CONSIDERATIONS RELATIVES

déforme par un moyen quelconque et qu on l'abandonne ensuite à elle-même, elle reprend toujours la figure sphérique. Cela revient à dire que la sphère est la seule surface à courbure moyenne constante qui soit fermée, et qu'ainsi toutes les autres ont des dimensions infinies dans certains sens. Cependant cette déduction , bien qu'extrêmement probable, nest pas tout à fait concluante : une surface fermée différente de la sphère et à courbure moyenne constante pourrait exister, sans que la figure quelle représente fut réalisable par lexpérience; si, par exemple, cette figure, dans son entier, était à l'état d'équilibre instable, genre d'équilibre dont nous constaterons de nombreux cas, il est clair que notre masse d'huile ne la prendrait jamais.

Les géomètres n'ont pu, que je sache, résoudre complètement la question ; seulement, en premier lieu, il est aisé de faire voir que s'il y a une surface fermée, autre que la sphère, à courbure moyenne constante, elle ne doit pas être cherchée parmi les surfaces à courbure moyenne nulle. En effet, une figure fermée est nécessairement telle qu'on peut concevoir un plan qui lui soit entièrement extérieur et ne fasse que la toucher en un point; or il est visible qu'en ce point toutes les courbures sont de même sens; la figure supposée ne saurait donc satisfaire à la condition qu'en chacun de ses points les deux courbures principales soient de sens contraires. 11 suit de là qu'au moins les surfaces à courbure moyenne nulle sont toutes indéfiniment étendues, ce dont le plan nous a déjà offert un exemple.

En second lieu, M. Jellett a démontré (l) que, de toutes les surfaces fermées telles qu'une droite issue

(1) Sur la surface dont la courbure moyenne est constante (Jouini. de M. Liouville, t. XVIII, p. ICk^, année 185!^).