DIAMÈTRE

DISTANCE DU CRRCLK

OB LA. BASB

• LIMITB

DU CBRCLB

DB QOROB A LA

SUP1&RIEURB.

DU CATéNOlDB.

DB OORQB.

BASB SUPÉRIBURB.

§ 92. Pour terminer ce qui est relatif aux surfaces d'équilibre de révolution, j'ajouterai ici que j ai cherché les expressions des rayons de courbure des lignes méridiennes respectives de londuloïde et du nodoïde au minimum et au maximum de distance à Taxe, et que jai trouvé ces expressions fort simples.

Voyons dabord celles qui concernent londuloïde. Pour y arriver commodément, partons de la formule générale de l'équilibre en fonction du rayon de courbure et de la normale. Désignons par p^ et p^ les rayons de courbure respectivement correspondants aux deux points dont il s'agit, points pour lesquels, en conservant les

notations de Béer (§84), les normales sont «, et «, ; nous aurons ainsi les deux équations

pi «1 /

D'autre part, si nous prenons, comme Béer, Taxe de révolution pour axe des y, et si nous remarquons qu'alors, aux deux points considérés, la tangente est infinie, l'équation [2] du § 84, en y remplaçant successivement X par «, et par a,, nous donnera les deux suivantes :

Cot- ,

d'où, par l'élimination de C, on tire

ai -¥• ai

enfin, substituant cette valeur de C dans les deux équations [a] y on trouve :

cct -4- ati »

pi=-'at , J

' ai — «1

■*-at i

La valeur de p^ est négative, parce que, au point minimum de la ligne méridienne de l'onduloïde, la courbure de cette ligne est concave.

De ces deux expressions on déduit la relation fort simple aussi

Pi ai

^^mm i^M^» ^^^B ^^^ •

pi ~ «. '

ainsi les valeurs absolues des ravons de courbure respectivement correspondants aux distances maxima et minima à Taxe, sont entre elles comme ces mêmes distances.

Appliquons les mêmes considérations au nodoïdo. Si Ton regarde la constante C comme positive, co qui revient à supposer le liquide dans la concavité de la courbe, la normale au point minimum sera évidemment négative; pour cette figure, il faudra donc, dans la première des équations [a], remplacer «, jmr — «,. Quant à la substitution de a^ à, x dans Téquation [2] du § 84, je dois présenter une remarque. D'après la forme et la position de la courbe, l'abscisse x est toujours positive dans réquation dont il s'agit, et, par suite, il en sera de même de «^ qui joue ici simplement le rôle d'abscisse; mais, dans le premier membre de cette équation, x est

multiplié par la quantité . dont il faut déter-

miner le signe au point minimum où sa valeur absolue devient l'unité ; or si nous nous reportons à l'expression

générale ou de la normale, et si nous

nous rappelons qu'au point minimum la normale est négative malgré le signe essentiellement positif de Xf nous en conclurons qu'en ce même point la quantité

^ est égale à — 1 , et qu'ainsi, quand on rem-

placera x par a, , le premier membre de l'équation deviendra — «,.

Il suffira donc, pour le nodoïde, de changer, dans les équations [a] et [3], cc^ en — a,, et conséquemment, pour avoir les valeurs de p^ et de p^ correspondantes à cette