L - relative à ces arcs ne peut converger vers zéro

que si M et N convergent à la fois vers Tinfini ; tous les points de ces mêmes arcs s'éloigneront donc indéfiniment de Taxe de révolution, en même temps que leur courbure deviendra indéfiniment plus faible; d'où il suit que les pointes des noeuds s'éloigneront de plus en plus de Taxe, tandis que, par le développement croissant des arcs intermédiaires, lesquels, d'après la nature de la courbe, ne peuvent évidemment diminuer de courbure sans s'étendre davantage, les nœuds s'écarteront de plus en plus les uns des autres, jusqu'à ce que, à la limite, ils soient tous infiniment distants et infiniment allongés. Si donc nous en considérons un en particulier, toute la courbe se réduira à lui seul, et, d'autre part, sa pointe aura disparu, et il se trouvera transformé en la ligne méridienne d'un caténoïde, c'est-à-dire en une chaînette.

§ 78. Il nous reste à résoudre une dernière question : y a-t-il d'autres figures d'équilibre de révolution que celles dont nous avons jusqu'ici reconnu l'existence? Toutes ces dernières sont telles que l'on peut toujours en comprendre des portions entre deux disques égaux et parallèles ; or nos expériences ont épuisé toutes les combinaisons de ce genre ; d'où l'on doit conclure que s'il y avait encore d'autres figures, elles seraient de nature à ne pouvoir remplir cette condition, et il faudrait évidemment, pour cela, que leurs lignes méridiennes ne présentassent aucun point dont la distance à l'axe de révolution fût un maximum ou un minimum. Comme ces lignes ne pourraient d'ailleurs atteindre l'axe, elles devraient aller en s'en éloignant toujours, depuis un premier point situé à l'infini sur une asymptote parallèle à cet axe, jusqu'à un autre point situé également à l'infini. Cela posé, au premier de ces deux points

extrêmes, le rayon de courbure serait nécessairement infini, tandis que la normale serait finie, et 1 équation de

réquilibre s y réduirait à — = C ; or il résulte de là que

la courbure ne pourrait nulle part changer de sens : car s il y avait un point d'inflexion, Téquation de l'équilibre

s'y réduirait également à ^ = C, et conséquemment les

normales au premier point extrême ci-dessus et à ce point d'inflexion devraient être égales, ce qui est évidemment impossible. Dès lors la courbe étant exempte de toute ondulation, la courbure convergerait nécessairement vers zéro, ou, ce qui revient au même, le rayon de courbure convergerait vers l'infini, en approchant du second point extrême, en sorte qu'en ce point le terme

rj s'évanouirait comme au premier, ce qui exigerait, de

même que précédemment, 1 égalité impossible des deux normales.

Les seules figures d'équilibre de révolution d'une masse liquide sans pesanteur sont donc celles auxquelles nous sommes arrivé, savoir : la sphère, le plan, le cylindre, l'onduloïde, le caténoïde et le nodoïde.

Ainsi il n'y a pas de figure d'équilibre de révolution ayant, dans son état complet, la forme annulaire, et la sphère est la seule qui soit fermée ; nous pouvons conséquemment restreindre encore la possibilité d'une surface fermée, autre que la sphère, à courbure moyenne constante, et ajouter à ce que nous avons dit dans le § 34, que s'il existe une semblable surface, elle n'est pas derévolution.

§ 79. Voyons maintenant les résultats des géomètres. Dans sa Nouvelle thécrrie de l'action capillaire (^) publiée

(1) Chap. YI de cet ouvrage.

en 1831, Poisson, cherchant à déterminer l'équation de la surface libre d une petite quantité d'un liquide pesant comprise entre deux plans solides horizontaux, arrive d'abord à une équation différentielle du deuxième ordre, contenant un terme dans lequel la quantité g^ ou la gravité, entre implicitement comme facteur, équation qui, si l'on faisait g=^Oy se réduirait, comme cela doit être, à celle de nos figures d'équilibre de révolution, mise sous la forme différentielle. Il fait voir ensuite que, dans une certaine hypothèse relative au volume du liquide, hypothèse qui revient à prendre ce volume assez petit pour que l'influence de la gravité soit très-minime par rapport à celle des actions moléculaires, on peut, dans une première approximation, négliger le terme dont il s'agit, ce qui est conséquemment la même chose que de supposer le liquide sans pesanteur. Poisson obtient la première intégrale de l'équation ainsi réduite, puis il remarque qu'on pourra toujours obtenir la seconde au moyen des fonctions elliptiques, et, dans quelques cas, au moyen des arcs de cercle et des logarithmes.

§ 80. En 1831 également, Qoldschmidt a étudié analjrtiquementl^) la surface engendrée par la chaînette, c'est-à-dire le caténoïde. Les conclusions auxquelles nous sommes parvenus, concordent pleinement avec celles qu'il déduit de ses formules. Il trouve la valeur précise du rapport limite entre le rayon des bases et l'écartementde celles-ci, et du nombre qu'il donne, on tire, pour le rapport limite entre cet écartement et le diamètre

des bases, la valeur 0,6627, valeur qui est effectivement,

g on le voit, très- voisine de 0,6666, ou ^ .

(1) Déterminatio superjkiei tninimœ rotatione curvœ data duo puncta jungentis circa datum axem ortœ (Goettingue, 1831).

Goldschmidt indique une construction géométrique élégante pour déterminer la position des sommets respectifs des deux chaînettes méridiennes, dans le cas d un écartement des bases moindre que la limite. Il en déduit cette conséquence, ^u a la limite même, si, du point où Taxe de symétrie de la chaînette unique coupe Taxe de révolution, Ion mène une tangente à la courbe, le point de contact est à lune des extrémités de Tare intercepté. On conclut de là que si Ion mène également une tangente à l'autre extrémité du même arc et qu'on prolonge ces deux tangentes, elles iront toucher aussi à ses extrémités Tare méridien opposé. Cette propriété caractérise d une manière simple le caténoïde limite.

Goldschmidt montre qu'au delà de l'écartement limite, on n'obtient plus, comme surface de révolution à aire minima s'appuyant sur les bases, que l'ensemble de deux plans occupant respectivement ces dernières.

Enfin il arrive au résultat suivant : Taire engendrée par la révolution d'une portion quelconque de la chaînette méridienne, est égale à la moitié de l'aire du cylindre ayant pour base le cercle de gorge et pour hauteur la portion de l'axe comprise entre les normales menées aux deux extrémités de l'arc générateur.

§ 81. MM. Lindelôf et Moigno ont traité de nouveau, en 1861, le problème du caténoïde (i) ; ils retrouvent, par une méthode plus courte, plusieurs des résultats de Goldschmidt. Ils arrivent, en outre, à cet autre résultat : pour un arc de chaînette dont une extrémité A est prise à volonté, le minimum de la surface de révolution cesse d'avoir lieu lorsque la seconde extrémité B, en s'éloignant suivant la courbe, atteint une

(1) Leçons de calcul des variations, Paris, 1861, N»' 102 à 105.

position telle que les deux tangentes menées en A et en B se rencontrent en un point de Taxe de révolution.

Cette propriété fournit donc la condition générale à laquelle doivent satisfaire tous les caténoïdes limites, que leurs bases soient égales ou inégales.

§82. Delaunay a donné (^), en 1841, une génération extrêmement simple et bien remarquable des lignes méridiennes des surfaces de révolution à courbure moyenne constante : il a fait voir, au moyen du calcul, que ces lignes peuvent être décrites par l'un des foyers dune section conique, lorsque celle-ci roule sur une ligne droite. Cette ligne droite est alors Taxe de révolution de la surface.

Plus tard M. LamarleP) a démontré géométriquement le même principe à laide de ses méthodes nouvelles et si fécondes.

Ces deux géomètres se contentent de la démonstration du principe dont il s'agit, sans chercher les formes des lignes ainsi tracées; seulement Delaunay rappelle que la chaînette peut être engendrée de cette manière par le foyer d'une parabole ; mais il est aisé de voir que les lignes résultant de ce mode de génération présentent toutes les particularités de forme et toutes les modifications que j'ai conclues, ainsi qu'on l'a vu, de l'expérience et du raisonnement, et que Béer avait, de son coté, partiellement déduites du calcul, comme je le dirai bientôt.

En effet, on reconnaît d'abord évidemment que lorsque la courbe roulante est une ellipse, la ligne décrite par

(1) Sur la surface de révolution dont la courbure moyenne est constante

(JOURN. DE M. LiOUVILLB, t. VI, p. 309).

(2) Théorie géométrique des rayons et centres de courbure (Buli.et. de l'Acad. de Belgique, 1857, 2"' série, t. II, p. 33).

Tun quelconque des foyers est une courbe sinueuse se reproduisant périodiquement le long de la droite, et présentant alternativement un maximum et un minimum de distance à cette droite : ce sera, par conséquent, la ligne méridienne de londuloïde.

Plus le rapport des axes de lellipse se rapprochera de l'unité, moins les sinuosités de la ligne décrite seront

prononcées, et si ces deux axes sont égaux, cestrà-dire si la courbe roulante est un cercle, la ligne décrite devient une droite parallèle à la première, et la figure de révolution devient un cylindre.

Au contraire, plus le rapport des axes de lellipse s éloignera de l'unité, plus les sinuosités seront fortes. Si, le grand axe conservant une valeur finie, le petit axe diminue jusqu'à s'annuler, de sorte que lellipse se réduise à son grand axe, aux extrémités duquel se trouvent alors les foyers, la ligne décrite consistera en une suite de demi-circonférences de cercle qui se touchent sur la droite; la figure de révolution est donc, dans ce cas, une suite de sphères égales tangentes les unes aux autres sur l'axe, et dont rien n'empêche de concevoir l'une quelconque isolée.

Si, l'ellipse étant toujours réduite à son grand axe, on suppose que celui-ci devienne de plus en plus long, mais que, pour chacune de ses longueurs, son extrémité décrivante parte du même point de la droite fixe, la demi-circonférence tracée par une rotation ira en augmentant de plus en plus en dimensions, et, à la limite, c'est-à-dire quand l'autre extrémité du grand axe se sera éloignée à l'infini, la ligne décrite sera une droite perpendiculaire à la droite fixe ; ce sera la ligne méridienne du plan.

Si l'on prend de nouveau des ellipses non réduites à

i:'6 FIGURPS D'ÉQUILIBRE DE RÉVOLUTION;

leur grand axe, et quon les suppose de plus en plus grandes, mais telles que la distance du foyer décrivant au sommet correspondant soit la même pour toutes, les parties rentrantes des lignes tracées s approcheront toutes jusqu'à cette même distance de la droite; mais les parties convexes vers l'extérieur présenteront des dimensions de plus en plus étendues, et enfin, à la limite des accroissements de lellipse, cest-à-dire lorsque celle-ci se sera transformée en une parabole, la ligne décrite n'aura plus qu'une seule partie rentrante, toutes les autres s'étant éloignées à l'infini : ce sera une chaînette, et la figure engendrée sera le caténoïde.

Reste le cas où la courbe roulante est une hyperbole. Au premier abord, on ne voit pas bien qu'on puisse faire rouler une hyperbole sur une ligne droite, de manière que l'un des foyers décrive une ligne continue; mais remarquons que lorsque Tune des parties de l'hyperbole aura roulé tout entière sur la droite, de sorte que celle-ci, primitivement asymptotique à l'une des branches, sera devenue asymptotique, à l'autre branche, la seconde partie de l'hyperbole aura en même temps la. droite pour asymptote et pourra être considérée comme la touchant à une distance infinie; il y aura donc continuité mathématique dans le roulement si nous faisons alors rouler sur la droite cette seconde moitié de l'hyperbole, et si, après qu elle aura à son tour roulé en totalité de manière que la droite soit redevenue tangente commune, nous recommençons à faire rouler la première moitié, et ainsi de suite. Or on se convaincra aisément que la ligne tracée dans ces circonstances par un même foyer est une courbe continue qui présente, le long de la droite, une succession

indéfinie de nœuds; cest donc la ligne méridienne du nodoïde, et en faisant varier le rapport des axes de rhyperbole roulante, on produira toutes les variations de cette figure.

Lorsque Thyperbole passera à la parabole, la ligne décrite se réduira à une chaînette, et la figure engendrée sera un caténoïde. Lorsque, Taxe réel de l'hyperbole conservant une valeur finie, Taxe imaginaire s'annulera, ce qui placera les foyers aux extrémités du premier et réduira Thyperbole à deux droites situées dans le prolongement lune de l'autre et partant de ces mêmes extrémités, on voit sans peine que les nœuds disparaîtront, et que la ligne décrite deviendra une suite de demi-circonférences, de sorte que la figure engendrée sera la suite de sphères. Enfin lorsque. Taxe réel de l'hyperbole conservant encore une valeur finie, l'axe imaginaire croîtra indéfiniment, ce qui ouvrira de plus en plus les deux moitiés de l'hyperbole en éloignant les foyers des sommets, on voit de même facilement que les nœuds de la ligne décrite s'élargiront, puis empiéteront les uns sur les autres, c'est-à-dire que cette courbe éprouvera les modifications dont j'ai parlé dans le § 75; seulement la limite de ces variations, savoir la condensation de la courbe entière en une seule circonférence de cercle, est, au point de vue du roulement, une limite mathématique qui ne peut être atteinte en réalité, puisque alors les foyers sont à des distances infinies de la droite, et que la moitié de l'hyperbole qui s'appuie sur celle-ci est confondue avec elle dans toute son étendue.

Cette discussion du tracé des lignes méridiennes devait naturellement trouver place après l'exposé du principe de Delaunay ; mais je dois dire ici qu'une dis-

cussion analogue a déjà été publiée par M. Lindelôf, dans un Mémoire dont je parlerai au § 89.

§ 83. Le calcul de Delaunay et la dénaonstration de M. Lamarle mentionnée plus haut nexcluent pas la possibilité de surfaces de révolution à courbure moyenne constante autres que celles dont les lignes méridiennes sont tracées comme ci-dessus; mais M. Lamarle est revenu ensuite (H sur le même sujet, et a fait voir, toujours au moyen des méthodes qui lui sont propres, que ce mode de génération est le seul qui puisse donner des surfaces de révolution à courbure moyenne constante. Cette conclusion est, on le voit, entièrement d'accord avec celle que nous avons déduite du raisonnement (§ 78).

(} 84. Béer a consacré à Tétat de repos de la masse liquide une partie du second des deux Mémoires où il ma fait l'honneur d appliquer le calcul aux expériences de ma première Série (2). H s'occupe uniquement des figures d'équilibre de révolution, et il cherche, au moyen des fonctions elliptiques, l'intégrale complète de lequation de leurs lignes méridiennes. Comme j'aurai occasion de faire usage de ces résultats, je vais indiquer, en peu de mots, comment Béer parvient à la première et à la seconde intégrale.

11 prend l'axe de révolution pour axe des y. Alors, petq désignant respectivement les coefficients différentiels du premier et du second ordre, on a, comme on sait,

pour représenter la normale, l'expression — ^» et,

(1) Exposa çéom^lrique du calcul différentiel et intégral^ 3« partie, 1863, p. 247, (Mém. de TAcad. de Belgique, collection in-8», t. XV).

(2) Tractatus de theorid mathematicâ phœnomenorutn in liquidis actioni gravitatis detractis obsei'vatorufn. Bonn, 1857.

pour le rayon de courbure, LjÎLLL; en égalant à une

constante la somme des inverses de ces deux quantités, on a conséquemment, pour Téquation des figures en question,

Maintenant, si Ion multiplie les deux membres par xdœ, et quon remplace qdœ par son équivalent dp, il vient :

xdp pdx

= Cxdx ;

or il est facile de voir que le premier membre de l'équation ainsi transformée est la différentielle de px

; on aura donc, en intégrant,

C' étant la constante arbitraire. Telle est l'intégrale première cherchée. •

Représentant alors par a, et «, les abscisses respectives minima et maxima de la courbe. Béer transforme cette équation en la suivante :

rfy=» — dx: .... [3]

puis il passe à l'intégration par les fonctions elliptiques. Il pose

a?' = a J sin* <p -♦- a J C08* <p ,

et, plaçant lorigine des coordonnées au pied de

Tabscisse minima «i, il obtient, en définitive, pour représenter la ligne méridienne, l'équation

y = a,JE^C,|)-E(c,ç)j±a,JF^C,|^-F(c,(p)j. [4]

dans laquelle les lettres F et E désignent respectivement les fonctions elliptiques de première et de seconde espèce. Le module c et lamplitude 9 sont définis par les relations :

m / fi« ?ii, i'=arcsinm / ^ ^

§ 85. Béer déduit de ces formules les résultats suivants :

L'équation [4] représente deux genres de courbes, selon qu'on prend le supérieur ou l'inférieur des deux signes qui affectent l'un des termes du second membre.

Au signe supérieur correspond une ligne ondulée analogue à la sinusoïde, et formée de parties identiques qui se reproduisent indéfiniment le long de l'axe. L'abscisse des points d'inflexion est moyenne proportionnelle entre les abscisses minima et maxima. L^

OLt

tangente en ces mêmes points est égale à

La distance entre les abscisses minima et maxima a pour valeur

y' = a,EUy-*-«iFu|j;

en doublant cette expression, on a, dans la figure engendrée, l'intervalle entre le cercle de gorge d'un étranglement et celui de l'étranglement suivant. Les limites des variations qu'éprouve cette figure quand on fait varier le rapport entre «, et «, , sont la sphère

et le cylindre. On pourra réaliser cette même figure, en faisant adhérer une masse d'huile à un cylindre solide au sein d'un alcool de même densité que l'huile. En prenant, dans Téquation [4], le signe inférieur, on a également une ligne composée de parties identiques qui se reproduisent le long de Taxe. Si Ion considère Tune de ces parties commençant à un minimum d'abscisse, elle descend d'abord en tournant sa concavité vers le haut, atteint un point inférieur où la tangente est parallèle à l'axe des x et dont l'abscisse est moyenne proportionnelle entre les abscisses minima et maxima, puis remonte, en conservant toujours le même sens de courbure, jusqu'au maximum d'abscisse, au delà duquel elle continue jusqu'à un nouveau minimum par une portion symétrique à la première. La distance entre les abscisses minima et maxima a pour expression

Les limites des variations de la figure engendrée sont^ d'une part, la sphère, et, d'autre part, une circonférence de cercle ayant son centre sur l'axe et son plan perpendiculaire à celui-ci. La ligne méridienne ci-dessus jsera celle d'une masse alcoolique entourant, au sein d'une huile de même densité , un cylindre métallique.

§ 86. Présentons ici quelques remarques au sujet de cette partie du travail de Béer. Les deux lignes méridiennes qu'il discute sont celles de l'onduloïde et du nodoïde ; mais, on le voit, une autre ligne méridienne, savoir celle du caténoïde, lui a complètement échappé ; il l'aurait trouvée en faisant, dans l'intégrale première (éq. [3] du § 84), la quantité a, égale à l'infini.

En second lieu, par suite de cette singulière omission, Béer n'assigne aux variations des figures engendrées par les deux premières que deux limites, au lieu de trois quelles ont en réalité.

Du reste, ces lacunes se trouvent remplies dans un ouvrage posthume (0 du même auteur, publié en 1869.

En troisième lieu, il trouve, pour la seconde limite de la deuxième figure, une simple circonférence de cercle, tandis que j ai trouvé un cylindre placé transversalement par rapport à Taxe des nodoïdes dont il dérive. Cette différence tient à ce que Béer considère ce que devient la figure à mesure que les abscisses maxima et minima de la ligne méridienne approchent de Tégalité, mais en conservant des valeurs finies, tandis que, rendant au contraire constante la différence de ces deux abscisses, j'ai supposé qu elles convergeaient toutes deux vers l'infini, ou, pour parler plus exactement, que Taxe de révolution s'éloignait indéfiniment de la courbe (§75). Je n'ai point parlé de la limite consistant en une simple circonférence, parce qu'elle ne peut constituer une figure liquide; c'est une limite mathématique, et non physique.

Enfin, quant au moyen indiqué par Béer pour la réalisation partielle de la deuxième figure, c'est-à-dire du nodoïde, il est exact théoriquement, mais il serait d'une application bien diiBcile; on peut se convaincre, en effet, par ce que. j'ai exposé dans le § 71, qu'une semblable figure liquide dépasserait de beaucoup sa limite de stabilité; on ne pourrait donc l'obtenir qu'en la maintenant par des entraves convenables.

Nous avons donc cherché. Béer et moi, par des

(1) Einleitung in die mathemcUische Théorie der Elasticitàt und Capil^ lariiàt, Leipzig.

moyens essentiellement diflférents, les formes des figures d'équilibre de révolution. Ainsi qu'on la vu (§ 82), on pouvait arriver à ces formes en partant du principe de Delaunay ; mais Béer, par la simplicité et rélégance quil a su donner à lequation différentielle du premier ordre et à l'intégrale elliptique, a facilité 1 étude analytique et la construction exacte des lignes méridiennes de londuloïde et du nodoïde, et, de mon côté, en réalisant physiquement toutes les figures d'équilibre de révolution, avec leurs variations et les limites de celles-ci, j'ai fourni à la théorie l'appui des vérifications expérimentales. De plus, en n'employant, conjointement avec l'expérience, que le seul raisonnement ou des constructions géométriques très-simples, j'ai rendu nettement accessibles à l'esprit les relations entre les formes dont il s'agit et la condition générale de l'équilibre, et j'ai mis la recherche de ces mêmes formes à la portée des personnes qui ne sont point familiarisées avec les hautes mathématiques.

§ 87. Dans le même Mémoire, Béer détermine les expressions du volume et de la surface d'une portion de sa première figure, ou, en d'autres termes, de l'ondu- ' loïde, cette portion étant comprise entre deux sections perpendiculaires à l'axe. Pour cela, dans les formules générales qui représentent le volume et la surface d'une figure quelconque de révolution, il remplace dy par son équivalent (éq. [3] du § 84), puis il intègre par les fonctions elliptiques; le module et l'amplitude sont les mêmes que précédemment.

On reconnaît aisément que la substitution ci-dessus permettrait d'intégrer également par les fonctions ellip- . tiques dans le cas du nodoïde.

On s'assurera d'ailleurs sans peine qu'on obtient par une intégration ordinaire le volume et la surface d'une portion de cafénoïde; on pourra donc évaluer, pour toutes les figures d'équilibre de révolution, le volume et la surface d'une portion limitée par deux sections quelconques perpendiculaires à l'axe.

§ 88. M. Mannheim a présenté, en 1858, à la Société Philomatique de Paris (^), sur la théorie des rmkttes, une Note dans laquelle il pose d'abord ce théorème :

Lorsqu'une courbe plane ABC roule sur une droite fixe EF, la roulette décrite par un point M lié à la courbe roulante a même longueur, que la courbe GPH, lieu des projections du point M sur les tangentes à ABC (2).

Puis il en déduit plusieurs corollaires,- parmi lesquels se trouve le suivant :

La courbe décrite par le foyer d'une ellipse qui roule sur une droite a même longueur que la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre.

On sait, en efifët, que le lieu des projections du foyer d'une ellipse sur les tangentes à celle-ci est une circonférence de cercle ayant le grand axe pour diamètre.

M. Mannheim ne parle point de la courbe décrite par le foyer d'une hyperbole roulante; mais on sait également que le lieu des projections du foyer d'une hyperbole sur les tangentes est une circonférence de cercle

(1) Journal V Institut, n« 1260.

(2) Plus tard, M. Mannheim a reconnu (Journ. de l'École Polytechnique, XL°** cahier) que ce théorème avait été énoncé dès 1840 par Steiner.

Quelques temps après la publication de PaKicIe de M. Mannheim, M. Lamarle a donné (Bullet. de l'Acad. de Belgique, 1858, 2"'« série, t. Iv, p. 239), à l'aide de ses nouvelles méthodes, une démonstration exti-êmement simple de ce même théorème.

RÉSULTATS DES GÉOMÈTRBS. 145

ayant pour diamètre Taxe réel de Thyperbole, doù il suit que la courbe tracée par l'un des foyers a même longueur que la circonférence en question. Cette extension à la ligne méridienne du nodoïde a, du reste, été signalée déjà par M. Lindelôf (§ suivant).

Le principe de M. Mannheim permet, on le voit, d'évaluer la longueur de portions déterminées de la ligne méridienne de londuloïde et de celle du nodoïde, quand on a le grand axe de l'ellipse roulante et l'axe réel de l'hyperbole roulante; or ces axes sont connus lorsqu'on connaît les distances minima et maxima de la courbe décrite à la droite fixe ; en effet, si l'on se représente l'ellipse roulante dans la position où son grand axe est perpendiculaire à la droite fixe, on voit que le foyer décrivant est alors le plus près ou le plus loin de cette droite, et qu'ainsi les distances minima et maxima ci-dessus sont celles de ce foyer aux deux sommets de l'ellipse; le grand axe est donc égal à leur somme. On trouvera de même que l'axe réel de l'hyperbole roulante est égal à la différence des distances maxima et minima de la courbe décrite à la droite fixe.

L'énoncé de M. Mannheim relatif à la ligne méridienne de l'onduloïde se rapporte au développement entier de l'ellipse roulante sur la droite fixe; mais, on le comprend, le théorème général s'applique également à une portion moindre quelconque de ce développement et conséquemment de la courbe décrite.

Du reste, en substituant, dans l'expression générale

\da\/l -*-( — ) d'^^ ^^^ ^® courbe, la valeur de ^ relative aux lignes méridiennes de l'onduloïde et du

nodoïde (éq. [3] du § 84), on sassurera que Tintégration s'effectue aisément par les moyens ordinaires.

Comme la ligne méridienne du caténoïde, ou la chaînette , est rectifiable , on voit qu'on pourra toujours évaluer, soit par une construction géométrique, soit par le calcul, la longueur d'un arc donné de chacune des lignes méridiennes des figures d'équilibre de révolution.

§ 89. En 1863, M. Lindelôf a repris (U toute la question des surfaces de révolution à courbure moyenne constante. Partant du théorème de Delaunay (§82), il cherche spécialement les relations entre les propriétés des surfaces en question et les éléments de la conique roulante. Il déduit de ses calculs une suite de résultats presque tous nouveaux que je vais mentionner.

Disons d'abord que l'auteur nomme onduloïde complet et nodoïde complet les portions de l'onduloïde et du nodoïdô indéfinis dont les lignes méridiennes correspondent respectivement à une révolution entière de l'ellipse et de l'hyperbole génératrices. Voici maintenant les résultats :

1° La somme des courbures principales en chaque point de la surface est, pour l'onduloïde, égale à la courbure du cercle circonscrit à l'ellipse génératrice, et, pour le nodoïde, égale à la courbure d'un cercle ayant pour diamètre l'axe transverse de l'hyperbole génératrice.

2'' Rectification de la ligne méridienne de l'onduloïde complet, donnée antérieurement par M. Mann-

(1) Théorie des surfaces de révolution à courbure moffenne constante (Mém.

DB LA ^OCVttt DBS 6CIBMCB8 DB FiNLANDB).

Un résumé détaillé de ce Mémoire est inséré dans le Journal Les Mondes (t. III, pp. 3d4, 414 et 431).

heim, avec extension à la ligne méridienne du nodoïde complet.

3*" Mesure de Taire du caténoïde engendrée par une portion quelconque de la chaînette méridienne, trouvée déjà par Goldschmidt (§ 80).

4^ Le volume du caténoïde terminé par deux plans quelconques perpendiculaires à l'axe égale la moitié de celui du cylindre ayant pour base le cercle de gorge, et pour hauteur la partie de Taxe comprise entre les normales extrêmes à une méridienne.

5"* Le volume du caténoïde sobtient aussi en multipliant la surface de ce caténoïde par le demi-rayon du cercle de gorge.

6^ Le volume du caténoïde limite est la moitié de celui du cylindre de même base et de même hauteur (^).

7^ L'aire d un onduloïde complet équivaut à celle d'un cylindre dont la base est le cercle circonscrit à l'ellipse génératrice d'une méridienne, et dont la hauteur est la circonférence d'une ellipse ayant pour axes les (Jiamètres du plus grand et du plus petit cercle parallèle.

S"* L'aire d'un nodoïde complet équivaut à celle du cylindre dont le diamètre est l'axe transverse de l'hyperbole génératrice d'une méridienne, et dont la hauteur est la circonférence d'une ellipse ayant pour axes les diamètres du plus grand et du plus petit cercle parallèle.

9^ Le volume d'un onduloïde complet surpasse celui d'un cylindre dont la base est le cercle circonscrit à l'ellipse génératrice d'une méridienne, et dont la

(1) J'avais trouvé ce résultat long:temps auparavant, et Je Pavais communiqué à M. Lindelofy ainsi quUl le déclare dans son Mémoire. Ce même résultat n'est pas reproduit dans le résumé du Journal Les Mondes.

hauteur égale la circonférence de lellipse ayant pour axes les diamètres du plus grand et du plus petit cercle parallèle, du tiers de l'excès de ce même cylindre sur un second cylindre de même hauteur que londuloïde, et dont la base est le cercle inscrit à lellipse génératrice.

10° Le volume du nodoïde complet surpasse celui du cylindre dont le diamètre est égal à Taxe transverse de l'hyperbole génératrice d'une méridienne, et dont la hauteur égale la circonférence de l'ellipse ayant pour axes les diamètres du plus grand et du plus petit cercle parallèle, du tiers de la somme de ce même cylindre et d'un second cylindre de même hauteur que le nodoïde, et dont le diamètre est égal à l'axe conjugué de l'hyperbole génératrice.

§ 90. J'ai soumis à l'expérience le résultat 6° du paragraphe précédent. Pour cela, il fallait réaliser, dans le liquide alcoolique, un caténoïde limite plein, puis le convertir en cylindre par le rapprochement des bases. Mais comme toute l'huile du caténoïde devait être contenue dans ce cylindre, il fallait éviter la formation des bases convexes de celui-ci, et conséquemment comprendre la masse liquide entre des disques et non entre des anneaux. Dans ces conditions, le seul moyen à employer pour obtenir le caténoïde limite était d'écarter les disques l'un de l'autre d'une quantité égale à la hauteur du caténoïde limite correspondant à leur diamètre, puis de faire adhérer à leurs faces en regard une masse d'huile en excès, et enfin d'absorber de ce liquide jusqu'à ce que le cercle de gorge eût le diamètre appartenant à ce même caténoïde limite.

Le diamètre des disques dont j'ai fait usage était de 71"*"*,49; la hauteur du caténoïde limite corres-

pondant à ce diamètre devait donc (§ 80) être égale à Tl'»»^» X 0,6627 = 47™'",38.

MM. Lindelôf et Moigno ont trouvé (H , pour le rapport du rayon des bases à celui du cercle de gorge, la valeur 1,81017, dont Tinverse est 0,5524 (voir aussi le tableau du § suivant); avec mes disques, le diamètre du cercle de gorge devait donc être égal à 71«°',49 X 0,5524 = 39'»"»,49.

On a réglé Técartement de ces disques au moyen du cathétomètre, et, pour régler de même le diamètre du cercle de gorge de la figure liquide, on a couché le cathétomètre horizontalement sur des supports convenables.

Une difficulté accidentelle a empêché qu'on n'atteignît l'écartement précis 47°*™,38 ; celui auquel on s'est arrêté était, d'un coté de la figure, 46™'",85, du côté opposé 47°*",05, et conséquemment , en moyenne, 46"*'",95, quantité inférieure à la valeur théorique d'un peu moins du centième de celle-ci.

En ce qui concerne le cercle de gorge, on a conduit l'absorption de l'huile jusqu'à ce que le diamètre de ce cercliB fût réduit à 39'""*,60, quantité qui excède à peine la valeur théorique des trois millièmes de celle-ci.

La figure ainsi obtenue approchait donc extrêmement du caténoïde limite, et conséquemment son volume devait être à fort peu près celui d'un cylindre de même base et d'une hauteur égale ^ la moitié de la distance des disques, c'est-à-dire égale à 23™"", 47 ; or, après avoir abaissé le disque supérieur jusqu'à ce que la figure parût exactement cylindrique, la mesure de la hauteur de ce cylindre

(1) Voir la not« du § 81.

a donné, d un coté 23™"^,00, et, du côté opposé, 23"^"",07, moyenne 23™"',03. La différence entre ce résultat et la hauteur théorique 23"'"*,47 est de 0™™,44, qui n est pas les deux centièmes de cette hauteur théorique; elle provient sans doute, en grande partie, de ce qu'il y a toujours une petite incertitude sur le point exact où la forme cylindrique est rigoureusement atteinte.

Bien que cette expérience laisse quelque chose à désirer quant à la précision, on peut cependant, je pense, la regarder comme fournissant une vérification suffisante du principe théorique.

§ 91. Dans un article (^) publié en 1869, M. Lindelôf

rappelle un principe énoncé dans louvrage écrit en

commun par lui et par M. Moigno, principe que

j'ai mentionné au § 81 ; il en tire des formules

générales et des nombres exacts relatifs à la limite

de hauteur du caténoïde partiel compris entre des

bases dont les diamètres ont entre eux un rapport quelconque, et il consigne ses résultats dans deux

tableaux.

Le premier de ces tableaux donne les diamètres des deux bases, la hauteur limite du caténoïde et la distance de la plus petite base au cercle de gorge, quand on suppose le diamètre de ce dernier invariable et pris pour unité , et qu'on fait varier par dixièmes d'unité, depuis 1 jusqu'à 0, le rapport des diamètres des bases.

Le second prend comme quantité constante et égale à l'unité le diamètre de la base inférieure, et fait varier depuis 1 jusqu'à celui de la base supérieure; il contient, dans ces conditions, les hauteurs limites

(1) Sur les limites entre lesquelles le caténoïde est une surface minitna (Annales de mathématiques de MM. Clebsch et Neumann, voL II, p. 160).

RÉSULTATS DBS GËOMÈTIUSS. 151

correspondantes du caténoïde, les diamètres du cercle de gorge, et les distances de celui-ci à la base supérieure. Je reproduis ici ce second tableau :

Diamètre de la base inférieures 1.

DIAMàTRB

HAUTBUR