AUX FIGURES D'ÉQUILIBRE EN GÉNÉRAL

d'un point de lespace quelles emprisonnent ne les • perce quen un point unique, la sphère est la seule dont la courbure moyenne soit constante.

Enfin, parmi les surfaces complètement déterminées dont j ai parlé au § 2, six, y compris la sphère, sont à courbure moyenne finie, et les cinq différentes de la sphère sont indéfiniment prolongées.

§ 35. Considérons actuellement lune quelconque des figures d'équilibre à dimensions infinies dans certains sens. Nous ne pourrons la réaliser dans sa totalité; mais imaginons cette réalisation effectuée, et engageons, par la pensée, dans la figure indéfinie, un système solide qui en limite complètement une portion. Si les contours de ce système solide sont exactement à la surface de la ;nasse, il est évident que la figure ne sera pas modifiée, car les contours solides nexerçant leur attraction que jusqu'à une distance excessivement minime, tout le reste de la surface liquide se trouvera dans les mêmes conditions qu'auparavant. Conséquemment si le système solide se compose de deux plaques minces comprenant entre elles la portion de figure dont il s'agit, nous pourrons concevoir supprimées les deux parties qui s'étendent indéfiniment audelà ; la portion interceptée, portion qui seule sera conservée, n'aura subi aucune altération, et sa surface s'arrêtera nettement, comme dans l'expérience du § 14, aux contours des deux plaques. Rien ne nous empêche donc de réaliser effectivement cette portion isolée, ce qui nous conduit à la conclusion générale, qu'à l'aide de systèmes solides appropriés, nous pouvons réaliser par portions toutes les figures d'équilibre.

Et ici, remarquons-le, l'expérience va plus loin que la théorie ; en effet, à cause des difficultés de calcul, il

n'y a, nous lavons dit, qu'un petit nombre de surfaces à courbure moyenne constante parfaitement con-* nues; or, en variant les formes des systèmes solides, on peut obtenir autant de figures d équilibre partielles qu'on le veut ; elles sont là sous nos yeux, et nous pouvons les observer à loisir ; seulement, comme, en général, nous n'en avons pas les équations en coordonnées finies, nous ignorons ce qu elles deviennent au-delà des limites des systèmes solides.

Mais une question se présente : supposons Tune de ces figures partielles réalisée dans mon appareil ; on est en droit de se demander si le mélange alcoolique dans lequel elle est immergée n'en modifie pas la forme. Or, à la surface de séparation des deux liquides, le mélange alcoolique oiFre, en creux, la même figure que l'huile oiffre en relief ; si donc la figure de la masse d'huile ne satisfaisait pas à la formule [2] du § 1 , la figure en creux du mélange alcoolique n'y satisferait pas davantage (§ 2), et conséquemment l'équilibre ne pourrait exister ; ainsi, pour qu'il existe, la condition exprimée par la formule doit nécessairement être remplie à l'égard de la figure d'huile, auquel cas elle l'est de même à l'égard de celle du mélange alcoolique.

Disons enfin que, pour la réalisation de la plupart des figures d'équilibre partielles, les systèmes solides peuvent être formés de simples fils de fer ; c'est ce que l'on comprendra bientôt.

§ 36. Commençons par les figures d'équilibre de révolution , parmi lesquelles nous connaissons déjà la sphère et le plan. La discussion , au point de vue purement mathématique, des surfaces de révolution à courbure moyenne constante est à-peu-près complète ; nous exposerons plus loin les résultats qu'elle a donnés ;

mais, quant à présent, proposons-nous d'arriver sans calcul aux formes générales de ces surfaces, à toutes leurs modifications et à tous leurs détails, en nous appuyant sur lexpérience et en nous aidant du simple raisonnement appliqué à la formule :^ + 777 = C- Dans cette re-

cherche, lexpérience et la théorie marcheront toujours cote à cote, et la première nous fournira ainsi un grand nombre de vérifications de la seconde.

Il est bien connu des géomètres que Tun des rayons de courbure principaux en un point quelconque d'une surface de révolution est le rayon de courbure de la ligne méridienne, et que l'autre est la portion de la normale à cette ligne comprise entre le point considéré et l'axe de révolution, ou, comme on le dit plus simplement, la normale en ce point. D'après cela, pour éviter toute ambiguité, nous remplacerons, dans la formule ci-dessus, les lettres R et R' par les lettres M et N, dont la première rappellera qu'elle désigne le rayon de courbure de la ligne méridienne, et dont la seconde rappellera de même quelle désigne la normale; ainsi, tant qu'il s'agira des figures de révolution, la formule de l'équilibre sera

§ 37. Cette notation convenue, iious allons d'abord démontrer que, outre le plan, la sphère est la seule figure d'équilibre de révolution dont la ligne méridienne rencontre l'axe.

Concevons une figure d'équilibre de révolution autre que le plan et la sphère, et dont la ligne méridienne atteigne l'axe. Je dis, en premier lieu, que cette ligne ne peut aboutir à l'axe que normalement. En effet, si elle le coupait obliquement ou si elle lui était tangente, la nor-

maie serait nulle au point d'intersection ou de contact,

et la quantité r? + î^ deviendrait infinie en ce point (0,

(1) II y a toutefois, à la rigueur, un cas auquel ce raisonnement semblerait n'être pas applicable. On peut concevoir une courbe telle, qu'au point où elle rencontre Taxe, le rayon de courbure soit nul, et qu'aux environs de ce point le rayon de courbure et la normale soient de si(;nes contraires ;

alors la quantité t: -f- — constituerait une différence, dont les deux termes

deviendraient à la fois infinis au point situé sur l'axe, et l'on ne volt pas, au premier abord, que cette différence ne puisse demeurer finie. Nous avons donc à démontrer que la chose est impossible.

Pour cela, mais uniquement dans ce cas, nous serons obligé de faire usage des expressions connues du rayon de courbure et de la normale en fonction des coefficients différentiels.

Si nous prenons l'axe de révolution pour axe des abscisses, nous aurons, comme on sait, petq étant respectivement les coefficients différentiels du premier et du second ordre de y par i-apport à x,

,lJl±^ [al

N = y(lH-pV; [b]

d'où nous déduirons, pour le rapport des deux termes du premier membre de l'équation de l'équilibre,

Soit maintenant ys=f{x) l'équation de la ligne méridienne. Prenons pour origine des coordonnées le point où cette ligne rencontre l'axe, de manière que, pour x = o, on ait y = o; nous pourrons alors supposer la fonction J\x) développée suivant une série de puissances ascendantes et positives de rr ; et si nous voulons que la courbe rencontre l'axe sous un angle autre qu'un angle droit, ce qui exige que, pour x = Oy le premier coefficient différentiel soit fini ou nul, il faudra que l'exposant de x dans le premier terme de la série soit au moins Punilé. Remarquons ici que, n'ayant à considérer la courbe qu'au point où elle atteint l'axe et dans les points très-voisins, nous pouvons toujours supposer x extrêmement petit, en sorte que, relativement à cette portion de la courbe, notre série sera nécessairement convergente. Posons donc :

y = ax^ -♦- A.r" -4-. l(\]

tandis qa elle aurait des valeurs finies dans les points voisins ; cette quantité ne serait donc pas constante dans tout le parcours de la courbe comme le veut Féquation de Téquilibre.

Imaginons maintenant que la fi^re liquide remplisse la condition que nous venons d établir, et considérons, à partir de Taxe, un arc de la ligne méridienne. Puisque, par hypothèse, cette ligne n'est ni droite ni circulaire, la

équation dans laquelle les exposants m,n, sont positifs et le plus

petit m est au moins égal à Tunité. On aura conséquemment :

p = «wa-^» -♦- jito^« -♦-

g = «(m — 1) «?--• H- H (« — 1) to^* H-

D'après cela, si Ton reut qu'au point situé sur Taxe le rayon de courbure soit nul, on voit, par la formule [a], qu'en ce même point, q doit être infini, et, en vertu de la seconde des expressions ci-dessus, cette condition sera satisfaite si le premier au moins des exposants m,ii,.... est plus petit que 2.

Portons actuellement dans la formule [c] ces mêmes expressions de p et de q et celle de jr ; il viendra :

J^ (m (m— l)«r*~*-Mi(n— 1) to^*H — ) («ir"-+-to"H- •••) M

et l'on voit aisément que, pour x = Oy ce rapport devient infini. Remarquons, en passant, que ce résultat est indépendant de la condition m ^2« en sorte qu'il est vrai aussi bien pour un rayon de courbure fini ou infini au point situé sur l'axe, que pour un rayon de courbura nul ; ce qui devait être, d'ailleurs, d'après ce que nous avons vu plus haut. Maintenant si, en ce même point, le rayon de courbure est nul, les deux quantités

•rretrT prennent, à la vérité. Tune et l'autre une valeur infinie; mais N M

puisque leur rapport devient en même temps infini, leur difi'érence devient

éfçalement infinie, ce qu'il fallait démontrer.

Remarquons enfin qu'une ligne dont le rayon de courbure serait nul au

point situé sur l'axe, ne pourrait satisfaire à la formule de l'équilibre, quand

même elle rencontrerait l'axe perpendiculairement; en effet, il est aisé de

voir qu'alors, dans le voisinage du point de rencontre, le rayon de courbure

etlanQi*male seraient de même sens, et qu'ainsi, au point dont il s'agit,

la quantité tt-*--;^ serait la somme, et non la difTérence, de doux infinis.

courbure de lare variera d'un point à un autre ; elle commencera coriséquemment par aller soit en augmentant, soit en diminuant, et nous pourrons prendre lare assez petit pour que la courbure aille toujours en augmentant, ou

toujours en diminuant, à partir du point situé sur Taxe jusqu'à Fautre extrémité. Supposons d abprd que la courbure aille en croissant, et soit ahà [Jig. 10) lare dont il s agit. Au point a la normale est couchée sur Taxe, et, à mesure qu on s'éloigne de ce point, elle fait avec Taxe un angle de plus en plus grand ; mais nous limiterons la longueur de lare de manière que, de a en dy cet angle ne cesse point d être aigu. Par les deux points a et d faisons passer un arc de cercle acd qui ait-son centre sur Taxe, ''•K *o. et qui, par conséquent, rencontre

aussi ce dernier normalement.

Puisque lare dbd^ dont la courbure va toujours en augmentant, part du point a suivant la même direction que lare de cercle, et, après s être séparé de celui-ci, le rejoint en dy il est évident que sa courbure doit d'abord être inférieure à celle de ce second arc, et lui devenir ensuite supérieure, en sorte qu'au point d le rayon de courbure de l'arc abd est plus petit que le rayon de l'arc de cercle. Mais de la direction initiale commune des deux arcs, et de cette marche relative de la courbure de l'arc (ibdy il résulte nécessairement que ce dernier est, comme le montre la figure, extérieur à l'autre, et qu'au

point d il doit le couper, et non le toucher ; si donc on mène, en ce point d^ la normale df à lare de courbe et le rayon dg de lare de cercle, la première sera moins oblique sur Taxe que le second, et conséquemment elle sera plus courte. Ainsi, au point rf, les deux quantités M et N seront toutes deux moindres que le rayon de lare de cercle. Prenons actuellement, dans la partie de lare ahd où la courbure est moindre que celle de lare de cercle, un point quelconque m^ et prenons, sur le second de ces arcs, un point n tel que la portion an soit égale en longueur à la portion am. Dans ces conditions, le point m sera évidemment plus éloigné de Taxe que le point n, et, d'autre part, la normale en m sera plus oblique à Taxe que le rayon mené de n ; par cette double raison, la normale dont il s'agit sera donc plus grande que le rayon de lare de cercle ; mais , par suite de l'infériorité de la courbure en m^ le rayon de courbure en ce point sera aussi plus grand que le rayon de l'arc de cercle.

11 résulte de tout cela que les valeurs de M et de N correspondantes au point m sont l'une et l'autre supérieures à celles qui correspondent au point d^ mais il est clair que M et N sont de même signe dans toute la longueur de l'arc aidy et qu'ainsi, au point m comme au

point rf, la quantité ^-^-^ constitue une somme; cette

même quantité est donc plus petite en m qu'en dy et conséquemment l'équilibre de la figure liquide engendrée est impossible.

Si l'on suppose maintenant que la courbure de notre arc méridien aille toujours en diminuant, comme on le voit en a' V d! [Jig. 11), il est visible qu'alors cet arc sera intérieur à l'arc de cercle a' C d' ayant sont

centre sur Taxe, que sa courbure commencera par être supérieure à celle de ce dernier, pour lui devenir ensuite inférieure, et qu'au point df l'un des arcs viendra

encore couper lautre et non le toucher ; d où Ion conclura , par le mode de raisonnement employé dans le cas précédent, que la quantité-^ h-— est plus grande en un M N -^ ^

point voisin de a' quen d', en sorte que 1 équilibre de la figure engendrée est également impossible.

Donc lorsque la ligne méridienne rencontre Taxe, la condition de 1 équilibre ne peut être satisfaite que si cette ligne est une circonférence de cercle ayant son centre sur Taxe, ou une droite perpendiculaire à celui-ci ; donc enfin la figure engendrée est nécessairement une sphère ou un plan. De là découle la vérité de ce que j ai avancé en décrivant les expériences des §§ 14 à 20, savoir que les portions de surfaces qui s appuient sur le contour de la plaque circulaire, de lanneau ou du cylindre creux, sont des calottes sphériques. Pour qu'il pût en être autrement, il faudrait que la calotte courbe ne fût pas de révolution, ce dont Tœil s'apercevrait aisément.

§ 38. Les lignes méridiennes des autres figures d'équilibre de révolution ne pouvant avoir aucun point de commun avec Taxe, ces lignes devront ou s'étendre à l'infini, ou se fermer en dehors de l'axe. Les premières engendreront des figures qui s'étendent elles-mêmes à l'infini. Les secondes donneraient des figures annu-

Fig. 11.

laires ; nous saurons plus loin si lexistence de semblables figures est possible.

Pour simplifier la recherche des lignes dont il s'agit, nous allons démontrer quelles ne contiennent aucun point de rebroussement. Supposons lexistence d'un point de cette nature ; nous avons à considérer trois cas : 1** celui où la tangente au point de rebroussement, tangente qui y est commune aux deux branches de la courbe, n est pas perpendiculaire à Taxe de révolution, quelque autre direction qu elle ait z d'ailleurs; 2"* celui où cette tangente commune est perpendiculaire à l'axe et où les deux branches se rapprochent de celui-ci en allant vers le point de rebroussement ; 3** enfin celui où, la tangente commune étant encore perpendiculaire à l'axe, les deux branches, en allant vers le point de rebroussement, s'éloignent de cet axe.

Premier cas. — En jetant les yeux sur la fig. 12, qui représente, en coupes méridiennes, des portions de la figure liquide pour différentes positions du point de rebroussement par rapport à l'axe de révolution ZZ', on reconnaîtra sans peine qu'aux environs ^'^ de ce point, la normale est toujours, pour lune des branches, dirigée à l'intérieur du liquide et conséquemment positive, tandis que, pour l'autre, elle est dirigée à l'extérieur et conséquemment négative;

or l'équation —--[---= C ne saurait comprendre ce

changement de signe de la normale N en passant d'une branche à l'autre : car il exigerait qu'au point de rebroussement cette normale fût nulle ou infinie, et,

Fig. 11.

dans le cas actuel, la normale en question est évidemment finie, puisque la tangente nest pas perpendiculaire à Taxe, et que le point de rebroussement ne peut être sur celui-ci.

Deuxième cas (Jig, 13). — Si le point de rebroussement est de seconde espèce, c est-à-dire si les deux

branches qui y aboutissent sont situées du même côté de la tangente commune, on voit que, pour lune de ces branches, la normale et le rajon de courbure sont tous deux positifs, tandis que, pour l'autre , ils sont tous deux

négatifs ; la quantité tt + î^ changerait donc de signe en passant de Tune à lautre, et ainsi ne serait plus la même dans toute l'étendue de la figure liquide.

Si le point de rebroussement est de première espèce, c est-à-dire si les deux branches sont situées des deux côtés Fijf. 13. opposés de la tangente commune , le

rayon de courbure y est, comme on sait, nul ou infini ;

mais un rayon de courbure nul rendrait infinie la

quantité— -|-^> en sorte que nous n'avons à examiner

que rhypothèse d un rayon de courbure infini. Alors, comme, d après la direction de la tangente, la normale est également infinie au point que nous considérons,

la quantité îy7 + i^ se réduirait à zéro au même point ;

il faudrait donc, pour lequilibre, que cette quantité fût nulle aussi en tous les autres points de la ligne méri-

dienne ; or cela est impossible , puisque , dès qu on s écarte du point de rebroussement , le rayon de courbure et la normale prennent, sur chacune des deux branches en particulier, des valeurs finies et de même

signe.

Troisième cas {Jig. 14). — Si le point de rebroussement est de seconde espèce, le rayon de courbure a des signes opposés sur les deux branches , et conséquemment il doit être nul ou infini au point en question; mais, nous lavons déjà fait, remarquer, nous n avons pas à nous occuper de Thypothèse d un rayon de courbure nul ; reste donc celle d un rayon de courbure infini. Alors, la normale au même point étant de son côté infinie, Téquilibre exige, comme plus haut, que la quantité TT 4* T^ soit nulle pour tous les points M * N

de la ligne méridienne. Ici la chose semble possible au premier abord , puisque , aux , environs du point de rebroussement, le rayon de courbure et la normale sont, sur z* chaque branche considérée isolément, de ^''^- **• signes contraires ; mais nous verrons ci-après que cette possibilité n'est qu'apparente.

Si le point de rebroussement est de première espèce, le rayon de courbure y est nécessairement nul ou infini, ainsi que nous l'avons déjà rappelé ; et, puisque nous devons rejeter les rayons de courbure nuls, la quantité

— -f- - est encore égale à zéro au point dont il s'agit,

et doit l'être aussi en tous les autres points, ce qui paraît possible comme précédemment, et pour la même raison.

Mais pour qu en tous les points de la ligne méridienne la quantité tt +^ soit nulle, il faut évidemment qu en

chacun de ces points le rayon de courbure soit égal et opposé à la normale ; or il est bien connu des géomètres qu'une seule courbe jouit de cette propriété, et que cette courbe est la chaînetiCy laquelle na aucun point de rebroussement.

§ 39. Les principes établis dans les deux paragraphes précédents ayant écarté de la question de nos lignes méridiennes les complications qui seraient venues lembarrasser , nous pouvons entrer plus directement en matière.

Il suit évidemment de la formule [4] que le cylindre fait partie des figures d équilibre de révolution ; dans celui-ci, en effet, la ligne méridienne étant une droite parallèle à l'axe, M est partout infini, ce qui réduit

le premier membre de la formule au terme ^, et ce

terme egt constant, puisque la normale N est le rayon du cylindre.

Le cylindre, dans son état complet, s étend indéfiniment dans le sens de Taxe ; mais, d'après ce que nous avons exposé (§ 35), nous pourrons en réaliser une portion.

Avant de décrire cette réalisation ainsi que celle des figures ultérieures, j'insiste de nouveau sur l'ensemble des précautions dont j'ai déjà parlé, et qui sont d'une absolue nécessité , surtout dans les expériences de ce genre; je rappelle donc qu'il faut: P n'employer les deux liquides, mélange alcoolique et huile, que rendus mutueUement inertes, ou à très-peu près (§ 6) ; 2*^ quand on va verser l'huile , entourer de plusieurs doubles

detolFe le flacon qui Ja contient, afin d'écarter Tinfluence de la chaleur de la main (§ 9) ; 3*" donner de grands soins à l'ajustement des densités (§§ 6 et 9) ; on croirait difficilement , sans lavoir expérimenté , combien des différences minimes affectent les figures un peu grandes; 4"* soigner de même Thomogénéité de rhuile qui constitue la masse immergée (§ 30) ; S"" enfin opérer dans un lieu dont la température soit, autant que possible, constante (§ 7) ; si elle varie un peu pendant la durée des expériences, et si la régularité^ des figures sen ressent, rétablir légalité des de usités. Je répète aussi quavec ces précautions, qui deviennent en peu de temps familières, les expériences s'exécutent sans peine, et donnent des résultats parfaitement réguliers.

§ 40. Procédons maintenant à la réalisation du cylindre. Le système solide que nous emploierons dans ce but, consiste en deux anneaux horizontaux en fil de fer, égaux entre eux, et ayant, par exemple, 7 centimètres de diamètre (fig. 15). L'un de ces anneaux repose, par trois petits pieds, sur le morceau d'étoffe qui couvre le fond du vase (| 9), et l'autre est fixé, par la queue de sa fourche , au bas de la tige cylindrique.

Après avoir soulevé autant que possible l'anneau supérieur, faisons glisser d'une petite quantité la plaque couvercle pour ménager une ouverture au haut du vase, et, par celle-ci, introduisons obliquement le bec d'un petit entonnoir, bec qui doit être assez long ; puis versons doucement l'huile en quantité telle qu'elle forme une sphère d'environ un décimètre de diamètre. Enlevons l'entonnoir, et conduisons la sphère liquide vers l'anneau

Fig. 15.

m FKH'KES IVKIJUIl.lliUE

inférieur, de manière à la faire adhérer à tout le contour de ce dernier ; faisons glisser le couvercle en sens contraire, pour refermer le vase, et amener l'anneau supérieur bien exactement au-dessus de l'autre ('), Abaissons ensuite cet anneau supérieur jusqu'à ce qu'il vienne se mettre en contact avec la masse d'huile, et que celle-ci y adhère également. La masse étant ainsi attachée aux deux anneaux, soulevons lentement le supérieur : alors la portion de la figure liquide comprise entre eux s'allongera en se rétrécissant, et l'on atteindra un point où cette

■ portion de figure sera parfaitement cylindrique ; on aura de la sorte un cylindre exact ayant 7 centimètres de diamètre et 12 à 14 de hauteur (^. 16).

Seulement les deux bases de la figure ne sont pas planes ; leurs surfaces constituent des calottes sphériques convexes, et ceci est une conséquence nécessaire de la théorie.

En effet, d'après la notation que nous avons Fig, 1», adoptée, la pression correspondante à un point quelconque de la surface cylindrique a pour "mesure

Al 1

P + -^ — ; et comme la courbure j^ est positive, puisque

la normale N est dirigée à l'intérieur du liquide , la pression dont il s'agit est supérieure à celle d'une surface plane ; or il faut évidemment , pour l'équilibre de la masse, que les surfaces des bases exercent, en chaque point, une pression égale à la précédente, et, par suite, supérieure aussi à celle d'une surface plane, condition qui exige qu'elles soient convexes.

(1) Disons ici, une fois pour toutes, qua c'est à l'aida de manœuvres analogues qu'on efTai^tue la réalisation delà plupart des Ddures dont nous nous oocupei-ons.

DE RÉVOLUTION ; CYLINORB. 89

Dans cette expérience, on le voit, le système solide consiste on de simples fils de fer. On pourrait se servir de disques au lieu d'anneaux; mais, avec ces derniers, le résultat est bien plus curieux, et il offre d'ailleurs, comme je viens de le montrer, une nouvelle vérification de la théorie.

Si, dans cette même expérience, les densités des deux liquides ne sont pas tout à fait égales, on en est averti par le fait que la figure prend , d'une manière plus ou moins prononcée, l'une des deux formes de la pg. 17; on corrige alopî le petit défaut d'ajustement.

Eniîn, si l'on éprouve quelque difficulté à former une sphère d'huile d'un décimètre sans qu'elle aiUe toucher la pai-oi latérale du vase, rien n'empêche tie s'arrêter à un diamètre moindre ; le cylindre sera alors moins haut, mais on pourra, si l'on veut, y ajouter de l'huile, et hausser ensuite l'anneau supérieur jiisqn'tV ce qu'on reproduise la figure cylindrique.

!j 41. Le résultat que nous venons d'obtenir va nous permettre d'arriver à une vérification numérique. Il est aisé de déduire de la théorie le rayon des sphères auxquelles les Iiases appartiennent ; en effet , si nous le représentons par i, la pression correspondante à un point de la suriace de ces bases aura [%\^) pour valeur

P-j-.\,--; et puisque cette pression doit être é^le à

celle qui correspond à un point de la surface cylindrique, nous pourrons poser :

d où nous déduirons :

Ainsi le rayon des sphères dont les bases font partie, est égal au diamètre du cylindre.

D'après cela , connaissant ce diamètre , qui est le même que celui des anneaux, on peut calculer la hauteur théorique des calottes, puis mesurer, dans la figure, au moyen du cathétomètre, la hauteur réelle, et comparer les résultats. Cest ce que j'ai faitj comme on va le voir.

§ 42. Si l'on imagine la figure liquide coupée par un plan méridien, la section de chacune des calottes sera un arc appartenant à un cercle dont le rayon devra, d'après ce qui précède, être égal à 2N, et la flèche de cet arc sera la hauteur de la calotte. Si l'on suppose infiniment minces les fils métalliques qui forment les anneaux, de manière que chacune des calottes s'appuie sur la circonférence même du cylindre, la corde de l'arc ci -dessus sera aussi égale à 2N, et si Ton désigne par h la hauteur des calottes, on aura :

Or le diamètre extérieur exact de mes anneaux, ou la valeur de 2N correspondante à mes expériences, était de 71'""',4, ce qui donne A= 9™™,57.

Mais les fils métalliques ayant une certaine épaisseur, et les calottes ne s'appuyant pas sur la circonférence extérieure des anneaux, il en résulte que la corde de l'arc méridien est un peu moindre que 2N, et que, par conséquent, la hauteur théorique réelle des calottes est

un peu plus petite que ne le donne la formule précédente. Pour la déterminer exactement, désignons la corde par 2c y ce qui donnera :

Maintenant, remarquons que le plan méridien coupe chacun des anneaux suivant deux petits cercles auxquels est tangent lare méridien de la calotte, et sur chacun desquels la corde de cet arc intercepte un petit segment. Or, lare méridien étant tangent aux sections des fils, il en résulte que les petits segments ci-dessus sont semblables à celui de la calotte ; et comme la corde de ce dernier diffère fort peu du rayon du cercle auquel lare appartient, les cordes des petits segments pourront être considérées comme égales au rayon des petites sections, rayon que nous désignerons par r. Il est visible, en outre, que lexcès du rayon extérieur de l'anneau sur la demi-corde c n'est autre chose que l'excès du rayon r sur la demi-corde des petits segments, demi-corde qui,

d'après ce qui précède, est égale à-r. On déduit donc de

là, N — c =^^r. d'où c = N — -r, et il n'y aura qu'à

substituer cette valeur dans la formule précédente, pour avoir la valeur théorique réelle de k. L'épaisseur des fils qui formaient mes anneaux était de 0'""',74, d'où

^r= 0""*,18, ce qui donne, pour la hauteur théorique

réelle des calottes dans ces circonstances.

Je ferai remarquer qu'il est difficile de distinguer, dans la figure liquide, la limite précise des calottes, c'est-àdire les circonférences de contact de leurs surfaces avec

celles des anneaux. Pour écarter cet inconvénient, je n ai mesuré la hauteur des calottes qu'à partir des plans extérieurs des anneaux, c est-à-dire, pour chaque calotte, à partir d un plan perpendiculaire à Taxe de révolution , et s appuyant sur la surface de Tan n eau du côté qui regarde le sommet de la calotte. La quantité ainsi mesurée est évidemment égale à la hauteur totale moins la flèche des petits segments que nous avons considérés plus haut, et, par conséquent, d après la similitude entre ces petits segments et celui de la calotte, on a, pour déterminer cette flèche que nous désignerons par y, la

proportion - = 5^? ce qui donne, pour notre figure

liquide, /=0'"™,05, doù

Telle est donc, en définitive, la valeur théorique de la quantité qu il s'agissait de mesurer.

§ 43. Avant de rapporter les résultats que m ont donnés les mesures, je dois présenter ici quelques remarques importantes.

Si les densités du mélange alcoolique et de Thuile ne sont pas rigoureusement égales, la masse tend légèrement à monter ou à descendre, et la hauteur de lune des calottes est alors un peu trop grande, tandis que celle de l'autre est un peu trop petite ; mais on comprend que si leur diff^érence est minime , on obtiendra encore un résultat exact en prenant la moyenne entre ces deux hauteurs. On évite ainsi une partie des tâtonnements qu'exigerait l'établissement d'une égalité parfaite entre les deux densités.

Mais une chose à laquelle il faut donner de grands soins , c'est l'homogénéité de chacun des deux liquides.

Pour mêler plus aisément Thuile à Tàide de la spatule de fer, on effectue cette opération quand la masse n est encore attachée qu a lanneau inférieur.

§ 44. Afin d atténuer encore l'influence d une différence minime possible entre les deux densités, on na donné à la figure liquide quune hauteur assez petite. On a mesuré d abord, au cathétomètre , la distance comprise entre les sommets des deux calottes, puis on a mesuré, par le même moyen, la distance comprise entre les plans extérieurs des deux anneaux. La différence entre le premier et le second résultat donne évidemment la somme des deux hauteurs dont il faut prendre la moyenne, et, par conséquent, cette moyenne , ou la quantité cherchée h — y*, est égale à la moitié de la différence dont il s agit.

La mesure de la distance entre les plans extérieurs des anneaux exige quelques précautions particulières. D abord, comme les points des anneaux auxquels il faut viser ne sont pas tout à fait à la surface extérieure de la figure^ l'huile interposée entre ces points et Tœil doit produire des effets de réfraction qui introduiraient une petite erreur dans la valeur obtenue. Pour écarter cet inconvénient, il suffit de mettre les anneaux à nu, en faisant écouler les liquides du vase par le robinet (§4), ou au moyen d'un siphon , puis d'enlever les petites portions d'huile qui demeurent adhérentes aux anneaux , en promenant sur ceux-ci une petite bande de papier à filtre; il faut aussi absorber de la même manière les gouttes de liquide alcoolique qui restent attachées à la face interne de la paroi antérieure du vase. Il est inutile de dire que , pour effectuer ces opérations , on découvre une portion du haut du vase, et qu'après les avoir terminées, on replace la plaque couvercle bien exactement dans sa première position.

Voici maintenant les résultats que j ai obtenus : la distance entre les sommets a été trouvée d abord, en moyenne, par quatre mesures successives, égale à 76"*™, 79. Mais le liquide alcoolique ayant été alors agité de nouveau pendant quelque temps, afin que sa parfaite homogénéité fût plus certaine (1), deux nouvelles mesures prises immédiatement après ont donné, en moyenne, 77"'*",02.

La distance entre les plans extérieurs des anneaux s est trouvée en moyenne, du coté droit du système, de 57"»™,73, et, du côté gauche, de 57™™,86; prenant donc la moyenne de ces deux résultats, on a, pour la distance entre les centres des plans extérieurs, la valeur 57™", 79.

D après cela, si Ion part de la première des deux valeurs obtenues pour la distance des sommets, savoir 76™™,79, on trouvera :

et si Ion part du second résultat, savoir 77™™,02, on trouvera :

Ces deux hauteurs s écartent bien peu, comme on le voit, de la hauteur 9™™,41 déduite de la théorie (§ 42) : pour la première, la différence ne selève pas au centième de cette valeur théorique, et, pour la seconde, elle en surpasse à peine les deux centièmes.

(1) Si le liquide alcoolique n'est pas bien homogène , et que la figure se trouve dans une couche dont la densité moyenne est égale à celle de l'huile, les deux calottes peuvent se montrer égales, mais leur hauteur est trop petite ; en effet , l'huile qui forme la calotte supérieure est alors en contact avec un liquide moins dense qu'elle, et tend par conséquent à descendre, tandis que l'inverse a lieu pour l'huile qui forme la calotte inférieure. En établissant à dessein une hétérogénéité très- prononcée, et en employant les précautions convenables, on peut même réaliser un cylindre sensiblement régulier dont les bases sont tout à fait planes.

Ces légères différences provenaient sans doute de faibles restes d'hétérogénéité dans les liquides ; il est probable que, dans le premier cas, aucun des deux liquides n'était absolument homogène, et que les deux effets contraires qui résultaient de là (§ 30 et note du § actuel), se neutralisaient en partie, tandis que, dans le second cas, le liquide alcoolique étant rendu tout à fait homogène, l'effet de la petite hétérogénéité de l'huile se manifestait en entier.

Quoi qu'il en soit, ces mêmes différences sont l'une et l'autre assez minimes pour qu'on puisse considérer l'observation comme d'accord avec la théorie, dont elle offre, comme on voit, une confirmation bien remarquable.

§ 45. Avec des anneaux de 7 centimètres, on ne peut guère, dans notre vase, réaliser un cylindre dont la hauteur surpasse le double du diamètre. Pour avoir un rapport plus considérable, il suffit d'employer des anneaux plus petits, de 3 centimètres, par exemple ; mais, dans ce cas, on observe un phénomène singulier : si la hauteur qu'on veut, donner à la figure excède notablement le triple du diamètre des anneaux, on ne parvient plus, quelques soins que l'on prenne, à obtenir la forme cylindrique ; avant que celle-ci soit atteinte, la figure se sépare toujours spontanément en deux portions inégales qui demeurent respectivement attachées aux deux anneaux.

Pour faire ces expériences, le moyen le plus commode est de donner à la sphère d'huile un diamètre trop grand, de manière que, lorsque l'anneau supérieur est soulevé à la hauteur qu'on s'est proposée, la ligne méridienne de la portion de figure comprise entre les deux anneaux soit assez fortement convexe, puis d'essayer d'absorber l'excès d'huile. Seulement, comme l'introduction du bec de la seringue exige qu'on ménage une ouverture au

haut du vase, on fait en sorte que la figure liquide ne soit pas tout à fait dans Taxe de ce dernier, et qu ainsi la plaque couvercle se trouve un peu reculée. J avertis, dès à présent, que, toutes les figures qui me restent à décrire nécessitant lemploi de la seringue, il faut, à leur égard, recourir à la même disposition.

Maintenant, précisons d avantage ^e qui arrive quand la distance des deux anneaux l'emporte notablement sur le triple de leur diamètre : toujours, avant que la convexité méridienne ait disparu, on voit la figure liquide s amincir sur lune des moitiés de sa hauteur, tandis qu elle se renfle sur lautre moitié [Jig, 18) ; ces modifications Fig. 18. se prononcent de plus en plus, jusqu a ce que le milieu de la partie étranglée soit devenu très-mince ; alors la figure se désunit en ce point, et se trouve ainsi partagée en deux portions.

§ 46. On pourrait soupçonner que le phénomène est dû à un reste minime de diflFérence entre les dehsités des deux liquides ; mais, outre qu'il se produit invinciblement, comme je lai dit, quelque soin qu on ait apporté à régalisation des densités, il se produit de même quand

on dispose les choses de manière que Taxe de la figure soit horizontal , c'est-à-dire quand on comprend cette figure entre deux anneaux ou deux disques verticaux, placés en regard l'un de l'autre [jiq, 19) ; or, dans Fig. 19. ce dernier cas, si Taxe

est bien horizontal, une différence entre les densités ne

DK RKVOLITIOX : ( YlJNnKK.

peut éviilemment tendre à il^àerminer un trans|K>rt de l'huile en plus grande abondance vers Tune des bases.

De tout cela on doit conclure qu'un cylindre liquide dans lequel le rapport de la longueur au diamètre est notablement supérieur à 3, constitue une figure d'tHjuilibre instable. Je me borne, pour le moment, à signaler ce fait remarquable, qui sera étudié avec détail dans le chapitre IX.

Ainsi, quand on voudra réaliser un cylindiH> liquide, il faudra faire en sorte que le rapport entre la distance des anneaux ou des disques et leur diamètre ne dépasse pas 3. Ajoutons que lexpérience est l>eaucoup plus facile pour un cylindre horizontal que pour un cylindi*t> vertical, parce que, à Tégdrd du premier, une trace de différence entre les densités n a pas d'influence sensible sur la régularité de la figure. Pour réaliser celle-ci dans lappareil de la ^. 19, on attache dabord à la face interne de lun des disques, une masse d'huile dun volume supérieur à celui que doit comprendre le cylindre ; puis, àlaide dun anneau en fil de fer de même diamètre que les disques et porté par un fil de fer droit plus épais dont on tient à la main l'extrémité libre, on étire sans peine la masse jusqu'au second disque, auquel on la fait adhérer également ; on absorbe alors l'excès d'huile , jusqu'à ce que la figure soit exactement cylindrique.

Enfin, dans le cas d'un auditoire, on fera usage d'un système solide semblable au précédent, mais sans pieds, et soutenu dans une position renversée, comme celui de la^. 7 du § 21 , par un fil de fer de suspension ; do cette manière, on peut abaisser ou soulever l'ensemble dans le mélange alcoolique rendu légèrement hétérogène.

§ 47. Dans l'expérience du § 40, si l'on arrête l'anneau supérieur avant que la forme cylindrique soit atteinte,

la portion de figure comprise entre les deux anneaux, portion qui est toujours parfaitement symétrique autour de l'axe, n'appartient plus à la sphère, et n'appartient pas encore au cylindre ; elle fait donc partie d'une nouvelle figure d'équilibre de révolution. De même si, après avoir obtenu le cylindre exact, on soulève encore d'une certaine quantité l'anneau supérieur , la figure s'étrangle plus ou moins au milieu de sa hauteur, et, si l'on arrête alors l'anneau, elle demeure en cet état, sans cesser d'être de révolution; alors aussi, par conséquent, elle constitue une portion d'une figure d'équilibre différente de la sphère et du cylindre.

Pour arriver à déterminer ce que doivent être, dans ^ leur état complet, les figu-

res liquides auxquelles appartiennent les portions dont il s'agit, décrivons d'abord une expérience.

Prenons pour système , solide un cylindre en fer dune longueur assez consi- '"«■ '"■ dérable relativement au

diamètre, porté sur deux pieds en fils de même métal {fig. 20) ; supposons, par exemple, la longueur de 14 centimètres, et le diamètre de 2. Ce cylindre étant soigneusement frotté d'huile et introduit dans le vase, amenons en contact avec le milieu de sa longueur une sphère d'huile d'un volume convenatig. ti. ble. L'adhérence une fois éta-

blie, la masse liquide s'étend sur la surface du cylindre de manière à envelopper une portion de la longueur de

DE RÉVOLUTION : ONDULOÏDE. 79

celui-ci, perd sa forme sphérique, et constitue enfin une figure de révolution dont la ligne méridienne change de courbure en allant vers ses deux extrémités, pour devenir, en ces deux points, tangente à la génératrice du cylindre. ha, Jig. 21 représente la coupe méridienne de la figure liquide et du cylindre solide.

Mais nous savons que lorsque la masse liquide adhère à un système solide qui en modifie la forme, les seules parties de ce système d'où dépend la figure produite, sont les lignes très-étroites suivant lesquelles il est rencontré ou touché par la couche superficielle de la masse, en sorte qu'il peut en général se réduire à de simples fils de fer représentant ces mêmes lignes. Or, dans la figure dont il s'agit ici, la surface libre de la masse liquide touche notre cylindre solide suivant deux circonférences perpendiculaires à l'axe, et passant par les points a et b) rien n'empêche donc de concevoir le cylindre entier remplacé par deux anneaux représentant ces circonférences, c'est-à-dire ayant un diamètre extérieur égal à celui du cylindre, placés verticalement ea regard l'un de l'autre, et distants entre eux de l'intervalle ab. Seulement il faudra que la quantité d'huile soit plus grande, afin de suppléer au volume de la portion du cylindre supprimée à l'intérieur de la masse ; il faudra même encore un peu d'huile en sus, pour fournir la matière des deux bases qui s'appuient sur les anneaux, bases dont les surfaces seront , comme nous le verrons bien- __

tôt, des calottes sphériques "F^^^^^^^^^^^â* convexes. Du reste, pour éviter * ces dernières, qui compliqueraient inutilement la figure, on peut supposer des disques au lieu d'anneaux ; dans l'un

et lautre cas, la figure sera alors entièrement formée d'huile ; elle est représentée dans cet état, en coupe méridienne ou en projection verticale, par la Jig. 22; am et bn sont les coupes ou les projections des disques.

Nous dirons bientôt pour quell^îS raisons nous avons indiqué lemploi d un cylindre plutôt que celui de disques ou d anneaux.

§ 48. La figure que nous venons d obtenir, et dans laquelle la ligne méridienne s arrête aux points a eib où elle touche le cylindre solide (^. 21) , ou rencontre les bords des disques {Jiff. 22) , ne constitue évidemment qu une portion de la figure d'équilibre complète. Essayons donc de poursuivre la ligne méridienne , à partir de ces mêmes points ^ et 3 où ses éléments sont parallèles à Taxe.

Il est aisé de faire voir que les points â^ et 3 ne sont pas des points d'inflexion. En de semblables points, le rayon de courbure est nul ou infini ; mais puisque, dans nos lignes méridiennes, il ne peut être question d'un rayon de courbure nul, qui rendrait infini le premier membre de l'équation de l'équilibre, il faudrait supposer ce rayon infini aux points que nous considérons, et

l'équation s y réduirait à — = C ; or les points c et d

[Jig, 21) sont réellement des points d'inflexion de ce genre, comme le montre l'aspect de la figure , en sorte que l'équation de l'équilibre s'y réduit nécessairement à

— = C ; la normale N devrait donc avoir, aux points

a et 3, la même longueur qu'aux points c et Ay ce qui évidemment n'est pas : car d'abord les points c ei d sont plus éloignés de l'axe que les points a et 3, et, en outre, les normales qui partent des premiers sont obliques

DE RÉVOLUTION : ONDULOÏDE. 81

à Taxe , tandis que celles qui correspondent aux seconds lui sont perpendiculaires.

Au delà des points a et b la, courbe commence donc par garder une courbure de même sens quen deçà, c est-à-dire une courbure concave vers lextérieur (/^.23). Or supposons que, sur le prolongement partant de a, par exemple, cette courbure aille d abord soit en augmentant, soit en diminuant moins quelle ne diminue de l'autre côté de a; nous pourrons toujours prendre, sur le

Fig. 81.

prolongement dont il s'agit, une portion am assez petite pour qu en chacun de ses points, la courbure soit plus forte qu'aux points correspondants d une portion an de même longueur prise sur la première partie de la courbe. En vertu de la supériorité de courbure de tous les points de lare amy le point m est nécessairement plus éloigné de Taxe que le point n, et, en outre, la normale mr qui part du premier est plus oblique à Taxe que la normale n^ qui part du second ; la normale en 7n est donc, par cette double raison, plus grande que la normale en n. D'un autre côté, d'après la même hypothèse relative aux courbures, le rayon de

courbure en m est plus petit qu en n. Il résulte de là, qu'en sautant du point n au point m^ le premier terme de

la quantité ^ + 1^ â,ugmentera et le second diminuera.

Or, dans les parties de la courbe que nous considérons, le rayon de courbure et la normale sont opposés l'un à l'autre, et ont conséquemment des signes contraires, de

sorte que la quantité w + ^ constitue une différence ; si

donc l'un des termes de cette quantité croît tandis que l'autre décroît, elle ne peut conserver la même valeur, et l'équilibre est impossible.

Si l'on suppose que la courbure de l'arc am diminue au contraire plus, à partir de a^ que celle de l'arc an^ on conclura, par le même mode de raisonnement, que la

quantité j-=+— changerait aussi de valeur en passant de

l'une des parties de la courbe à l'autre.

L'hypothèse de courbures plus fortes ou plus faibles dans l'arc û^T» que dans l'arc an est donc incompatible avec l'équation de l'équilibre; il faut conséquemment, pour satisfaire à cette équation, que, sur le petit prolongement amy les courbures soient identiquement les mêmes que sur un arc an de même longueur pris en deçà de a. Or il est clair que cette identité entraîne celle de toute la partie de la courbe située au delà du point a avec la partie située en deçà. La portion de courbe comprise entre aeib {Jig. 21 et 22) se reproduira donc au delà de a, puis, par les mêmes raisons, se reproduira encore, et ainsi de suite indéfiniment, et il en sera de même de l'autre côté du point h y de sorte que la ligne méridienne sera une courbe ondulée s'étendant à l'infini le long de l'axe, dont elle se rapproche et s'éloigne périodiquement de quantités égales.

DE RÉVOLUTION : ONDULOÏDE. 83

La figure d'équilibre complète se prolonge donc à l'infini le long de l'axe, et se compose d'une suite régulière de renflements et d'étranglements égaux ; la fg. 24

en représente une coupe méridienne sur une certaine étendue.

Afin d'abréger le langage, nous donnerons à cette figure le nom à'Onduîdiâe, tiré de la forme de sa ligne méridienne.

§ 49. Il est aisé de comprendre comment l'équilibre peut exister dans une semblable figure, bien que, sur les parties renflées, les deux courbures principales soient convexes, tandis que, sur les parties étranglées, l'une des courbures principales, la méridienne, est concave, et l'autre convexe : c'est que, sur ces dernières parties, la courbure convexe ou positive est plus forte que la courbure concave ou négative, de manière que la courbure moyenne en chaque point est positive [§ 33), et égale à celle qui correspond aux différents points des parties renflées.

De ce que, dans l'onduloïde, la courbure moyenne est positive, il résulte nécessairement que toutes les fois que l'on réalisera une portion quelconque d'onduloïde entre deux anneaux, les bases qui s'appuieront sur ceux-ci seront des calottes aphériques convexes.

§ 50. Si, dans l'expérience du § 47, le volume de l'huile demeurant le même, on emploie un cylindre solide

M FIOUaES D'EQUILIBRK

d'un plus grand diamètre, la masse liquide s'étend davantage dans le sens de l'axe, et les courlmres méridiennes diminuent, de sorte que, dans la figure complète correspondante, les renflements et les étranglements sont moins prononcés. Les courbures méridiennes s'effacent ainsi d'autant plus dans la figure partielle, et, par suite, dans la figure complète, que le diamètre du cylindre solide est plus grand ; -d'où l'on voit que, dans ces variations, la figure complète tend vers la forme cylindrique, qui peut être considérée comme la limite de ces mêmes variations.

Si, le volume de l'huile demeurant toujours le même,

on emploie, au contraire, un cylindre solide d'un diamètre plus petit, la masse liquide se raccourcit dans le sens de l'axe, les courbures méridiennes augmentent, et la figure se rapproche de plus en plus d'une sphère ; lorsque, par exemple, pour une masse d'huile constituant primitivement une sphère de 6 centimètres de diamètre, on prend, comme cylindre solide, un fil de fer de deux millimètres d'épaisseur, la masse a déjà presque exactement la forme sphérique, et, si l'on se sert d'un fil très-fin, la ditTérence d'avec la forme sphérique devient

DE RÉVOLUTION : ONDULOÏDE. 85

tout à fait insensible. Maintenant, la figure complète variant de cette même manière dans toutes ses parties, les renflements et les étranglements y seront de plus en plus prononcés, et, à la dernière limite, on comprend qu elle consistera en une suite de sphères égales tangentes les unes aux autres sur Taxe.

Londuloïde complet peut donc varier de forme entre deux limites très-éloignées, qui sont, d une part, le cylindre, et, de lautre, une suite de sphères égales qui se touchent sur Taxe. La Jig. 25 représente deux onduloïdes dont lun diffère peu du cylindre, et dont lautre se rapproche de la série de sphères.

§ 51 . Mais Tonduloïde est susceptible d'un autre genre de variation, qui donne une troisième limite. Supposons un vase semblable au nôtre et de dimensions beaucoup plus grandes ; plaçons-y horizontalement, au sein du liquide alcoolique, un cylindre solide de deux centimètres de diamètre, par exemple, d une longueur considérable, et porté sur des pieds suffisamment élevés. Faisons adhérer à ce cylindre une masse d'huile qui produise une portion donduloïde pareille à celle de la^. 21, puis ajoutons une nouvelle quantité d'huile ; la figure augmentera alors en longueur en même temps qu en épaisseur ; mais poussons-la légèrement d un côté, de manière que lune de ses extrémités soit ramenée au même endroit qu'auparavant, et que l'autre seule se trouve reculée. Si nous ajoutons ainsi successivement de nouvelles quantités d'huile, en ramenant toujours la première extrémité de la figure à la même place, cette figure prendra de plus en plus d'épaisseur, et sa seconde extrémité reculera de plus en plus ; et comme nous pouvons imaginer le vase aussi grand et le cylindre aussi allongé que nous le voulons, rien ne met un terme à la possibilité théorique de l'accroisse-

ment de la figure en épaisseur ainsi qu'en longueur. Si donc nous supposons cet accroissement porté jusqu a l'infini, le sommet de lare méridien convexe et la seconde extrémité de la figure n'existeront plus, en sorte que la ligne méridienne ira en s'éloignant indéfiniment de l'axe à partir de la première extrémité ; et puisque celle-ci constitue, dans la figure complète, le cercle de gorge d'un étranglement, et que des deux côtés d'un étranglement tout est parfaitement symétrique (§ 48), on voit que la ligne méridienne complète se réduira à une simple courbe à deux branches infinies, comme la parabole, ayant son axe de symétrie perpendiculaire à l'axe de révolution ; par conséquent, la figure complète engendrée se réduira elle-même à un étranglement unique s'étendant indéfiniment de part et d'autre de son cercle de gorge. Nous connaîtrons bientôt d'une manière précise la nature de cette troisième limite de l'onduloïde.

§ 52. Revenons maintenant à lemploi de deux disques pour la réalisation de la portion d'onduloïde comprise entre les milieux de deux étranglements voisins (§ 47). Quand on essaie cette réalisation, en attachant aux deux disques une masse d'huile plus grande que celle qui doit constituer la figure, puis absorbant graduellement lexcès au moyen de la petite seringue, l'opération marche sans diflSculté tant que les éléments de la ligne méridienne qui aboutissent aux bords des disques s'écartent notablement du parallélisme avec l'axe ; mais lorsqu'ils sont près d'atteindre ce parallélisme, ou, en d'autres termes, lorsqu'on approche de la portion d'onduloïde que l'on veut obtenir, il faut agir avec plus de précaution, sans quoi la figure pourrait s'altérer spontanément et se désunir. En conduisant l'opération avec ménagement, et en n'enlevant, vers la fin, l'huile que par quantités fort petites,

DB RÉVOLUTION' : ONDULOÏDE: 87

on parvient, autant que l'œi] peut en juger, à la portion donduloïde cherchée \Jig- 22), portion qui varie de forme en se rapprochant ou en sëloignant du cylindre, suivant que te diamètre des disques est plus grand ou plus petit par rapport à leur distance ; mais alors la cause la plus légère , telle qu'un petit mouvement imprimé à la masse par le bec de la seringue, suffit pour déterminer l'altération grad uelle , puis la destruction de la figure : on voit celle-ci s'amincir près de l'un des disques, cet amincissement se prononce de plus en plus, l'huile se porte en plus grande quantité du côté de l'autre disque [jig. 26), et la masse finit par se séparer en deux parties.

De ce que, dans la figure ainsi obtenue, une altération occasionnée par une cause minime progresse ensuite spontanément, on doit inférer que la portion de l'onduloïde comprise entre le milieu d'un étranglement et celui de l'étranglement suivant est à la limite de la stabilité.

On comprend, d'après ce que nous venons d'exposer, jiourquoi , dans le Jî 47, nous avons prescrit l'adoption d'un cylindre comme système solide : avec des disques, il faut des tâtonnements et des soins particuliers pour arriver sans accidents jusqu'au point où les derniers éléments de la ligne méridienne sont ou paraissent parallèles à l'axe, tandis qu'avec le cylindre, la figure est parfaitement stable, et le parallélisme voulu s'établit de de lui-même. Mais il reste à expliquer comment la stabilité de la figure peut dépendre des deux circonférences suivant lesquelles la couche superficielle de la masse' touche le cylindre (ibid.). La chose est très-simple : dans le cas des disques, lorsqu'il arrive, comme nous l'avons

dit, que la figure s amincit spontanément d un coté, les éléments de la couche superficielle qui aboutissent au bord du disque près duquel cet effet a lieu, s'inclinent vers l'axe [Hg. 26); or, dans le cas du cylindre, les derniers éléments de la couche superficielle ne sauraient s incliner ainsi, puisqu'ils sont appliqués sur la surface du solide.

Cette explication suggère naturellement Tidée de substituer aux disques minces des disques épais, ou plutôt des portions de cylindre : car, en donnant d abord à la masse un volume suffisant pour que Thuile atteigne les bords des faces de ces derniers disques opposées à celles qui se regardent, puis en enlevant du liquide jusqu'à ce que les circonférences de contact se trouvent sur l'épaisseur de ces mêmes disques, la cause de stabilité ci-dessus indiquée existera évidemment tout aussi bien qu'avec un cylindre continu. Or c'est ce. que l'expérience confirme pleinement : les disques dont je me suis servi avaient chacun 15 millimètres de diamètre, et 8 d'épaisseur , et ils étaient maintenus à 90 millimètres l'un de

^1^ l'autre ; tout le systè- ^f\ me est représenté ^. 27. En faisant adhérer à leur ensemble une masse d'huile d'abord trop grande, enlevantensuitel'excès, et poussant légèrement la masse à droite ï'Jk- " ou à gauche avec le

bec de la seringue , de manière que les points d'où la ligne méridienne paraissait partir fussent à peu près à égale distance des deux bases de chaque disque, la figure pro-

DE RÉVOLUTION : ONDULOÏDE. 89

duite S est montrée parfaitement stable ; on a pu, en continuant à absorber de petites quantités d'huile, amener les extrémités de la ligne méridienne très-près des bords des bases solides en regard, sans que la figure perdît de sa stabilité, et ce n est que lorsqu'elles ont paru atteindre ces bords mêmes, que l'instabilité s'est manifestée.

§ 53. Puisque la portion d'onduloïde dont nous nous occupons se trouve déjà à la limite de la stabilité lorsqu'elle est formée entre deux disques minces, et qu'ainsi elle est libre dans toute son étendue à l'exception de ses seules bases, il serait inutile de chercher à réaliser une portion d'onduloïde également libre qui dépasserait de part et d'autre les milieux de deux étranglements, et l'on en conclura que l'onduloïde indéfini est, comme le cylindre indéfini, une figure d'équilibre instable.

§ 54. II est aisé de voir maintenant que les figures bombées qui s'obtiennent (§ 40) lorsque, après avoir attaché une sphère d'huile à deux anneaux horizontaux, égaux en diamètre et placés l'un au-dessus de l'autre, on soulève l'anneau supérieur d'une quantité moindre que celle qui donne à la masse la forme cylindrique, ne sont autre chose que des portions de renflements d'onduloïde ; seulement, quand on produit ces figures bombées par le procédé que nous venons de rappeler, elles sont placées de manière que leur axe soit vertical.

En effet, concevons un onduloïde réalisé au moyen de deux disques épais (§52), et conséquemment à l'état d'équilibre stable, et imaginons qu'on place, à des distances égales à droite et à gauche du milieu de cette figure, entre ce milieu et les disques épais , deux anneaux solides verticaux ayant leurs centres sur l'axe et leurs contours extérieurs précisément à la surface de la masse ; il est clair que ces anneaux ne détruiront pas l'équilibre

90 FIGURES D'ÉQUTLIBRE

de la figure ; or, si Ton suppose que les parties de la figure situées au delà des anneaux soient remplacées par des calottes sphériques convexes s appuyant sur ces derniers, et dont la courbure soit telle qu elle détermine une pression égale à celle qui appartient au reste de la figure, réquilibre existera évidemment encore, et il sera encore parfaitemerit stable , puisque la distance des anneaux est moindre que celle qui correspond à la limite de la stabilité. Mais alors, si les anneaux ne sont pas assez écartés pour que la portion de la ligne méridienne qui s'étend de Tun à Vautre contienne les points d'inflexion , il est visible que lensemble constituera lune des figures bombées dont il s'agit ; car, d après les différentes formes de londuloïde, la ligne méridienne de la portion comprise entre les anneaux peut varier depuis un arc de cercle ayant son centre sur Taxe, jusqu'à une ligne droite, comme dans cesmêmes figures bombées. Pour que celles-ci ne fussent point des portions d'onduloïde, il faudrait qu'entre les mêmes anneaux placés à une même distance l'un de l'autre, et avec une même masse d'huile, il y eût deux figures d'équilibre possibles, toutes deux à l'état stable ; or c'est ce que dément l'expérience : si, après avoir transformé une sphère d'huile en l'une des figures bombées en question, soit par l'augmentation de l'écartement des anneaux, soit par la soustraction d'une certaine quantité de liquide, on agite le mélange alcoolique de manière à imprimer à la masse d'huile des mouvements considérables, mais pias assez cependant pour la désunir, et qu'ensuite on la laisse revenir au repos, elle reprend toujours identiquement la même forme.

On voit également que, dans les expériences du § 52, la figure liquide, quand l'huile est encore en excès, constitue déjà aussi une portion d'onduloïde.

DE RÉVOLUTION : ONDULOÏDE. 91

§ 55. Passons aux figures que prend la masse quand récartement des anneaux excède celui qui correspond à la forme cylindrique.

Si, après avoir formé entre deux anneaux un cylindre vertical dont la hauteur soit beaucoup moindre que celle qui correspondrait à la limite del la stabilité, on soulève un peu lanneau supérieur, on voit le cylindre se creuser légèrement dans le sens méridien, de manière que la figure' présente un étranglement ; si Ion soulève encore lanneau, l'étranglement sapprofondit davantage, et la figure est toujours parfaitement symétrique de part et d autre du cercle de gorge, lequel est conséquemment situé au milieu de Tintervalle des anneaux. Si, dans le cylindre d où Ion est parti, le rapport entre la hauteur et le diamètre était convenable, on peut, en continuant ainsi, rendre letranglement très-prononcé ; et alors la ligne méridienne change le sens de sa courbure en allant vers les anneaux, en sorte quelle présente deux points d'inflexion situés à égale distance des deux côtés du cercle de gorge ; alors aussi les bases de la figure cpnservent leur forme convexe, et même leur courbure augmente plus ou moins. Dans cette expérience, il y a toujours, on le conçoit, une limite d'écartement des anneaux, au-delà de laquelle l'équilibre n'est plus possible ; si on la dépasse, l'étranglement s'amincit spontanément jusqu'à se rompre, et la figure se sépare en deux portions ; mais, pour tout écartement moindre que la limite dont il s'agit, l'équilibre est stable. Le cylindre qui m'a paru donner de la manière la plus prononcée les résultats ci-dessus, est celui dont la hauteur est au diamètre à peu près dans le rapport de 5 à 7 : en employant, par exemple, des anneaux de 70 millimètres de diamètre, il faut former un cylindre d'environ 50 millimètres de hauteur; l'anneau

œ FIGURES D'ËQUILIBRB

supérieur peut alors être soulevé jusqu'à ce qu'il soit distant de l'autre de près de 110 millimètres, et l'on obtient ainsi une figure dans laquelle le cercle de gor^e n'a qu'enviran 30 millimètres de diamètre.

1/expérience faite par ce procédé exige de grandes précautions : l'égalité des densités des deux liquides et l'homogénéité de l'huile doivent être parfaites, et, lorsqu'on approche de la limite d'écartement des anneaux, il faut agir avec beaucoup de ménagement. Mais on réussit sans difficultS, en disposant les choses de manière que l'axe de révolution soit horizontal : les anneaux de 70 millimètres, qui sont alors verticaux, doivent être placés d'avance à la distance de 110 millimètres l'un de l'autre ; chacun d'eux est fixé, par sa partie inférieure, à un fil de fer vertical, et ces fils sont fixés eux-mêmes, par leurs extrémités inférieures, à une planchette en fer qui supporte tout le système ; enfin ces mêmes fils sont entourés de coton, pour que l'huile ne s'y attache pas (§ 9). On forme d'abord un cylindre entre les deux anneaux"), puis on diminue graduellement le volume de la masse àl'aide de la petite seringue. Si, lorsque le cercle de gorge n'est Pig, „ plus que d'environ 30 millimè-

tres, on a soin de n'enlever l'huile que par trè&-petites portions à la fois, on parvient à réduire ce diamètre à 27 millimètres, et l'on obtient ainsi le résultat représenté jig. 28.

Or il est évident que toutes ces figures étranglées et

(1) On efTectue cetta opération par le moyen indiqua »u % 46, c'est-àdire en attachant d'abord la masse à l'un des anneaui flxen, puis l'étinmt vera l'autre à l'aide d'un anneau mobile de même diamètre, et enlln absorbuit l'excès d'huile.

DE RÉVOLUTION : CATÉNOÏDE. 9:i

à bases convexes', figures qui peuvent, comme celles que nous avons étudiées dans les paragraphes précédents, s écarter aussi peu du cylindre qu on le veut, sont encore des portions donduloïde, mais prises autrement dans londuloïde indéfini : tandis que le milieu des unes est occupé par Téquateur d'un renflement, le milieu des autres est occupé par le cercle de gorge d'un étranglement ; les plus étendues des premières se composent d un renflement entier entre deux demi-étranglements {Jig, 21 et 22), et celle que représente la^. 28 se compose d'un étranglement entier entre deux portions de renflements. § 56. Maintenant reprenons nos anneaux horizontaux, afin de pouvoir placer à volonté lanneau supérieur plus près ou plus loin de l'autre ; formons encore un cylindre entre eux, puis, sans changer leur distance, enlevons graduellement de l'huile à la masse. Si le rapport de la distance des anneaux à leur diamètre est beaucoup moindre que dans la dernière expérience du paragraphe précédent, la courbure des bases, au lieu d'aller en augmentant à mesure que l'étranglement s'approfondit, va, au contraire, en diminuant ; et si ce rapport ne dépasse

pas ^ environ, on arrive à rendre les bases absolument

planes. Pour un rapport moindre encore, on peut même aller plus loin : en continuant à absorber du liquide, on voit les bases devenir concaves : formons, par exemple, entre nos anneaux de 70 millimètres de diamètre, un cylindre de 35 millimètres de hauteur ««• "

[Jig. 29) ; par l'absorption graduelle de l'huile, nous verrons les bases s'aflFaisser de plus en plus en même temps que l'étranglement se creuse, et perdre enfin toute leur courbure, et nous aurons ainsi le résultat repré-

sente Jig. 30. Si nous continuions à faire agir la petite seringue, les bases prendraient une courbure concave ;

mais, pour le moment, arrêtons-nous

lorsqu'elles sont planes.

Avec de telles bases, Tétranglement Fig. 30. compris entre les anneaux ne peut plus

(ij 49) appartenir à londuloïde, et nous parvenons conséquemment à une nouvelle figure de révolution. Cherchons donc ce qu est cette nouvelle figure dans son état complet.

Les bases de notre figure partielle étant planes, et conséquemment à courbure moyenne nulle (§2), l'équilibre exige que la surface de la portion comprise entre les deux anneaux, et, par suite, celle de tout le reste de la figure complète, soit aussi à courbure moyenne nulle ;'

il faut donc qu'on ait partout w + î^ = 0> ^^^ ^ = — ^ '

et comme les quantités M et N peuvent être considérées comme appartenant toutes deux à la ligne méridienne (§ 36), cette ligne doit être telle qu'en chacun de ses points, son rayon de courbure soit égal et opposé à la normale. Or les géomètres ont démontré que la seule courbe qui jouisse de cette propriété est la cJuttnettei^) . La courbe tourne alors son sommet vers l'axe auquel on rapporte les normales, la droite qui la partage symétriquement en deux parties égales est perpendiculaire à cet axe, et le sommet de la courbe est distant de celui-ci d'une quantité égale au rayon de courbure de ce même sommet.

(1) La chaînette est, comme on sait, la courbe que forme, dans Tétat d'équilibre, une chaîne pesante et parfaitement flexible suspendue à deux points fixes.

DE RÉVOLUTION : CATÉNOÏDK. 95

Notre figure est donc, dans son état complet, celle qui

serait engendrée par la révolution d'une chaînette ainsi

placée par rapport à l'axe. Nous lui donnerons, d'après

cela, le notn de Catéyufide ; la^. 31 en représente une coupe méridienne assez étendue, dans laquelle l'axe de révolution est ZZ'.

La chaînette étant une courbe à branches infinies, le caténoïde s'étend donc encore à l'infini, comme le cylindre etl'onduloïde, mais non plus seulement dans le sens de l'axe.

11 est à peine nécessaire de faire remarquer que si, dans notre caténoïde partiel réalisé, la surface courbe comprise entre les anneaux exerce la même pression que les bases planes, c'est que, dans cette surface courbe, la courbure moyenne, c'est-à-dire (§ 2) la moyenne entre toutes les courbures positives et négatives autour d'un même point, étant nulle, son influence sur la pression est également nulle, de sorte que cette pression demeure la même que s'il n'y avait aucune courbure. Nous avons déjà vu un cas analogue à la fin du § 31 .

§ 57. En vertu du principe qui termine le § 2, on peut concevoir deux caténoïdcs d'aspects différents, savoir celui de la^. 31 , dans lequel le liquide remplit l'espace que

la chaînette en tournant laisse entre elle et l'axe, et un

autre dans lequel le liquide occupe l'espace embrassé par

la courbe. La^. 32 représente une coupe méridienne de ce dernier.

§ 58. Dans l'expérience du § 56, on n'arrive, comme nous l'avoDS dit, à rendre planes les bases de la figure, que lorsque l'écartement des anneaux n'excède pas les q environ de leur diamètre. Nous reviendrons (§ 62) sur

cette expérience ; mais nous insisterons dès à présent sur une conséquence importante qui s'en déduit immédiatement : on doit en conclure , en effet , que , pour des anneaux d'un diamètre donné, il y a un maximum d'ëcartement au-delà duquel aucune poi-tion de caténoïde n'est plus possible entre eux. Nous allons montrer que ce résultat est d'accord avec la théorie , et nous serons conduit en même temps à un nouveau résultat.

On a vu que la chaînette génératrice doit satisfaire à cette condition, que le rayon de courbure de son sommet soit égal et opposé à la droite qui mesure la distance de ce sommet à l'axe de révolution. Cela étant, concevons, dans un plan méridien, une droite perpendiculaire à l'axe

DE REVOLUTION : CATÉNOÏDE. »7

de révolution, et représentant Taxe de symétrie des chaînettes, puis une seconde droite paraUèle à Taxe de révolution et distante de celui-ci d'une quantité égale au râvon des anneaux. Dans les divers écartements de ces derniers, leurs centres demeureront sur Taxe de révolution, et leurs contours s appuieront toujours sur la seconde droite ci-dessus, que, pour abréger, nous appellerons la droite des anneaux. Imaginons enfin, dans le même plan, une chaînette génératrice ayant son sommet au point où la droite des anneaux est coupée par l'axe de symétrie dont nous avons parlé. Cette chaînette sera tangente en ce point à la droite en question, et ne pourra conséquemment s'appuyer sur les anneaux que lorsque les contours de ceux-ci passeront par le point de tangence, ou, en d'autres termes, lorsque la distance mutuelle des deux anneaux sera nulle (^); la chaînette dont il s'agit correspond donc au cas d'un écartement nul des anneaux. Maintenant supposons que la courbe quitte cette position et marche graduellement vers l'axe de révolution, en se modifiant de manière à satisfaire toujours à la condition d'égalité entre le rayon de courbure de son sommet et la distance de ce sommet à Taxe; dans chacune de ses nouvelles positions, elle coupera la droite des anneaux en deux points, que nous désignerons par A et B. La distance de ceux-ci représentera donc, dans chacune de ces mêmes positions, récartement des anneaux, et la chaînette correspondante représentera la ligne méridienne d'un caténoïde dont les anneaux comprendraient une portion entre eux. Cela posé, examinons quelle est la marche des points A et B.

(1) Nous regardons ici, pour simplifier, les anneaux comme formés de fils sans épaisseur.

Dans la position initiale de la chaînette, c est-à-dire lorsque son sommet est tangent à la droite des anneaux, les points A et B sont confondus au point de tangence; puis, lorsque le sommet de la courbe commence à marcher vers Taxe de révolution, ces deux points se séparent et s éloignent progressivement l'un de lautre. Or je dis que leur distance mutuelle atteindra un maximum, après lequel elle ira, au contraire, en décroissant. En effet, d après la condition à laquelle la chaînette est astreinte, quand son sommet sera arrivé très-près de l'axe de révolution, le rayon de courbure de ce sommet sera devenu très-petit, d où il suit que les deux branches de la courbe seront très-rapprochées, et que, par conséquent, les deux points A et B seront aussi trèsvoisins l'un de l'autre; enfin quand le sommet sera sur l'axe, ces mêmes points seront de nouveau réunis en un seul, puisque alors le rayon de courbure du sommet sera nul, et qu'ainsi les deux branches de la courbe ne feront plus qu'une seule ligne droite confondue avec l'axe de symétrie. Les points A et B qui, partant de la coïncidence, vont d'abord en s'écartant, se rapprochent donc ensuite, jusqu'à coïncider enfin une seconde fois; d'où il suit nécessairement que la distance mutuelle de ces deux points atteint un maximum ; en outre, on voit aisément, d'après la nature de la courbe, que ce maximum doit être fini, et même ne peut être considérable relativement au diamètre des anneaux.

Il est évident que, dans son trajet jusqu'à l'axe de révolution, la courbe a passé par tous les cas qui, avec les anneaux donnés, peuvent convenir à l'équilibre ; le maximum ci-dessus constitue donc une limite d'écartement des anneaux, au delà de laquelle il n'y a plus de caténoïde possible entre eux.

DE RÉVOLUTION : CATÉNOÏDB, 99

Mais ce qui précède nous fournil une autre conséquence également remarquable. Puisque , pendant le trajet du sommet de la chaînette, les points A et B seloignent d abord l'un de l'autre pour se rapprocher ensuite, ils repassent nécessairement par les mêmes distances, de sorte que, pour chaque distance inférieure à la limite, ils appai*tiennent à la fois à deux chaînettes; or il résulte de là qu'à tout écartement des anneaux moindre que l'écartement maximum , correspondent toujours deux caténoïdes distincts s'appujant sur ces anneaux, mais pénétrant inégalement entre eux. On voit sans peine que les sommets des deux chaînettes génératrices, sommets qui, pour un écartement nul, sont l'un au contour commun des anneaux en contact, l'autre sur Taxe de révolution, se rapprochent de plus en plus à mesure que l'écartement augmente, et coïncident enfin, ainsi que les deux courbes tout entières, quand cet écartement atteint son maximum. Les deux caténoïdes différeront donc d'autant moins que l'écartement des anneaux sera plus grand, et n'en feront plus qu'un à la limite.

§ 59. Toutes les chaînettes sont, comme on sait, semblables entre elles ; or si l'on conçoit une suite de caténoïdes complets engendrés par des chaînettes de différentes dimensions, toutes ces chaînettes seront aussi, d'après la condition à laquelle elles doivent satisfaire (§ 56), semblable ment placées par rapport à l'axe de révolution, et conséquemment tous les caténoïdes seront des figures semblables.

Le caténoïde complet n'est donc pas susceptible de variations de forme comme londuloïde, mais constitue une figure unique, comme la sphère et le cylindre.

Ainsi les deux caténoïdes complets qui, théoriquement, s appuient sur les mêmes anneaux, quand Técartement

de ceux-ci est au-dessous de la limite, ne diffèrent lun de Vautre que par leurs, dimensions homologues absolues.

§ 60. Des deux caténoïdes partiels appartenant à ces deux caténoïdes complets et également possibles, d après la théorie, entre les anneaux, notre procédé donne nécessairement le moins rentré ; et si Ion essaie ensuite d'arriver au plus rentré en enlevant de nouvelles quantités d'huile à la masse, cest toujours, comme nous le verrons bientôt, une autre figure d'équilibre qui se produit; or, de l'impossibilité de réaliser ce caténoïde partiel le plus rentré, on peut légitimement conclure qu'il constituerait une figure d'équilibre instable.

Quant au moins rentré, il forme évidemment une portion d'autant plus étendue du ' caténoïde complet que l'écartement des anneaux est plus près du maximum; car, à mesure que les anneaux sont plus écartés, l'arc de la chaînette qu'ils interceptent entre eux est (§ 58) une portion plus considérable de la courbe. Pour avoir un caténoïde partiel plus étendu par rapport au caténoïde complet, il faudrait que la chaînette pénétrât plus avant entre les anneaux ; mais dès lors, de quelque petite quantité que le sommet de la courbe avançât, l'écartement des anneaux diminuerait (ihid.)y il y aurait une autre chaînette possible, moins rentrée, et s'appuyant sur les mêmes anneaux, et le caténoïde partiel engendré par la première étant le plus rentré, il serait instable. Le caténoïde de plus grande hauteur constitue donc la portion la plus étendue du caténoïde complet que Ion puisse réaliser entre deux anneaux égaux.

Signalons ici une autre conséquence à laquelle ce qui précède semble conduire, et qui serait en opposition avec les faits : pour tout écartement inférieur au maximum, le caténoïde le moins rentré se montre toujours parfai-

DE RÉVOLUTION : CATÉNOÏDE. 101

tement stable, et, ainsi qu'on la vu ci-dessus, le plus rentré doit être regardé comme étant toujours instable ; or le caténoïde de plus grande hauteur forme, on vient aussi de le voir, le passage entre les caténoïdes de la première catégorie et ceux de la seconde, et, par suite, entre les caténoïdes stables et les caténoïdes instables ; on peut donc se croire en droit d'admettre que le caténoïde de plus grande hauteur est à la limite de la stabilité de ce genre de figure ; et cependant, quand on le réalise avec une masse d'huile (^ 62), il manifeste une stabilité trèsdécidée. Nous saurons, dans le chapitre où nous traiterons les questions de stabilité, à quoi tient cette apparente contradiction.

§ 61. — Il est aisé de voir que la troisième limite des variations de londuloïde, limite dont nous avons parlé au § 51 , n'est autre chose que le caténoïde. En effet, en faisant varier Tonduloïde partiel de la manière indiquée dans ce même paragraphe, il est clair qu'à mesure que l'on augmente le volume de la masse, la normale et le rajon de courbure relatifs au sommet de l'arc méridien convexe vont en croissant, et deviennent infinis en même temps que ce volume ; d'où il suit qu'à cette limite la

quantité w+î^ ^st nulle, ce que nous savons être le

caractère du caténoïde.

La quantité t? + Vr convergeant ainsi vers zéro à

mesure que l'onduloïde approche du caténoïde, la pression exercée par la couche superficielle converge en même temps vers celle d'une surface plane ; si donc Ion conçoit, entre deux anneaux, un étranglement appartenant à un onduloïde, et si l'on imagine que cet onduloïde marche par degrés vers le caténoïde, les bases de la

figure, bases dont la pression doit toujours être égale

à celle de Tétranglement, deviendront nécessairement

de moins en moins convexes, et seront enfin tout à

fait planes. Or cest ce que réalise évidemment lex-

périence du § 56 : lorsque, après avoir formé entre

deux anneaux un cylindre dont la hauteur ne dépasse

pas les 5 du diamètre, on lui enlève graduellement

du liquide et que les bases s'affaissent peu à peu jusqu a perdre toute leur courbure, l'étranglement qui se produit et s'approfondit au fur et à jnesure, appartient, on le comprend, à un onduloïde qui tend vers sa troisième liiùite, et l'expérience en question nous fait ainsi assister au passage progressif de l'onduloïde au caténoïde.

Si nous réunissons ce qui précède au contenudu § 55, nous pourrons légitimement en déduire cette conclusion : tout étranglement s appuyant sur deux anneaux et présentant des bases convexes est un étranglement d'onduloïde, que la courbure des bases soit supérieure, égale ou inférieure à celle des bases du cylindre qui serait compris entre les mêmes anneaux.

§ 62. J'ai cherché à déterminer expérimentalement, au moins d'une manière approchée, le rapport maximum entre la hauteur et le diamètre des bases. Le diamètre extérieur des anneaux employés était de 71 millimètres. Dans chacun des essais, on a commencé par former un cylindre entre ces anneaux, puis on a enlevé de l'huile à la masse par seringues pleines d'abord, et ensuite par petites portions ; on interrompait de temps à autre l'opération pour observer la figure. On a trouvé, de cette manière, que le plus grand écartement des anneaux pour lequel on pût obtenir une figure à bases planes.

DE REVOLUTION : NUDOIDE. 103

était de 47 millimètres, cest-à-dire sensiblement les ^

de 71. Nous pouvons conclure delà que la hauteur rnavima du caténoïde partiel est, soit exactement, soit

à fort peu près, les ^ du diamètre des bases. Ce caténoïde est représenté^. 33.

Ces expériences ont présenté des particularités curieuses, dont la description trouvera sa place dans le chapitre IX.

Nous terminons ici lëtude de Tonduloîde et du caténoïde, et nous allons passer à celle d'une autre figure encore. *"** "'

§ 63. Cette autre figure, nous en avons déjà entrevu une portion : c'est l'étranglement à bases concaves dont nous avons parlé au § 56, étranglement qui, j\ir la nature de ces bases, est étranger à l'onduloïde et au caténoïde. Pour le réaliser, il faut, comme nous l'avons

dit, que la distance des anneaux soit inférieure aux ^

du diamètre; la fiff. 34 représente, en coupe méridienne, un semblable étranglement, pour une ^j^^^^^^a distance des anneaux égale au tiers envi- JH^^^^^n^ ron du diamètre, et lors(|ue les bases se sont Fi«, av.

déjà fortement creusées; les lignes ponctuées sont les coupes des plans des anneaux. Essayons maintenant, ainsi que nous l'avons fait à Fégard des deux figures précédentes, de déterminer la forme complète de la ligne méridienne. Présentons d'abord quelques remarques. En premier lieu, supposons que le rapport entre la distance et le diamètre des anneaux soit suffisamment au-dessous

de ^ pour permettre d'extraire une grande quantité de

liquide sans qu'on puisse craindre d'occasionner la désunion. Dans ce cas, Tétranglement et les bases se creusant à la fois de plus en plus, on comprend qu'il doit arriver un instant après lequel leurs surfaces ne pourraient plus coexister sans se couper mutuellement. On saura, dans le chapitre VI, ce qui se passe alors; mais on voit, dès à présent, que si Ion veut observer l'étranglement dans toutes les phases où il appartient à la nouvelle figure d'équilibre, on doit mettre obstacle au creusement des bases, et c'est à quoi l'on parvient sans peine en substituant des disques aux anneaux; on peut alors enlever de l'huile jusqu'à ce que la figure se désunisse spontanément au milieu de sa hauteur. Les disques que j'ai employés ont, comme les anneaux, 70 millimètres de diamètre ; l'inférieur est porté sur trois pieds plus solides que ceux des anneaux, et partant de points situés entre le bord et le centre ; le supérieur est soutenu par un fil de fer suffisamment épais fixé normalement à son centre.

En second lieu, l'étranglement, qu'il soit creusé entre des anneaux ou poussé plus loin entre des disques, se montre toujours parfaitement symétrique de part et d'autre de son cercle de gorge. C'est d'ailleurs ce que veut la théorie, car le mode de raisonnement du § 48 est indépendant de la nature de la ligne méridienne, et s'applique ainsi à l'étranglement dont nous nous occupons aussi bien qu'à un étranglement d'onduloïde. Si donc, dans un plan méridien, on conçoit une droite perpendiculaire à l'axe de révolution et passant par le centre du cercle de gorge, tout ce que la ligne méridienne complète offrira d'un côté de cette droite, elle l'offrira aussi, d'une manière exactement symétrique, de l'autre côté, en sorte que cette même droite constituera un axe de symétrie.

DE RÉVOLUTION : NODOÎDE. 106

En troisième lieu, puisque, en employant des anneaux, les bases de la figure partielle sont des calottes sphériques concaves et ont conséquemment une courbure moyenne négative, il doit en être de même de la surface de rétranglement, et, par suite, de celle de tout le reste de la figure complète ; ainsi, dans cette figure complète,

la quantité w + ï^ ^^^ partout négative.

§ 64. Ces préliminaires posés, je dis que les points a et b [Jig, 34) où s'arrête la ligne méridienne partielle, ne peuvent, dans la ligne méridienne complète, être des points d'inflexion.

On voit, en effet, d après la direction de la tangente en ces points, que si la ligne méridienne prenait à partir de là une courbure de sens contraire {Jig. 35), le rayon de courbure serait, dans cette partie de la figure, dirigé à Tintérieur du liquide comme »« s».

la normale, et qu'ainsi la quantité =rj -f — deviendrait

positive.

Au delà des points ûj et i, la ligne méridienne commence donc par garder une courbure concave ; et le même sens de courbure se maintient évidemment pour la même raison, tant que la courbe va en s'éloignant à la fois de l'axe de révolution et de l'axe de symétrie. Mais la courbe ne peut continuer indéfiniment à s'éloigner de ces deux axes : en efi'et, si telle était sa marche, il est clair que la courbure devrait diminuer de manière à s'annuler, dans chacune des deux branches, au point situé à l'infini, en sorte qu'en ce point le rayon de courbure aurait une valeur infinie; et comme il en serait évidemment de

même de la normale , la quantité tt + ^ deviendrait

nulle à cette limite.

Il faut donc de toute nécessité qu a une distance finie de son sommet, la courbe ait deux points dans lesquels ses éléments soient parallèles à Taxe de symétrie , et c est ce que lexpérience confirme, ainsi que nous allons le voir.

§ 65. Si Ion emploie des disques, qu'on les place à une distance égale au tiers environ de leur diamètre, et que Ton pousse suffisamment loin l'absorption du liquide, l'angle compris entre les derniers éléments de la surface de la masse et le plan de chacun des disques

diminue jusqu'à s'annuler complètement, de manière que cette surface est alors tan- Fjg. 36. gente aux plans des disques [Jig, 36), et qu'ainsi les -derniers éléments de la ligne méridienne sont parallèles à l'axe de symétrie. Il est fort difficile de juger du point précis où ce résultat est atteint ; mais on s'assure qu'il se produit réellement, en continuant à enlever du liquide : on ne tarde pas, en effet, à voir les circonférences qui terminent la surface de la masse abandonner les bords des disques, se retirer, en diminuant de diamètre, à une certaine distance en dedans de ces bords, et laisser fibre une petite zone de chacun des plans solides; or, comme ces zones demeurent nécessairement mouillées d'huile, bien qu'en couche excessivement mince , il est clair que la surface de la masse doit y aboutir tangentiellement.

* Si l'écartement des disques est moindre encore, on

"^^■V obtient un résultat de même nature ; seu-

Fig. 37 lement on peut, avant qu'il y ait désunion

spontanée au milieu de la figure, rétrécir davantage

DK RÉVOLCTIOX : NODOÏDE.

KC

les circonférences de contact, ou, en dautres termes, augmenter la larçreur des zones liVres (^/fy. 37).

§ 66. La raison donnée dans le § 64 pour établir l'absence d'une inversion de courbure tant que la courbe s'éloigne à la fois de Taxe de révolution et de Taxe de symétrie, subsiste évidemment encore aux points que nous venons de considérer, c est-à-dire à ceux où les éléments sont parallèles à ce dernier axe ; d'où il résulte que la courbe se rapproche ensuite de celui-ci, en conservant le même sens de courbure, comme le montre la ^. 38, où la courbe est dessinée sur une plus grande échelle que la portion comprise dans la^. 36, et où f»» »•

Taxe de symétrie est représenté par la droite XX'.

Et tant que ces prolongements de la courbe continuent à s'éloigner de Taxe de révolution, le sens de la courbure doit encore demeurer le même. Supposons, en effet, qu il change, en /et en ff par exemple {/ff. 39) ; alors, du point y^ à un point tel que w situé un peu au de- i"'»- *••

là, le rayon de courbure et la normale auraient, on le voit,

des directions opposées, en sorte que la quantité r? -1- fj

serait une différence ; or, de / en m, la normale irait évidemment en croissant, puisque, d une part, la distance

à Taxe de révolution augmente, et que, d autre part, cette normale aurait une obliquité de plus en plus grande ; il faudrait donc, pour que la différence ci-dessus demeurât constante, que le rayon de courbure allât aussi en croissant de J^ en m ; mais c est précisément le contraire qui aurait lieu ; car, à cause de l'inflexion, le rayon de courbure serait infini en fy et conséquemment ne pourrait que diminuer à partir de là. Il est inutile de faire remarquer que ce que nous venons de dire s applique également au point y.

Voyons maintenant si, avant d'atteindre Taxe de symétrie , la courbe peut présenter deux points tels que  et A [jîg. 40) où ses éléments soient perpendiculaires à cet axe.

Pour cela, examinons à quelles conditions doit sar tisfaire la courbure depuis le sommets jusqu'aux points h et ky et il suffira de considérer l'arc snh. Soit n le point où l'élément de la courbe est parallèle à l'axe de symétrie. De s en n, le rayon de courbure et la normale ont évidemment des directions contraires, et la quantité

rr + Vt constitue une différence ; donc, d'un point à un

autre de cet arc, les quantités M et N doivent varier dans le même sens ; et comme la normale va en augmentant du point s au point it, le rayon de courbure doit aller de même en augmentant; d'où il suit que, de s en it, la courbure va en décroissant. Plus loin, c'est-à-dire de ^ en A, on voit que le rayon de courbure et la normale sont dirigés du même coté, do

Fig. 40.

DK RÉVOLITION : XODOÏDK, U^

manière que les deux termes de la quantité ^ f y; Sinit

de même signe, et qu'ainsi, d un |x>int à un au!rt\ U^ quantités M et N doivent varier en sens opjH^sè : or. ilt\s quon s'écarte de n sur Tare n^, la normale commence par diminuer, puisque, au point n^ elle est intinie; donc le ravon de courbure commence pî\r augmenter^ ou, en d'autres termes, la courbure va d alK>rd en diminuant, et, quelle que soit sî\ marche ultérieure, elle sera toujours, en tous les points de Tare fiA, plus faible qu'en n, puisque en tous ces points la nornuUe est tin le, et, par suite, moindre qu'en n. Mais nous savons quo la courbure va en croissant de n en s; donc, dans toute rétendue de Tare nh^ la courbure est moindre qu*en aucun point de l'arc 7is.

Cela posé, menons la droite hr parallèle à l'axe de symétrie, puis construisons, à partir du point w, un arc nt exactement symétrique à Tare nr. Dans toute la longueur de lare nh la courbure sera, en vertu de ce qui précède, moindre qu'en aucun des points de lare nt; doù il suit que ce dernier arc sera entièrement intérieur au premier ; or lare nt al)0utit on ^ à la droite hr par un élément qui fait nécessairement, avec la partie tr de cette droite, un angle aigu ; donc, pour que lare nh, qui part de n dans la môme direction que lare ni, aboutît normalement, en à, à la (lroit(î Ar, il faudrait qu après s être éloigné de l'arc nt, il allât ensuite en s en rapprochant, ce qui est évidemment impossible par suite de Tinfériorité de la courbure en tous ses points; on voit même qu'il doit couper la droite hr sous un angle plus aigu que ne le fait l'arc nt.

Ainsi la courbe, en s'abaissant, à partir de n, ver» Taxe de symétrie, ne peut cesser de s'éloigner de l'axe

de révolution ; et puisqu'elle ne peut d'ailleurs changer le sens de sa courbure, il faut nécessairement qu'elle aille couper l'axe de symétrie; enfin on comprend que, par suite encore de la condition qui régit ses courbures, elle doit couper cet axe obliquement, en sorte que nous arrivons à cette conclusion , qu'elle forme un nœud (>• 41).

Noua allons vérifier l'existence de ce nœud à l'aide de l'expérience ; si nous n'avons point commencé par là, c'est qu'il fallait d'abord démontrer qu'en pa^ tant d'un étranglement pour lequel la courbure moyenne est négative, il n'y a pas d'autre forme possible delaligneméridienne.

i 67. Les étranglements réalisés dans les expériences du § 65 étant engendrés par une portion du nœud de la ligne méridienne complète, il est visible que la figure engendrée par le nœud tout entier, depuis le sommet de celui-ci jusqu'à sa pointe, serait en creux dans l'intérieur de l'huile ; mais, comme nous le savons (§ 2), il est indifférent, pour l'équilibre, que le liquide soit situé d'un côté ou de l'autre de la surface; on peut donc également bien supposer pleine et en relief la figure engendrée par le nœud, et c'est dans ce dernier état que notre expérience va la réaliser. Seulement lorsque le liquide est transporté de ce côté de la courbe, les quantités M et N changent à la fois de signe, et

conséquemment la quantité '

était, devient positive.

DE RÉVOLUTION : NODOÏDE. 111

On forme, dans un anneau en fil de fer, une lentille liquide bi-convexe (§ 19), dont Tépaisseur soit à peu près égale au sixième du diamètre : par exemple, avec un anneau de 70 millimètres de diamètre, 1 épaisseur de la lentille doit être d'environ 12 millimètres. Si Ion perce normalement cette lentille en son milieu par un moyen que nous indiquerons plus bas, on obtient une figure annulaire régulière, limitée extérieurement par lanneau solide, et qui persiste pendant deux ou trois secondes, après quoi Ion voit louverture centrale marcher vers un point de lanneau solide, puis la masse se désunir en ce point, et tout le liquide refluer vers la partie opposée de lanneau, pour y former une grosse masse sensiblement sphérique. Or la figure annulaire momentanée qui se forme dans ces circonstances est, bien qu'instable, une figure d'équilibre, puisqu'elle se maintient pendant quelques instants, et sa durée est assez grande pour que l'on puisse constater que sa coupe méridienne a la forme représentée par la iig, 42, dans laquelle la ligne ponctuée est la ^^k..

coupe du plan de l'anneau. Cette coupe Fig. 42?

méridienne montre évidemment que la surface de la figure produite est engendrée par un nœud ayant son sommet tourné vers l'axe de révolution et sa pointe à l'anneau solide.

Arrêtons-nous quelque peu sur les détails de l'expérience que nous venons de décrire, et sur certaines modifications de cette même expérience. Pour percer la lentille, il faut employer un petit cylindre de bois terminé en pointe à l'une de ses extrémités, et fixé, par son autre extrémité, à un fil de fer que l'on recourbe obliquement de manière qu'en le tenant à la main, on puisse introduire le petit cylindre dans le vase, et percer

normalement la lentille. Si le diamètre de T anneau solide est, comme nous lavons supposé plus haut, de 70 millimètres, celui du petit cylindre doit être denviron 16 millimètres; le cylindre et sa pointe doivent être recouverts d étoffe de coton, afin d'empêcher toute adhérence de rhuile.

Si Ion donne à la lentille une épaisseur qui surpasse notablement le sixième du diamètre de lanneau solide, le liquide revient sur lui-même aussitôt qu on retire le petit cylindre, et la masse reprend sa forme lenticulaire; mais on peut rendre 1 épaisseur moindre que la limite ci-dessus ; alors louverture centrale prend des dimensions plus grandes, et, par conséquent, le nœud de la ligne méridienne est plus petit.

Lorsque l'épaisseur de la lentille est sufiSsamment inférieure à la limite en question, le mode de destruction spontanée de la figure instable n est plus le même : l'ouverture centrale ne marche plus alors vers un point de lanneau solide, mais la masse liquide annulaire s étrangle et se désunit en plusieurs endroits à la fois, de sorte qu elle se convertit en une série de petites masses isolées qui demeurent adhérentes à différentes parties de Tanneau métallique. Nous reviendrons plus tard sur ce dernier phénomène.

§ 68. L'anneau liquide pouvant ainsi prendre, dans un même anneau solide, des dimensions très-différentes suivant l'épaisseur de la lentille, ou, en d'autres termes, suivant le volume du liquide dont il est formé, il en résulte que, pour une même distance de la pointe du nœud de la ligne méridienne à Taxe de révolution, la longueur du nœud peut varier entre des limites étendues : dans les expériences ci-dessus décrites, ces variations se montrent comprises entre une petite fraction de

DE RÉVOLUTION : NODOÏDE. 113

la distance dont il s'agit et les - à peu près de cette

même distance. La figure complète dont nous nous occupons n est donc pas toujours semblable à elle-même comme la sphère, le cylindre ou le caténoïde; elle est, comme londuloïde, susceptible de variations de forme. La comparaison des figures liquides représentées ^. 36 et 37 conduit à la même conclusion.

§ 69. Avant d'aller plus loin, signalons une particularité remarquable. Si Ion suppose le nœud en relief, le liquide qui l'occupe se trouve dans la concavité de la courbe, et il doit évidemment se trouver encore du même côté de cette courbe au-delà du point u [fig. 41) ; il remplit donc les espaces compris entre les prolongements nv^ nw et le nœud, en sorte que ce nœud est engagé, soit complètement, soit partiellement, dans l'intérieur de la masse. Si l'on suppose le nœud en creux, on voit sans peine que ce sont alors les prolongements uv et mv qui sont engagés dans le liquide.

De là résulte cette conséquence singulière, que, bien que la condition générale de l'équilibre soit satisfaite, on ne peut se représenter la figure complète qu'à l'état de simple surface, et non à celui de masse liquide. Dans ce dernier état, il n'est possible de concevoir que des portions isolées de la figure, telles, par exemple, que la portion engendrée par le nœud seul .

§ 70. Tachons actuellement de découvrir la marche de la courbe au delà des points v et w [fig, 41). Nous savons déjà, par les raisons exposées dans le § 66, et auxquelles se rapporte la^. 39, que tant que les branches de la courbe continuent à s'éloigner de l'axe de révolution, la courbure ne peut changer de sens, et conséquemment demeure concave vers cet axe.

Cela étant, il n y a évidemment que trois hypothèses possibles : ou bien les branches en question s'éloignent de Taxe de révolution de manière que leur distance à ce dernier converge vers Tinfini ; ou bien elles tendent vers une asymptote parallèle à cet axe ; ou bien chacune d'elles présente, à une distance finie de la pointe u du nœud, un point où l'élément est parallèle à ce même axe.

Nous devons exclure immédiatement la première de ces hypothèses : elle exigerait, comme nous l'avons déjà fait remarquer (§ 64), qu'aux points situés à l'infini sur les deux branches, le rayon de courbure et la normale fussent l'un et l'autre infinis, et qu'ainsi la quantité

— 4- ~ fût éffale à zéro.

Examinons donc la seconde hypothèse, savoir celle d'une asymptote parallèle à l'axe de révolution. Au 2j point n (Jig. 41), la

normale est infinie et le rayon de courbure fini; au point où la branche miv prolongée atteindrait l'asymptote, au contraire, le rayon de courbure serait infini, et la normale, qui

Fi». 43.

mesurerait la distance de ce point à l'axe, serait finie. Donc, en allant du point n à ce point extrême, la normale, d'abord supérieure en longueur au rayon de courbure, lui deviendrait ensuite inférieure ; d'où il suit qu'il y aurait sur la courbe un point où la normale et le rayon de courbure

DE RÉVOLUTION : NODOÏDE. 115

seraient égaux, et pour lequel, par conséquent, le centre de courbure serait sur Taxe de révolution. Soient (x, ce point (yZ/. 43), le centre de courbure correspondant, et «jS un petit arc de cercle décrit du point o comme centre. Notre branche de courbe quitterait le point a suivant la même direction et avec la même courbure que lare «j3, puis se séparerait immédiatement de celui-ci. Or supposons qu a partir de a la courbure aille d'abord en décroissant ; la courbe commencera nécessairement par être extérieure à Tare de cercle. Soit «y un petit arc de cette courbe, dans toute retendue duquel la courbure décroisse, et soit la longueur de Tare aJ^ prise égale à celle de lare «y. Le point y sera plus éloigné de Taxe que le point /î, et, en outre, à cause de Tinfériorité des courbures, la tangente en y fera avec ce même axe un angle plus grand que la tangente en /3 ; la normale au point y sera donc, par cette double raison, plus longue que la normale au point |3. D un autre côté, par suite encore de rinfériorité des courbures, le rayon de courbure au point y sera également plus long que le rayon de courbure au point j3 ; mais , en ce dernier point, ces deux quantités ont la même valeur qu'au point «; donc, en passant de a en y, le rayon de courbure et la normale augmenteront lun et l'autre. Or cela est incompatible avec l'équation de l'équilibre ; en effet,- la courbe, dans toute la partie que nous étudions, tournant sa concavité vers l'axe, le rayon de courbure et la normale sont partout de même signe, et conséquemment lorsque l'un augmente, l'autre doit diminuer, et vice versa. Si l'on suppose qu'à partir de a la courbure aille en croissant, l'arc de courbe sera intérieur à l'arc de cercle, et le même mode de raisonnement ferait voir que, d'une extrémité à l'autre du premier, le rayon de cour-

bure et la normale diminueront tous deux. L'hypothèse d'une asymptote parallèle à Taxe de révolution conduisant ainsi à un ré-

sultat impossible , on voit qu elle doit z\ \ être rejetèe comme

la première.

C'est donc la 3'"^ hypothèse qui est vraie ; c est-à-dire que la courbe présente deux points p etp' [^. 44), où la tangente est parallèle à Taxe de révolution.

§71. L'expérience Fig. 4*. confirme pleinement

cette déduction de la théorie, et elle fournit en outre une donnée qui nous dévoilera la marche ultérieure de la courbe.

Les deux disques étant placés à une distance quelconque l'un de l'autre, à une distance égale à leur diamètre, par exemple, on forme entre eux un cylindre, et l'on abaisse ensuite graduellement le disque supérieur : la figure, nous le savons, passe alors à l'onduloïde, et elle

se bombe de plus en plus, jusqu'à ce

qu'elle constitue une portion de sphère

l/iff. 45). Mais si l'on continue à abaisser

le disque supérieur, la convexité méri-

Fig. 45. dienne augmente encore , et dépasse

conséquemment le point ci-dessus ; on obtient ainsi, par

exemple, pour un certain rapprochement des disques.

DE RÉVOLUTION : NODOÏDE. 117

le résultat représenté [Jig 46), et la figure liquide est toujours parfaitement stable. Or, en cet état, elle ne peut plus faire partie de londuloïde, puisque l'on a dépassé la sphère, qui est (§ 50) Tune des limites des variations de ce dernier. Enfin on peut descendre ^ig. 4«.

le disque supérieur jusqu'à ce qu'aux points où la ligne méridienne aboutit aux bords des disques, les tangentes soient près d'être perpendiculaires à l'axe de révolution, comme on le voit dans la jig. 47, et, l)our une masse d'huile moindre, dans la jig, 48; mais, vers ce degré de rapprochement des disques, la ''^***''

figure liquide perd sa stabilité : si l'on abaisse un peu trop le disque '''*• *'*

supérieur, on voit l'huile se porter en plus grande masse d'un côté de l'axe du système, en sorte que la figure cesse d'être de révolution, puis, de ce même côté, l'huile franchit les bords des disques, et s'étend en partie sur les faces extérieures de ceux-ci.

Maintenant, en vertu de ce qui a été exposé dans le paragraphe précédent; tant que la courbe, à partir de n [Jig. 44), va en s'éloignant de l'axe de révolution, le rayon de courbure ne peut devenir égal à la normale; et, puisqu'il lui est inférieur eh n^ il doit lui demeurer inférieur tant que l'on n'atteint pas le point /?; donc, dans toute l'étendue de l'arc nwpy sauf au point n même et peut-être au point j9, auquel la démonstration ne s'étend pas, le centre de courbure est toujours situé entre la courbe et l'axe, et conséquemment la courbure est toujours plus forte que celle d'une circonférence de cercle qui aurait son centre sur l'axe. Or, comme nous venons de le voir, dans les figures liquides partielles représentées Jig. 46,

47 et 48, les courbures méridiennes sont plus fortes que lorsque la figure est une portion de sphère, ou, en d'autres termes, elles sont plus fortes que celle d'une circonférence de cercle passant par les bords des disques et ayant son centre sur Taxe. 11 est clair, d'après cela, que ces mêmes figures partielles réalisent des portions de la figure complète engendrées par un arc de la ligne méridienne s'étendant de part et d'autre du point p {Jy. 44) ; seulement elles se rapportent évidemment à des cas différents de cette figure complète, que nous savons être susceptible de variations comme l'onduloïde.

§ 72. Faisons un dernier pas dans la poursuite de notre ligne méridienne. Dans les expériences ci-dessus, lorsque les densités des deux liquides sont rendues bien égales, la figure d'huile se montre toujours parfaitement symétrique par rapport à son cercle équatorial. A la vérité, c'est l'œil qui en juge ainsi, et l'on pourrait penser que cette symétrie n'est peut-être qu'approchée; mais nous allons faire voir qu'elle est rigoureuse. En l'absence de toute cause accidentelle d'irrégularité , il n'y aurait évidemment aucune raison pour qu'un excès de courbure existât plutôt d'un coté déterminé de l'équateur que de l'autre, puisque les deux disques sont égaux et parallèles; d'où résulte qu'il y a nécessairement une forme d'équilibre où la symétrie est exacte. Seulement si, dans nos figures partielles réalisées, figures qui sont stables, la symétrie n'était qu'approchée, il faudrait admettre que la forme d'équilibre exactement symétrique dont nous venons déparier, serait instable. Si donc toutes les figures liquides que l'on peut obtenir dans les expériences décrites plus haut, c'est-à-dire celles que donnent tous les degrés d'abaissement du disque depuis le cas de la^. 45 jusqu'à celui de la^. 47 et toutes les masses plus grandes et

DE RÉVOLUTION : NODOÏDE. 119

plus petites avec les mêmes disques, si, dis-je, toutes ces figures n'étaient symétriques qu'en apparence, à chacune d'elles correspondrait une autre figure d'équilibre extrêmement peu différente , et qui serait instable. Or l'existence de deux figures d'équilibre partielles extrêmement voisines, l'une stable et l'autre instable, peut bien se rencontrer dans un cas particulier des variations des deux figures complètes, ou, au moins, de l'une d'elles ; mais, on le comprend, il est impossible que la même chose se reproduise dans toute l'étendue des variations de la figure partielle réalisée. Concluons de là que, dans les figures liquides du paragraphe précédent, la symétrie est réelle, et qu'ainsi, dans notre ligne méridienne complète, il y a, outre l'axe de symétrie du nœud, un autre axe de symétrie également perpendiculaire à l'axe de révolution, et passant par le point jo \Jig. 44).

Mais dès lors tout ce que la courbe présente d'un coté de ce point, elle doit le présenter symétriquement de l'autre coté ; le nœud qui se trouve au-dessus de "p doit donc avoir son correspondant au-dessous ; et puisque ces deux nœuds ont eux-mêmes respectivement leur axe de symétrie, il en résulte nécessairement, en premier lieu, qu'ils sont parfaitement identiques, et, en second lieu, que tout ce qu'il y a d'un côté de l'un d'eux doit se reproduire identiquement de l'autre coté; d'où il suit enfin qu'au-dessus du nœud supérieur il y en a un autre pareil, puis au-dessus de celui-ci un autre encore, et ainsi de suite indéfiniment le long de l'axe de révolution, que la même chose a lieu au-dessous du nœud inférieur, et que tous ces nœuds sont reliés par des arcs également identiques entre eux. hajig, 49, dîins laquelle l'axe de révolution AB est placé horizontalement, représente une portion étendue de la courbe.

La figure engendrée par celte courbe se prolonge donc indéfiniment dans le sens de Taxe, comme le cylindre et londuloïde; nous lui donnerons aussi un nom, nous rappellerons le Nodoïde, Remarquons seulement que, cette figure étant, de même que londuloïde, susceptible de variations entre certaines limites, la^. 49 ne doit être regardée que comme offrant un cas de sa ligne méridienne.

Fig. *9.

Rappelons ici lobservation que nous avons présentée dans le § 69, et que Ion comprendra mieux encore maintenant d'après l'aspect de la courbe, savoir que Ion ne peut se représenter la figure complète qu a l'état de simple surface, parce qu'en la supposant pleine, elle aurait des parties engagées dans la masse.

§ 73. Avant d'étudier le nodoïde dans ses variations, nous devons résoudre une question que suggèrent les résultats des expériences du § 71. Maintenant que nous connaissons la forme de la ligne méridienne, nous voyons que ces expériences réalisent la portion du nodoïde engendrée par une partie plus ou moins grande de l'un des arcs convexes vers l'extérieur, tels que npn' [fig. 49) ; mais on peut se demander si cela n'exige pas qu'avec des disques d'un diamètre donné, le volume de l'huile demeure compris entre certaines limites, de sorte que, pour des volumes plus grands ou plus petits, la figure réalisée n'appartiendrait plus au nodoïde. Pour décider la chose,

DE RÉVOLUTION : NODOÏDE. 121

partons de l'une de ces figures réalisées, poursuivons lare méridien au delà du point où il aboutit au bord de Tun des disques, du disque supérieur, par exemple, et voyons s'il est possible d arriver à une courbe autre que la ligne méridienne d'un nodoïde.

Supposons d abord que, dans la partie de son trajet où elle continue à se rapprocher de Taxe de révolution et à s'éloigner de Taxe de symétrie, la courbe présente un point d'inflexion, de manière quelle tourne ensuite sa convexité vers ces deux axes. Si, pendant qu elle se rapproche encore du premier, elle changeait une deuxième fois le sens de sa courbure, la normale correspondante à ce second point d'inflexion serait nécessairement plus courte que la normale correspondante au premier, puisqu'elle aurait moins d'obliquité et partirait d'un point plus voisin de l'axe ; or cela est incompatible avec l'équation de l'équilibre : car cette équation se réduisant, en tous

les points d'inflexion, à— = C, les deux normales cidessus devraient être égales.

L'existence de ce deuxième point d'inflexion étant donc impossible, on voit qu'au delà du premier, la courbe, qui ne peut (§ 37) atteindre l'axe de révolution, devrait nécessairement ou bien tendre vers une asymptote parallèle à cet axe, ou bien présenter, à une distance finie, un point où la tangente fût parallèle à ce même axe.

On comprend immédiatement que le premier de ces deux cas doit être rejeté : car, au point extrême où la courbe toucherait l'asymptote, le rayon de courbure serait infini, ce qui réduirait encore, en ce point, l'équation de

l'équilibre à — = C, et la normale y serait aussi évidemment plus courte qu'au point d'inflexion.

Dans le second cas, le point où la tangente serait devenue parallèle à Taxe de révolution ne pourrait lui-même, toujours à cause de l'inégalité évidente des normales, être un deuxième point d'inflexion; il devrait donc constituer un minimum de distance à Taxe, et dès lors un petit arc s étendant de part et d'autre de ce minimum engendrerait un étranglement, qui pourrait être réalisé entre deux anneaux ou deux disques égaux. Or nous avons discuté toutes les figures partielles possibles de cette nature ; nous avons vu que tout étranglement appartient soit à londuloïde, soit au caténoïde, soit à la partie du nodoïde qui environne le sommet d un nœud ; mais nous savons que la figure partielle bombée d'où nous sommes parti, n'est point une portion d'onduloïde, puisque sa convexité dépasse la sphère ; il est visible, en second lieu, qu'elle n'est point une portion de caténoïde, et enfin l'on voit, d'après ce qui précède, que l'étranglement cidessus ne serait point une portion de nœud.

Ainsi notre hypothèse originaire, celle d'un point d'inflexion dans la partie de la courbe qui va en s'éloignant de l'axe de symétrie et en se rapprochant de l'axe de révolution, conduit inévitablement à des impossibilités, et conséquemment la courbe garde le même sens de courbure jusqu'à ce qu'elle sorte de ces conditions.

Mais, pour en sortir, il faut évidemment qu'elle cesse d'abord de s'éloigner de l'axe de symétrie, ou, en d'autres termes, qu'elle présente un point où la tangente soit parallèle à ce dernier axe. Et ce point n'est pas non plus un point d'inflexion, car la normale et le rayon de courbure y seraient tous deux infinis, ce qui annulerait la

quantité T7 "i" î^ • Donc, au delà de ce même point, la courbe redescend vers l'axe de symétrie, on conservant

DE RÉVOLUTION : NODOÏDE. 123

le sens de sa courbure. De plus, le même sens se maintient encore, comme nous allons le montrer, tant que la courbe continue à descendre ; en effet, le liquide de la figure partielle réalisée qui nous a servi de point de départ étant placé dans la concavité de la courbe^ on voit d'abord sans peine qu'en tous les points de notre branche descendante, la normale est négative ; or si cette branche

contenait un point d'inflexion, la quantité w + î^ se

réduirait, en ce point, au terme ^ , et, par suite, à cause

du signe de la normale, serait également négative, tandis que, sur l'arc méridien de la figure partielle réalisée, le rayon de courbure et la normale étant tous deux positifs,

la quantité — -j- — est elle-même positive.

Mais la branche dont il s'agit ne peut descendre indéfiniment en se rapprochant toujours de l'axe de révolution, ou, en d'autres termes, ne peut tendre vers une asymptote parallèle à cet axe : car, au point situé à l'infini sur

l'asymptote, la quantité 77+-;^ se réduirait encore au

terme — , et, par conséquent, serait encore négative ; il

faut dès lors que notre branche passe par un minimum de distance à l'axe de révolution, et forme ainsi l'arc générateur d'un étranglement ; et comme cet étranglement ne saurait appartenir ni à l'onduloïde, ni au caténoïde, il constitue nécessairement le sommet d'un nœud de nodoïde.

Nous sommes donc invinciblement ramenés à la ligne méridienne du nodoïde, et nous devons en conclure que toutes les figures que l'on obtient dans les expériences du

124 FIGURES irÉQUILlURE

§ 71 sont des nodoïdes partiels, quel que soit le degré de rapprochement des disques, pourvu qu'on dépasse la courbure sphérique, et quel que soit le volume de Thuile par rapport au diamètre des disques.

§ 74. .Nous pouvons maintenant examiner quelle est la nature et quelles sont les limites des variations du nodoïde. Puisque, dans les expériences du § 71, on passe par une portion de sphère après laquelle, comme nous venons de le voir, naît immédiatement le nodoïde partiel, et puisque celui-ci varie ensuite d'une manière continue jusqu'à la phase où commence l'instabilité, il est clair que la portion de sphère constitue l'une des limites de ces variations, et qu'ainsi la limite des variations correspondantes du nodoïde complet est une suite indéfinie de sphères égales ayant leurs centres sur l'axe. Mais, pour peu que l'on y réfléchisse, on reconnaîtra que le, seul mode possible de variation continue tendant vers cette limite est le suivant : à mesure que le nodoïde complet approche de la suite de sphères, les dimensions des nœuds ainsi que la distance de leurs sommets à l'axe diminuent de plus en plus, tandis que la courbure des arcs qui relient ces nœuds converge vers celle d'une circonférence de cercle ayant son centre sur ce même axe ; enfin, à la limite, les nœuds s'évanouissent entièrement, et les arcs ci-dessus deviennent autant de demi-circonférences tangentes les unes aux autres. Les sphères engendrées par ces demi-circonférences sont donc aussi tangentes, et il en résulte que l'une des limites des variations du nodoïde est, comme nous lavons dit, une suite indéfinie de sphères égales qui se touchent sur l'axe.

Nous savons déjà (§ 50) qu'une semblable suite de sphères constitue l'une des limites des variations de l'onduloïde ; cette limite est donc commune aux deux figures,

DE RÉVOLUTION : NODOÏDE. liS

et forme conséquemment la transition de Tune à l'autre ; c est (Vîiilleurs ce que montrent encore les expériences du ,^ 71, puisque, à partir du cylindre jusqu'à la portion de sphère, la figure réalisée appartient toujours à londuloïde.

hd^Jiq, 50 représente la ligne méridienne d un nodoïdo peu éloigné de la limite que nous venons de trouver.

Fig. 50.

§ 75. Les variations du nodoïde ont une seconde limite fort remarquable. Supposons qu on réalise, par le procédé exposé dans le § 67, la portion d un nodoïde engendrée par un nœud isolé; supposons, en outre, quon répète successivement l'expérience en employant des anneaux solides de plus en plus grands et en modifiant le volume de rhuile de telle manière que la longueur du nœud méridien, c'est-à-dire la distance du sommet de celui-ci à sa pointe, demeure la même. Quand le diamètre de l'anneau solide sera très-considérable, les normales correspondantes aux différents points du nœud seront toutes très-grandes,

de sorte qu'en tous ces points le terme j^ de l'équation de

l'équilibre sera très-petit, et l'on voit que ce terme convergera vers zéro à mesure que le diamètre de l'anneau solide convergera vers l'infini ; mais il ne peut en être

de même du terme — , car si ce dernier tendait aussi à

s'annuler, la figure liquide aurait pour limite de ses

variations le caténoïde, ce qui est évidemmcut impossible dans les conditions oCi nous nous sommes placés,, c'est-àdire avec un nœud de longueur constante ; on pourra donc toujours concevoir l'anneau solide assez grand pour qu'en

tous les points du nœud méridien le terme ^ soit fort

petit relativement au tarme^. Alors celui-ci, qui exprime

la courbure méridienne, devra, en vertu de l'équation de l'équilibre, varier très-peu sur tout le contour du nœud, et con8éc[uemment ce dernier approchera beaucoup d'une circonférence de cercle. 11 est clair que, dans ce cas, la courbure des arcs qui relient entre eux lea nœuds consécutifs de la ligne méridiennne complète, sera aussi à peu près constante et du même onlre que celle de ces nœuds,

question. On comprend, d'après cela, que les nœuds consécutifs de la ligne méridienne empiéteront les uns sur les autres, et qu'ainsi, pour un certain grand diamètre de l'anneau solide, cette ligne a la forme représentée partielleraent;K/. 51. Dans ce dessin, on n'a point indiqué

l'axe de révolution, parce qu'il est placé à une trop grande distance.

Si l'on imagine que le diamètre de l'anneau solide reçoive un nouvel accroissement, la courbure méridienne approchera plus encore de l'uniformité, les nœuds seront

DE RÉVOLUTION : NODOÏDE. W

plus près d être circulaires, et ils empiéteront davantage les uns sur les autres ; enfin, à la limite de ces accroissements, cest-à-dire lorsque le diamètre sera infini, le

terme -^ s évanouira complètement pour tous les points

de la ligne méridienne, ce qui réduira, pour cette ligne

entière, l'équation de l'équilibre à ^rr = C; le rayon de

courbure sera donc alors rigoureusement constant, et nous arrivons à ce singulier résultat, que la totalité de la ligne méridienne se sera condensée en une seule circonférence de cercle ; et comme celle-ci se trouvera située à une distance infinie de l'axe de révolution, on voit que la figure engendrée sera simplement un cylindre.

Ainsi la seconde limite des variations du nodoïde est un cylindre ; mais ce cylindre est placé transversalement par rapport à l'axe du nodoïde dont il dérive, et cet axe en est infiniment éloigné, tandis que le cylindre qui forme la seconde limite des variations de Tonduloïde (§ 50) a pour axe celui de cette dernière figure.

§ 76. Pour la réalisation partielle d'un nodoïde dont la ligne méridienne complète soit du genre de la^. 51, il n'est pas nécessaire que l'anneau solide ait un diamètre absolu bien considérable; il suffit que ce diamètre soit grand relativement à la longueur du nœud méridien. En effet, si l'on se rappelle que, dans celui-ci, la courbure va (§ 66) en diminuant depuisle sommet jusqu'aux points où les tangentes sont parallèles à l'axe de symétrie, et que, de là jusqu'àla pointe, elle est moindre qu'en ces derniers points, on comprendra que si la longueur de ce même nœud est petite par rapport au rayon de l'anneau solide, sa largeur sera plus petite encore, et qu'à son sommet le rayon de

courbure sera minime en comparaison de la distance do ce sommet au centre de lanneau, distance qui constitue

la normale ; au sommet donc le terme ^ sera peu de chose

à côté du terme r? > et la valeur de la quantité r^ + ^7

dépendra surtout de celle de ce dernier ; mais c'est au sommet que la normale est la moins grande ; donc, sur le reste du nœud et sur les arcs qui unissent ce nœud aux

nœuds voisins de la ligne méridienne complète, le terme

- influera moins encore, et conséquemment, dans toute

rétendue de cette ligne, la courbure ne variera que faiblement.

Nous décrirons plus tard le meilleur moyen de réaliser les conditions que nous venons d'indiquer; du reste, c'est évidemment un nodoïde de cette espèce dont on obtient une portion en creux dans les expériences du § 65, lorsque les disques sont très-rapprochés et qu'on arrête l'extraction de l'huile au point où les éléments extrêmes de l'arc méridien sont couchés sur les faces des disques aux bords de celles-ci. Il en est encore de même dans les expériences du § 71, lorsque la distance des disques est très-petite et que les éléments extrêmes de l'arc méridien sont aussi près que possible d'être couchés sur les prolongements des faces solides ; seulement ici l'arc méridien n'appartient plus à un seul nœud : il est formé, comme on le reconnaîtra en jetant les yeux sur la Jig. 51. de l'arc qui unit deux nœuds consécutifs et de deux portions de ces derniers.

§ 77. Enfin les variations du nodoïde ont, comme celles do l'onduloïde, une troisième limite; elle nous est révélée par les expériences mêmes qui nous ont conduits à la

DE RÉVOLUTION : NODOÏDE. 129

connaissance du nodoïde. Dans ces expériences (§§ 56 et 63), lorsque, après avoir formé un cylindre entre deux

anneaux placés à une distance moindre que les - de leur

diamètre, on enlève progressivement du liquide, la figure partielle, nous le savons, devient d'abord un onduloïde, puis atteint par degrés le caténoïde, après quoi elle passe immédiatement au nodoïde; doù il suit évidemment que le caténoïde est l'une des limites des variations du nodoïde, et, en outre, quil constitue* une nouvelle transition de celui-ci à londuloïde; nous en avons déjà vu (§ 74) une autre, consistant dans la suite indéfinie de sphères.

La troisième limite des variations du nodoïde est donc le caténoïde, et il est aisé de faire comprendre comment la figure y parvient. Si nous nous rappelons que les expériences dont nous venons de parler réalisent la portion du nodoïde engendrée par un arc appartenant à un nœud et tournant sa concavité extérieurement, nous en conclurons que la portion du nodoïde qui passe au caténoïde est celle qui est engendrée par lun des nœuds, dont le sommet devient celui de la chaînette méridienne. Cela posé, concevons que chacun des nœuds de la ligné méridienne complète se modifie graduellement pour arriver à la chaînette, et imaginons, pour fixer les idées, que, pendant toutes ces modifications, la distance des sommets àlaxe de révolution demeure constante. A mesure que les nœuds approcheront de la chaînette, la quantité

T> + T^ convergera vers zéro; or, sur tous les arcs

qui unissent les nœuds entre eux, les quantités M et N sont de même signe, et conséquemment la quantité