CHAPITRE X

stabilité des figurée d'équilibre; étude théorique et vérifications

expérimentales.

M. Hagen a cherché, par une méthode théorique approximative, la limite de stabilité du cylindre % 394

Imperfection de cette méthode .... * % 395

Principe serrant de base à une taéthode rigoureuse \ 396

Application du calcul à ce principe : on trouve ainsi qu'à la limite exacte, le rapport entre la longueur et le diamètre du cylindre est la quantité tt, c'est-à^ire le rapport de la circonférence au diamètre § 397

Béer est aiTivé à la même valeur, mais sa démonstration est incomplète § 398

Marche à suivre pour vérifier expérimentalement cette valeur au moyen de cylindres d'huile dans le liquide alcoolique % 399

Appareil et expériences \ 400

Discussion de ces expériences ; elles donnent, pour valeur très-approchée de la limite, le nombre 3, 15 5 ^^

Particularité en apparence singulière ; explication \ 402

Les expériences du § 4C0 vérifient le principe du § 396 \ 403

Dans un cylindre à sa limite de stabilité, la transformation s'effectue comme si elle avait pour origine un ondulolde infiniment peu différent de ce cylindre, et composé d'un seul renflement et d'un seul étranglement % 404

Dans un cylindre indéfini, entièrement libre, et formé d'un liquide exempt de toute viscosité, la transformation s'effectuerait trèsprobablement comme si elle partait d'un onduloïde indéfini différant infiniment peu de ce cylindre J 405

Le calcul montre pourquoi les résistances allongent les renflements et les étranglements 5 '^

Preuve expérimentale que les forces qui produisent la transformation augmentent avec la longueur des l'enflements et des étranglements J 407

Le calcul du % 403 fournit une deuxième démonstration de la limite exacte de la stabilité du cylindre J 406

Un onduloïde partiel dont le milieu est occupé par un renflement, est exactement à sa limite de stabilité quand il est terminé aux cercles de gorge de deux étranglements a4jacent9 à ce renflement; démonstration § 409

Troisième méthode rigoureuse d'arriver à la valeur précite de la limite de stabilité du cylindre J 410

Vériflcation expérimentale, au moyen d'un caténoïde laminaire, de la limite de stabilité de cette figure ^ ^11

Les principes rigoureux que nous avons appliqués à la rechei*che des limites de stabilité du cylindre et de l'onduloïde partiel renflé, ne peuvent être employés à Pégard du nodoïde S 412

Stabilité des figures d'équilibre envisagée sous un point de vue général, en partant du fait de la tension. Dans une figure instable, la surface n'est minima que par rapport à certains modes de petite déformation, tandis qu'elle est maxima par rapport à d'autres J 413

Confirmation de ce principe par l'étude du cylindi'e : la surface de celui-ci est un minimum par rapport à toutes les petites déformations qui n'altèrent pas les aires des sections parallèles aux bases § 414

Application du calcul au cas où la petite déformation partage la figure en portions de môme longueur alternativement renflées et étranglées; quand la somme des longueurs d'un renflement et d'un étranglement excède la circonférence du cylindre originaire, la surface de la figure déformée est moindre que celle de ce cylindre ^ 415

On en déduit la conséquence qu'il y a plusieura petites déformations à l'égard desquellesja surface d'un long cylindre est un maximum. J 416

Conséquences du calcul du ^ 415 à l'égard d'un cylindre instable assez court pour qu'il ne s'y forme qu'un seul renflement et un seul étranglement } 417

Résumé de la discussion précédente ; extension aux figures d'équilibre'autres que le cylindi'e; restriction du princifie admis par les géomètres à l'égard des surfaces à courbure moyenne constante. ^418

Point de départ de l'application du calcul au problème général. Pourquoi la sphère et le plan sont stables 5 ^^^

Dans une figure d'équilibre instable, il y a une condition théorique qui détermine le choix de cette figure parmi toutes les petites déformations qui diminueraient la surface ; le mode qu'adopte la figure n'est pas celui qui rendrait cette diminution la plus grande S ^^

Quelle est probablement la vraie condition théoiique S ^^

Application au cylindre S ^^

Suite ; opinion de Béer S 423

Limites de stabilité dans des cas où la pesanteur joue un rôle: résumé d'un travail de M. Duprez $ 424