instabilité.

On savait qu'un vase plein de liquide et dont le goulot est suffisamment étroit , peut être renversé , l'orifice ouvert, sans que le liquide s'en échappe, et l'on attribuait simplement ce fait à la pression atmosphérique exercée de bas en haut à l'orifice; or M. Duprez a reconnu qu'avec des précautions convenables, on peut maintenir le liquide ainsi suspendu dans un vase dont l'orifice n'est nullement étroit : il est parvenu à soutenir l'eau à un orifice de 19"'°',85 de diamètre. Pour obtenir ce résultat, il faut que la surface du liquide à l'orifice soit plane et bien horizontale, condition que M. Duprez réalise au moyen d'un appareil ingénieux.

Il était difficile de comprendre comment les physiciens s'étaient arrêtés à l'idée de la pression atmosphérique comme cause unique des phénomènes de ce genre ; en effet, si cette pression seule soutenait le liquide à un orifice étroit, elle devrait évidemment le soutenir à un orifice d'un diamètre quelconque ; pourquoi donc y a-t-il une limite que l'on ne peut dépasser?

A l'époque où M. Duprez faisait ses observations, je m'occupais déjà des questions relatives à la stabilité des surfaces liquides ; je ne tardai pas à trouver les principes qui servent de base à l'explication complète du phénomène dont il s'agit ici et à la détermination théorique

(1) Sur un cas particulier de Véquiîibre des liquidée {Uiu. db l'Acad. db Belgiqub, t. XXVI, 1851, et t. XXVIII, 1854).

du diamètre limite , et je suggérai ces principes à M. DupreZy comme il se plaît à le reconnaître dans son Mémoire.

Supposons la surface du liquide à lorifice mathématiquement plane et horizontale, et écartons toute cause accidentelle de trouble ; il est clair que le liquide demeurera soutenu par la pression atmosphérique, quelque grand que soit le diamètre de lorifice. Imaginons maintenant que la surface liquide éprouve une déformation excessivement petite qui la rende concave sur une moitié environ de son étendue, et, par suite, convexe sur l'autre moitié ; dès lors l'équilibre ne pourra plus avoir lieu au point de vue de la pesanteur : à cause de la différence de niveau, le liquide de la portion convexe tendra à tomber et à laisser entrer lair par la portion concave ; mais, d'autre part, une surface plane est, nous le savons, stable au point de vue des forces moléculaires, quelle que soit sa grandeur, de sorte que, sous l'action de ces mêmes forces, la petite déformation tendra à s'effacer ; en d'autres termes, les pressions capillaires correspondantes à la portion convexe l'emporteront sur celles qui appartiennent à la portion concave, et tendront conséquemment à rétablir la surface plane ; il y aura donc lutte entre la pesanteur et les pressions capillaires.

Or, pour une même différence de niveau, les courbures des deux portions de la surface, et conséquemment les différences de pression capillaire, seront évidemment d'autant plus faibles que le diamètre de l'orifice sera plus grand ; il y a donc nécessairement une limite de diamètre en deçà de laquelle les pressions capillaires prédominent, de façon que la surface liquide est stable, tandis qu'au delà c'est la pesanteur qui l'emporte et détermine ainsi l'écoulement du liquide.

D'après cela, pour arriver à une valeur théorique du diamètre limite, il suffirait de connaître, pour une petite différence de niveau, les rayons de courbure de deux sections normales rectangulaires aux sommets respectifs de la portion convexe et de la portion concave, en fonction du diamètre de lorifice ; avec ces éléments , on calculerait la différence des pressions capillaires correspondantes aux deux sommets en question, on l'égalerait au terme représentant laction de la pesanteur, et Ion résoudrait 1 équation par rapport au diamètre.

Mais comment se procurer ces données? Quand le diamètre de lorifice est assez grand pour que le liquide refuse de se maintenir suspendu, l'échange entre ce liquide et l'air s'effectue d'une manière si rapide qu'il est impossible d'observer l'altération originaire de la surface. M. Duprez surmonte la difficulté en employant mon procédé de l'immersion de l'huile dans le liquide alcoolique : un vase cylindrique en verre de 8 centimètres de diamètre intérieur et de 7 de hauteur, est introduit, l'ouverture en bas, dans le liquide alcoolique, puis exactement rempli d'huile à l'aide de moyens que M. Duprez indique ; ce vase est soutenu à une certaine hauteur dans le liquide ambiant, de façon que la surface de l'huile à l'orifice soit libre, et la quantité d'huile est telle que cette surface est plane. Si les densités des deux liquides sont égales, la surface de l'huile conserve, on le comprend," sa forme plane ; mais si l'on ajoute au liquide ambiant un excès croissant d'alcool, on atteint un point où la pesanteur reprend ses droits sur l'huile, et où la stabilité n'est plus possible ; or il est aisé de rendre l'excès d'alcool assez petit pour que la déformation s'effectue avBC une excessive lenteur, et qu'ainsi on puisse l'examiner parfaitement.

En opérant de cette manière, M. Duprez a constaté que la déformation consiste effectivement dans le partage de la surface en une seule portion convexe et une seule portion concave, et il a pu, à laide de moyens convenables, déterminer avec une approximation suffisante les éléments indiqués plus haut, ce qui le conduit à la formule

dans laquelle D est le diamètre limite, et h la hauteur à laquelle le liquide s'élèverait dans un tube capillaire d'un millimètre de rayon.

M. Duprez en déduit, pour leau distillée à la température ordinaire, 0 = 21""°*, 13. Or, avant de recourir à la méthode ci-dessus, il était arrivé à la valeur approchée du diamètre limite relatif au même liquide, par une voie essentiellement différente : avec un diamètre inférieur au diamètre limite, le liquide peut demeurer suspendu en présentant, à lorifice, une surface convexe ou une surface concave ; mais si, par un moyen approprié, on augmente jusqu'à un certain point cette convexité ou cette concavité, le liquide s'écoule. M. Duprez a mesuré, pour un nombre suffisant de diamètres, les flèches respectives des surfaces convexes et concaves à l'instant de la rupture de l'équilibre, et il les nomme ^ches de rupture. Avec ces données, il lie d'une manière générale la flèche de rupture au diamètre correspondant par une équation empirique, et égalant, dans celle-ci, la flèche à zéro, il obtient le diamètre limite pour le cas d'une surface plane. Il trouve ainsi, à l'égard de l'eau distillée, la valeur 21°^'°,44, valeur bien peu différente de celle qui résulte de la méthode théorique.

L'accord si satisfaisant de ces deux valeurs, obtenues

par des méthodes qui n'ont absolument rien de commun, ne peut laisser aucun doute sur la légitimité de la formule mentionnée plus haut, formule d après laquelle le diamètre limite est proportionnel à la racine carrée de la hai^teur capillaire du liquide.

Ces mêmes valeurs surpassent un peu le diamètre 19°*°*,85 trouvé par lexpérience directe; mais cela doit être, car, dans cette expérience, il est impossible d'éviter de petites causes de trouble qui, lorsqu'on approche de la limite, suffisent pour amener la destruction de l'équilibre.

M. Duprez soumet la formule à de nouvelles vérifications, en l'appliquant à trois autres liquides, l'alcool, l'huile d'amande douce et l'éther sulfurique : il cherche également, pour chacun .de ceux-ci, le diamètre limite par la méthode des flèches de rupture et par la formule, et il arrive encore à des résultats concordants. Voici, en effet, ces résultats :

{ par les flèches, 13™",14, ^^^^^^ 1 par la formule, 13"",48.

\ par les flèches, 15°^,00, HuUe d'amande . . . . ) par la formule, 1&»«,03.

par les flèches, I2p^fi2f par la formule, 12'^,48.

Éther J

. L'accord est moins satisfaisant pour l'éther, mais, à l'égard de ce liquide, M. Duprez n'a mesuré les flèches de rupture que dans un seul tube.

Enfin M. Duprez étend les mêmes principes à l'explication du fait bien connu, qu'il est impossible de verser un liquide dans un vase à goulot étroit: le liquide prend, dans l'orifice, une surface assez stable pour que l'échange avec l'air intérieur au vase ne puisse s'opérer.