CHAPITRE IV

Figures d'équilibre qui ne sont pas de révolution. Principe général oonoernant la réalisation des surfiftoes à oourburo moyenne nulle. Résultats des géomètres, et vérifloations expérimentales.

S 128. Arrivons aux figures d'équilibre qui ne sont pas de révolution; et d'abord énonçons un principe général qui permet de réaliser, à l'état laminaire, toute surface à courbure moyenne nulle dont on a soit l'équation en coordonnées finies, soit la génération géométrique.

Une surface à cofu/rhire moyenne ntUle étant donnéCy concevez-y tracé un contour fermé quelconque^ astreint aux seules conditions P qu'il circonscrive une portion

Jinie de la surf 04^ , et 2° qtie cette portion n'excède pas la limite de stabilité^ si la surface donnée a de telles limites; ployez un fil de fer de m/inière qu'il figure exactement le contour fermé en qtœstùm; oxydez-le légèrem^entpar de l'acide azotique affaibli; plongez-le entièrement dans le liquide glycériquSy et retirez-le ; vous le trouverez occupé par une lame représentant la portion de surface dont il s'agit.

En effet, la lame qui s'est développée dans le contour solide, et qui remplit nécessairement celui-ci, a ses deux faces dans Tair libre ; elle doit donc ( § 97) se façonner de manière à représenter une portion finie de surface à courbure moyenne nulle passant par le contour en question, c'est-à-dire, conséquemment, une portion de la surface donnée. On réalise ainsi, comme par enchantement, des surfaces qui, pour la plupart, sont fort remarquables; nous en verrons bientôt des exemples.

Dans renoncé du principe ci-dessus, j'ai assigné, comme première condition du contour fermé, qu'il soit de nature à comprendre dans son intérieur une portion finie de la surface donnée; c'est qu'en effet, on peut concevoir des contours fermés qui ne satisfont pas à cette <x)ndition : si, par exemple, on choisissait, comme contour fermé tracé sur un caténoïde, la section par un plan perpendiculaire à l'axe, il est clair que ce contour ne circonscrirait aucune portion finie de la surface, celle-ci s'étendant indéfiniment de part et d'autre de ce même contour.

Quant à la seconde condition, elle est évidente : si la surface donnée a, par rapport au genre de contour qu'on adopte, une limite de stabilité, et si cette limite est dépassée par la portion circonscrite, il est clair que la réalisation de celle-ci sera impossible, et que la lame

(léveloppëe représentera une portion d'une surface ditFérente. Dans ce cas, il y a conséquemmenl deux surfaces distinctes satisfaisant l'une et l'autre aux conditions d'être à courbure moyenne nulle, de passer par. le contour fermé, et d'avoir une portion finie circonscrite par ce contour ; mais pour l'une seulement la portion finie est stable, et c'est elle qui se réalise. Nous verrons aussi un exemple remarquable du cas dont il s'agit.

§ 129. Meusnier avait signalé (^) comme surface telle qu'en chaque point les deux rayons de courbure principaux soient égaux entre eux et de signes contraires, ou, ce qui revient au même, comme surface à courbure moyenne nulle, Théliçoïde gauche à plan directeur, c'est-à-dire l'héliçoïde engendré par une droite qui glisse d'un mouvement uniforme le long d'une autra droite à laquelle elle est perpendiculaire, tandis quelle tourne, d'un mouvement également uniforme, autour de cette même droite.

En. 1842, M. Catalan (2) a démontré que, parmi les surfaces réglées, le plan et l'héliçoïde ci-dessus sont les seules dont la courbure moyenne est nulle.

En 1859, M. Lamarle a repris la question sous un point de vue plus étendu, au moyen de ses méthodes géométriques P) : il a cherché d'une manière générale quelles sont les surfaces réglées dont la courbure moyenne est constante ; il retrouve ainsi, pour le cas de la courbure moyenne nulle, le résultat de M. Catalan, et il fait voir que, dans le cas d'une courbure moyenne finie et con-

(1) Mémoire sur la courbure des surfaces (MéM. db l' Acad. dbs bcibncbs nvi Paris, savants étrangers, 17fê, p. 477).

(2) Sur les surfaces réglées dont l'aire est un minimum (Journ. db M. LiouviLLE, t. VII, p. 203.)

(3) Théorie géométrique des centres et . axes instantanés de rotation (BuLLET. DB l'Acad. DB BELGIQUE, 2*« série, t. VI, p. 412).

stante, il ny a qu une seule surface réglée, savoir le cylindre de révolution.

§ 130. J'ai réalisé, à 1 état laminaire, Théliçoïde gauche à plan directeur. I^a charpente solide employée dans cette expérience est représentée en projection verticale par la ^. 54 : elle se compose dun fil de fer droit servant d'axe , autour duquel circule un autre fil de fer courbé en hélice régulière; ce dernier fil est replié à chacune' de ses extrémités de manière à aboutir à Taxe par une portion rectiligne et perpendiculaire à ce «g. 54.

même axe; ces prolongements rectilignes, qui représentent les deux positions extrêmes de la droite génératrice, sont soudés à Taxe, et maintiennent ainsi l'hélice. Les fils de fer ont environ un millimètre d'épaisseur, le diamètre de l'hélice est de 10 centimètres, et la distance d'une spire à la suivante de 6 centimètres ; enfin il y a deux spires complètes. Ajoutons que tout l'ensemble a été oxydé par l'acide azotique affaibli (§110).

Quand, après avoir plongé cette charpente dans le liquide glycérique et l'y avoir laissée pendant quelques secondes, on l'en retire, on la trouve occupée par une belle lame s'étendant partout de l'axe aux spires, et constituant d'une manière parfaite l'héliçoïde gauche en question.

En effet, l'ensemble formé par l'hélice en fil de fer, les deux parties qui la rattachent à l'axe, et la portion de celui-ci comprise entre ces deux droites, constitue un contour fermé qu'on peut évidemment concevoir tracé tout entier sur un héliçoïde gauche à plan directeur,

et qui en comprendrait dans son intérieur une portion finie; or la lame forcée, d'une part, d'adhérer à tout ce contour, et, d'autre part, de se façonner en surface à courbure moyenne nulle, doit nécessairement prendre la figure qui satisfait à ces deux conditions, c'est-à-dire celle de l'héliçoïde dont il s'agit.

Cette expérience est, on le voit, une première application du principe général du § 128.

§ 131. M. Lamarle, considérant d'une manière générale les héliçoïdes engendrés par une courbe plane qui se meut uniformément le long d'une droite fixe située dans son plan, tandis qu'elle tourne, d'un mouvement uniforme aussi, autour de cette même droite, a cherché (^) quels étaient ceux qui pouvaient satisfaire à la condition d'une courbure moyenne constante, et il a trouvé ainsi, outre l'héliçoïde gauche à plan directeur, quatre autres surfaces. Ces cinq héliçoïdes correspondent respectivement à cinq des figures d'équilibre de révolution, savoir au plan, à la sphère, à l'onduloïde, au caténoïde et au nodoïde. Quant à celui qui correspond au cylindre, c'est le cylindre lui-même.

L'équation différentielle des courbes génératrices de ces héliçoïdes s'intègre par les moyens ordinaires dans les cas correspondants au plan et au caténoïde ; dans ce dernier, elle donne une surface déjà connue, et dont nous reparlerons. Dans les autres cas, l'équation s'intègre par les fonctions elliptiques.

Chacune des lignes méridiennes des figures d'équilibre de révolution, à l'exception de celles du plan et du cylindre, passe à la courbe génératrice de l'héliçoïde correspondant, en s étendant simplement dans la direc-

i\)Sur une classe particulière de surfaces à aire minima (Bullbt. de l'Acad. de Belgique, 1850, 2"« série, t. VI, p. 329)!

tion de Taxe suivant une certaine loi, et en conservant les distances de ses différents points à cet axe. D après ce résultat, la demi-circonférence qui constitue la ligne méridienne de la sphère devient une courbe plus allongée, dont le sommet est distant de Taxe d une quantité égale au rayon de la demi-circonférence en question; la ligne méridienne de londuloïde se change en une autre courbe ondulée, qui s'approche et s'éloigne autant de l'axe, mais dont les ondulations sont plus longues ; etc. La ligne méridienne du plan étant une droite perpendiculaire à l'axe, ne peut subir de modifications dans le sens de celui-ci, elle reste telle qu'elle est, et engendre Thélicoïde gauche à plan directeur; enfin la ligne méridienne du cylindre ne peut non plus se modifier, et elle engendre, comme héliçoïde, ce même cylindre.

Ajoutons que la solution de M. Lamarle comprend nécessairement les figures de révolution , celles-ci étant ce que deviennent les héliçoïdes dont il s'agit quand la vitesse de translation de la courbe génératrice est nulle.

§ 132. La courbe génératrice de l'héliçoïde dérivé de la sphère, courbe pour laquelle M. Lamarle a trouvé une construction assez simple, aboutit à l'axe sous des angles aigus ; il faut donc, pour la continuité, la concevoir se prolongeant de l'autre côté de l'axe par des arcs symétriques au précédent, puis repassant du premier côté, et ainsi de suite, en formant une ligne ondulée indéfinie, symétriquement coupée par l'axe dans toute son étendue. Dans un cas particulier calculé par M. Lamarle, où chacun de ces arcs, pendant qu'il glisse d'une quantité égale à la longueur de sa corde, eff'ectue à fort peu près sept neuvièmes de révolution, la courbe est celle que représente la Jig, 55. Si l'on coupe par un plan perpendiculaire à l'axe l'héliçoïde engendré, la section

a la forme représentée fig, 56 ; tj est le point par où passe Taxe.

J ai réalisé partiellement ce même héliçoïde, en ne prenant que la figure engendrée par un seul des arcs de la courbe de la ^. 55. Alors la section transversale n est que la moitié de la courbe de la jig. 56, savoir la courbe ahcdfa. J'ai fait façonner, en fil de fer, trois courbes égales de cette dernière forme, plus deux plaques de fer ayant encore la même ligne pour contour, et destinées à servir de bases à la figure liquide.

Ces pièces avaient des dimensions environ doubles de celles de la Jig. 56 ; elles ont été fixées transversalement, chacune par son point a y et dans des azimuts différant successivement lun de Tautre de 90, en cinq points équldistants d'un fil de fer droit vertical; celui-ci était entouré de fil de coton, et porté sur un petit pied. Chacun des intervalle^ entre ces mêmes pièces était, en conséquence du calcul de M. Lamarle, les 0,324 de la corde de Tun des arcs de la courbe génératrice {Jig. 55). Ce système ayant été placé dans le mélange alcoolique, on a fait adhérer à lensemble des cinq courbes, en employant des précautions convenables, ^^' ^^' une masse d'huile en excès ; puis on a enlevé graduel-

Fig. 65.

lement de ce dernier liquide, jusqu'à ce que la surface de la figure passât exactement et d'une manière continue par les contours des cinq courbes. Ce point atteint, la figure liquide réalisait parfaitement une spire complète de l'héliçoïde qu'il s'agissait d'obtenir. Je n'ai point figuré le résultat ici, à cause de la difficulté de le bien représenter par la gravure ; mais on s'en fera aisément une idée.

Les parties ha eifa [fig. 56) de la courbe forment, en a^ un angle rentrant, et il est impossible, avec un système solide composé de fils de fer nus, de réaliser une figure d'huile présentant un angle de cette espèce (§31) : toujours l'huile passe au delà de l'arête, et vient remplir en plus ou moins grande quantité l'ouverture de l'angle; c'est pour écarter cet inconvénient que l'on entoure de fil de coton le fil de fer droit qui sert d'axe à l'héliçoïde; l'huile ne peut franchir l'obstacle que lui oppose le coton imbibé de liquide alcoolique, et l'angle rentrant se maintient.

§ 133. L'équation diflTérentielle générale des surfaces à courbure moyenne nulle, c'est-àrdire l'équation [3] du § 2 dans laquelle la constante C est égale à zéro, a été, de la part des géomètres, le sujet de nombreux travaux.

Nous allons passer en revue ceux dont la publication a précédé 1870, en nous bornant à ce qui peut otFrir de l'intérêt pour notre ouvrage, et nous décrirons en même temps plusieurs vérifications expérimentales.

On se rappellera que les surfaces dont il s'agit sont indiflTéremment appelées (§2) surfaces à courbure moyenne nulle, surfaces à aire minima, et surfaces dont les rayons de courbure, en chaque point, sont égaux et de signes contraires.

Monge a donné le premier ^^^ une intégrale de leur équation ; mais cette intégrale est d'une forme compliquée, qui en rend l'usage très-difficile.

Cependant ^f. Scherk, qui s'était déjà occupé de la question dans un premier Mémoire (2) publié vers 1831, l'a reprise en 1835 dans un second travail (3), et, partie au moyen d'une méthode spéciale, partie en traitant l'intégrale de Monge, il parvient à trouver, en coordonnées finies, outre les équations de l'héliçoïde gauche à plan directeur et du caténoïde, déjà connus par les recherches de Meusnier W, celles de cinq autres surfaces ; voici ces équations :

cos Dx '

où

a? = p cos 6, et y = p sin G ;

ou

t=l'\'^ -=00089, et y = psin9;

/i T 1 , . /ï T I 4sin'-a?H-p 1 *+\/îP+î'c«'^;« 1 -*-\/;P+-<cc»éc-x 2 ^

(\)Sur le calcul intégral des équations aux diférences partielles (Mém. DE l'Acad. des sciences DE Pabis, 1784, p. 118).

(2) De proprietatibus super/leiei quœ hac continetur œquatione : (\~^q*)r—2pqs-^(l'^I^)t=zo disquisitiones analffticœ (Acta Societ. Jablonovian^, vol. IV, p. 204, Leipzig).

C3) Bemerkungen ueber die kleinste Flàche innerhalb gegebener Grenzen (Journal de Crklle, t. XIII, p. 185).

(4) Voir la première note du § 129.

OÙ

^=4 8in*-aî •i-y'cosa?=pcosO, et y*siiia?=psinO;

sin Di? = db • •

Ajoutons que l'auteur parvient à déduire de la première de ces équations^ cette autre plus générale :

^ . .a . cosB[a?cosa-*-ysina-t-(il

cosB[â;cosP -^ ysinP -♦- }]

Il annonce que, dans un Mémoire ultérieur, il soumettra à une recherche particulière la première des équations ci-dessus, dans ses rapports avec la dernière ; j'ignore si ce Mémoire a été publié ; je n'ai pu le trouver.

§ 134. En 1843, M. Bjôrlirig(0 a cherché, comme M. Scherk, à tirer parti de l'intégrale de Monge; mais il astreint la surface à passer par une courbe donnée, et, pour particulariser cette même surface, il soumet à une loi également donnée la direction de la normale le long de la courbe en question. Sa méthode doit probablement conduire à des équations finies représentant de nouvelles surfaces; mais l'application qu'il choisit comme exemple ne fournit que le caténoïde.

§ 135. M. Ossian Bonnet, en employant un système de coordonnées auxiliaires, est parvenu en 1853 à une intégrale générale (2), qui ne présente pas l'inconvénient de celle de Monge; on pourra, sans doute, déduire de ses formules, en coordonnées ordinaires et sous forme finie, les équations d'un grand nombre de nouvelles surfaces.

(\) In intégrât ion em œquationis deriwUarum partialium superjlciei, CHjus in puncto unoquoque principales ambo radii curvedinis œquales sunt signoque contrario (Archives de Grunsrt, 1844, vol. IV).

(2) Note sur la théorie générale des surfaces (Comptes rendus, t. XXXVII, p. 529).

RÉSULTATS DBS GÉOMÈTRES. 223

M. Bonnet signale, comme exemple des résultats qu'on tire de son intégrale, une surface qui, pour certaines valeurs des constantes, se réduit, d une part, à l'héliçoïde gauche, et, d'autre part, au caténoïde; cette surface était déjà connue ; c'est celle qui est représentée par la seconde des équations de M. Scherk ; c'est aussi celui des héliçoïdes de M. Lamarle (§ 131) qui correspond au caténoïde.

En 1855 et 1856, M. Bonnet a, en outre, appliqué sa méthode(i) au problème déjà traité par M. Bjôrling; mais il ne donne non plus l'équation, en coordonnées finies, d'aucune nouvelle surface.

Il a repris ces questions en 1860, dans un Mémoire développé (2); il y expose une génération géométrique de la surface mentionnée plus haut; voici cette génération :

Concevons, dans le plan des œy^ l'hyperbole représentée par l'équation

et prenons la partie située du coté des œ positifs pouf base d'une surface cylindrique parallèle aux z. Sur cette surface traçons une courbe telle que* la coordonnée z de l'un quelconque M de ses points soit dans un rapport

constant égal à — - avec le secteur hyperbolique compté

à partir du demi-axe réel qui aboutit au sommet (x=»ayi/^=^o)y et terminé au demi-diamètre qui aboutit

(1) Sur la détermination des fonctions arbitraires qui entrent dans l'équa^ tion intégrale des sur/aces à aire minima (Comptes rendus, t. XL, p. 1 107). — Nouvelles remarques sur les surf aces à aire minima (Ihid., tome XLII, page 532).

(2) Mémoire sur l'emploi d'un nouveau système de variables dans l'étude des propriétés des surfaces courbes (Journ. de M. Liouvillb, 2">« série, t. V, page 153).

à la projection du point M sur le plan des xy\ enfin donnons à cette espèce d'hélice hyperbolique un mouvement héliçoidal direct autour de Taxe des ^, de façon que les hélices décrites par ses différents points aient toutes 2;r^ pour pas; la surface ainsi obtenue sera la surface cherchée.

§ 136. En 1855, M. Serret a indiquées une transformation de l'intégrale de Monge, qui permet de représenter toutes les surfaces à courbure moyenne nulle passant par des droites données non situées dans le même plan. Son Mémoire, du reste, ne contient pas de nouvelles équations en coordonnées finies.

§ 137. M. Catalan a publié, en 1855 encore (2), deux Notes dans lesquelles il arrive à des surfaces particulières.

La première de ces surfaces coïncide avec la première de celles de M. Scherk ; mais M. Catalan en détermine la forme, qu'il décrit de la manière suivante :

La surface dont il s'agit coupe le plan des xy suivant des droites qui font des angles de 45'' avec les axes des X et des y, et qui partagent tout le plan en carrés égaux ; deux de ces droites se coupent à l'origine des coordonnées. La surface admet, en outre, un système de droites perpendiculaires à ce même plan, et qui divisent en deux parties égales les cotés des carrés ci-dessus. Elle est composée d'une infinité de nappes identiques dont chacune est comprise tout entière entre quatre plans asymptotiques formant un canal à section carrée

(1) Sur la moindre surface comprise entre des lignes droites données ^ non situées dans le même plan (Comptes rsndus, tome XL, p. 1078).

(2) Sur une surface dont les rayons de courbure, en chaque point, sont égaux et de signes contraires (Comptes rendus, t. XLI, p. 35), et Sur deux surfaces qui ont, en chaque point, leurs rayons de courbure égaux et de signes contraires (Ihïà., p. 274).

de longueur indéfinie; les arêtes de tous ces canaux sont les droites du dernier système. On peut se représenter la section de lensemble de ces mêmes canaux par le plan des xy comme un échiquier indéfini, dans lequel les cases noires répondraient aux canaux renfermant les nappes de la surface, et les cases blanches à des espaces vides ; les cases noires contiendraient à leurs centres les sommets des premiers carrés dont il a été question plus haut. Toutes les nappes étant identiques, il suffit d en considérer une, et nous prendrons celle qui entoure Taxe des z. Elle est coupée par le plan des xz suivant une courbe située tout entière au-dessus de Taxe des x^ qui touche cet axe à l'origine, qui a pour axe de symétrie l'axe des z^ et qui présente deux branches infinies ayant pour asymptotes les sections du canal rectangulaire par le plan des xz. La même nappe est coupée par le plan des yz suivant une courbe identique à la précédente, mais renversée, et située tout entière au-dessous de l'axe des y, qu'elle touche aussi à 1 origine. Si l'on imagine que la première de ces courbes glisse sur la seconde en demeurant parallèle à elle-même, elle engendrera la nappe dont il s'agit. On se fera donc aisément une idée de celle-ci, et comme il est clair que toutes les nappes se relient entre elles par les droites du dernier système ci-dessus, on pourra se figurer l'ensemble de la surface. On voit que chacune des nappes prise isolément a une grande analogie avec le paraboloïde hyperbolique.

La seconde des surfaces de M. Catalan est donnée par un système de quatre équations, entre lesquelles il faudrait éliminer trois quantités ; mais cette élimination, si tant est qu'elle soit possible, serait certainement fort difficile. L'équation de la troisième suris

face coïncide encore avec la deuxième de celles de M. Scherk.

M. Catalan a présenté, en outre, dans la même année, à r Académie des Sciences de Paris, un Mémoire (^) dans lequel il parvient, d'une autre manière que M. Bonnet, à rintégrale, sous forme réelle, de l'équation générale. Des solutions qu'il tire de ses calculs. Tune se réduit, par une transformation convenable, à la dernière des équations de M. Scherk; trois autres sont données par des systèmes d'équations entre lesquelles il faudrait effectuer des éliminations di^ciles, mais, pour l'une de ces dernières, M. Catalan parvient, sans faire l'élimination, à la génération de la surface, génération que voici :

Concevez une circonférence de cercle roulant sur une ligne droite et dont un point S décrit ainsi une cycloïde ; concevez, en outre, la cycloïde enveloppe du rayon mobile passant par le point S, et soit P le point de contact ; imaginez enfin, dans un plan perpendiculaire à celui de ces cycloïdes, une parabole dont la directrice soit projetée en P, et qui ait S pour sommet; cette dernière courbe, variable de grandeur, engendrera la surface.

Enfin, en 1858, a paru le Mémoire in extensoC^) dont les articles que je viens de résumer étaient des extraits développés.

§ 138. J'ai réalisé, toujours par le procédé des lames, une portion de l'une des nappes de la première des surfaces ci-dessus, savoir de celle qui coïncide avec la première de M. Scherk. J'ai choisi une portion terminée à égale distance au-dessus et au-dessous du plan des œy,

(1) Sur les surfaces dont les rayons de courbure^ en chaque points sont égaux et de signes contraires (Comptes rendus, t. XLI, p. 1019).

(2) Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbure^ en chaque point y sont égaux et de signes contraires ^ (Journ. de l'École Polytechn., liT""' cahier, p. I29j.

On comprend, par la description de la surface, qu'il suffira de former la charpente solide de quatre fils de fer droits égaux en longueur, disposés comme les quatre arêtes latérales d'un prisme droit à base carrée, et dont les extrémités soient réunies d'une manière convenable par des fils de fer transversaux arqués suivant des courbes déduites de l'équation de la surface. Pour nous exprimer plus nettement, supposons la charpente placée de façon que les quatre fils de fer droits soient verticaux, et que, par rapport à l'observateur, deux de ces fils soient en avant des deux autres ; il faudra qu'à la partie inférieure du système, un fil transversal réunisse les extrémités des deux fils verticaux antérieurs, et un autre les extrémités des deux fils verticaux postérieurs, et qu'à la partie supérieure, un fil transversal réunisse l'extrémité du fil vertical antérieur de droite à celle du fil vertical postérieur de droite, tandis qu'un autre réunit de même l'extrémité du fil vertical antérieur de gauche à celle du fil vertical postérieur de gauche. Les milieux des fils transversaux supérieurs seront d'ailleurs réunis par une fourche, afin qu'on puisse tenir la charpente pour la plonger dans le liquide.

La courbure des fils transversaux varie nécessairement avec le rapport entre la hauteur et la largeur de la charpente. J'ai pris d'abord la hauteur égale à la largeur; en d'autres termes, j'ai considéré la portion de la nappe qui s'étend au-dessus et au-dessous du plan des xy d'une quantité égale à la demi-largeur de cette nappe. M. Catalan met l'équation de la surface sous la forme :

COSâ?

Si, pour plus de simplicité, on considère en particulier la nappe qui entoure l'axe des z. on verra sans peine que.

228 FIGOKES D'ÈQUILIBOB NON DE RÉVOLUTION ;

dans l'équation ci-dessus, la demi-largeur de cette nappe est représentée par ^ ; il faudra donc, pour avoir l'équation des courbes qui doivent terminer supérieurement et inférieurement la charpente solide, faire s = ±-. d'où l'on déduira

oosy^e"'- cosa: [2]

J'ai supposé à la charpente solide une lai^ur et une

i hauteur de 9 centimètres ; les

courbes ont été dessinées en conséquence d'après l'équation 12], I I et j'ai fait construire la char-

pente ; elle est représentée en perspective par la fy. 57. Quand ou la retire du liquide glycérique, la lame qu'elle contient offre auxyeux la réalisation parfaite de la portion cherchée de la surface. La Jig, 58 montre, en projection ver- "*■ "■ ticale suivant deux directions rec-

tangulaires, le résultat ainsi obtenu.

Ici, comme dans le cas de l'héliçoïde gauche à plan

! directeur (§ 130), la charpente en fil de fer constitue un contour fermé qu'on peut se figurer entièrement tracé sur la surface dont nous "'■ '•■ nous occupons , et la

lame, qui doit passer par tout ce contour et avoir une courbure moyenne nulle, est obligée de se façonner suivant la suriace qui remplit cette double condition ; c'est

donc là encore une application de mon principe général (§ 128).

On peut se demander si la surface se réaliserait de même pour un rapport beaucoup plus grand entre la hauteur et la largeur de la charpente solide ; cette réalisation suppose, en effet, que la nappe, prise ainsi sur une partie plus considérable de son étendue, ne devient point instable. Afin d'essayer la chose, j'ai fait construire une seconde charpente ayant 10 centimètres de hauteur et 2,5 de largeur, cest-à-dire une hauteur quadruple de la largeur. En cherchant lequation des portions courbes qui conviennent à ce rapport, ce qui s'obtient en faisant, dans l'équation [1], ij = 2îr, j'avais trouvé que ces courbes se réduisaient sensiblement à des lignes droites, de sorte que la nouvelle charpente ne se compose que de parties rectilignes. Or la lame qui s'y est formée n'a point réalisé la surface décrite par M. Catalan : elle a pris une figure consistant encore en deux parties creuses disposées à angle droit l'une par rapport à l'autre ; mais leur sommet commun , au lieu d être au milieu du système, se trouvait environ quatre fois plus éloigné de lune des extrémités que de l'autre ; en outre , en répétant l'expérience plusieurs fois , on a vu ce sommet commun se placer tantôt vers l'extrémité supérieure, tantôt vers l'extrémité inférieure. J'ai dû conclure de là que la nappe de la surface décrite par M. Catalan a une limite de stabilité, et que j'avais dépassé cette limite.

L'expérience que je viens de décrire nous offre donc un exemple du cas où la seconde condition énoncée dans le principe général du § 128 n'est pas satisfaite (0.

(l) Bien que je me sois fait une règle de clore mes indications historiques à la (in de 1869, je dirai cependant ici que M. Schwarz, dans une note

21X1 FIGURES D'ÉQUILIBRE NON DE ItâVOLUTlON ;

Je me suis dit alors qu'on donnerait probablement de la stabilité à la figure cherchée en profitant de la propriété consistant en ce que la nappe contient, comme on l'a vu, deux droites dirigées suivant les diagonales de la section du canal rectangulaire par le plan des xy; j'ai pensé qu'en rendant solide l'une de ces diagonales, on obligerait le sommet commun des deux parties creuses à demeurer au centre du système. J'ai donc fait adapter, au milieu de la hauteur de la nouvelle charpente, I un fil de fer très-mince qui traverse celle-ci , comme on le voit dans la ^. 59, et, en efi'et, I par ce moyen, la surface de MM. Scherk et

I I Catalan s'est parfaitement réalisée dans la charpente en question.

g 139. M. Van der Mensbrugghe , appliquant, de son côté, mon principe général, a redise O, en 1866, la cinquième des surfaces de M. Scherk. La discussion de l'équation lui a montré que la charpente la plus simple à employer devait se composer de deux rectangles égaux ayant leurs grands côtés quadruples des petits, et se coupant à. angles droits par les milieux de ces grands côtés {Jg. 60). A la rigueur, les petits côtés devraient être courbes; mais, avec le

atitiesââ à son Mëmoire publié en 1871 (voir le n' 13 du % 508), considère ue'.te instabilité comme due à ce que la charpeate étant formée de flis d'une épaisseur notable, et présentant nécessairement de petites irrëgnlarités, la Burrace en question ne saunùt s'y réaliser rigoureusement; sans ces imperrections de la charpente, la surface, avec son somraet au milieu, serait, selon M. Schwai-z, en conséquent d'une démonstration mathématique, parfaitement stablo. S'il en est réellement ainsi, l'instabilité que J'ai constatée appartiendrait, non à la surface de M. Scherk, mais à une autre surface qui en serait très-voisine.

(1) DUeuition et réaiitation expérimentale d'une turfaee partiatHire à courbure moyenne nulle (Bullbt. db l'Acad. db Dbluique, 2"" série, t XXI, p. B62).

Zil

¥ig. 60.

car on s'assure

rapport ci-dessus, leur courbure serait si faible, qu'on peut les laisser droits sans qu'il en résulte de différence appréciable entre la surface laminaire produite et la surface théorique ; cela tient à ce que les plans des rectangles sont asymptotiques de cette dernière.

La charpente ainsi construite ne représente pas un seul contour fermé, comme le voudrait mon principe, mais bien l'ensemble de deux de ces contours ; et ceux-ci ne sont pas les deux rectangles eux-mêmes, aisément, par la discussion, qu'aucun de ces derniers ne satisfait à la condition, exigée par mon principe, de circonscrire une portion finie de la surface. Si Ion considèi'e isolément la partie de la charpente composée d'une moitié de l'un des rectangles et d'une moitié de l'autre, on aura le premier des deux contours fermés réels, et la partie opposée sera le second ; et, en effet, quand on retire la charpente du liquide glycérique, c'est dans ces deux parties opposées que se trouve logée la figure laminaire.

Ces mêmes parties comprennent, on le voit, deux des quatre angles dièdres droits formés par les rectangles, et il est clair qu'il n'y a pas plus de raison pour que la figure laminaire se développe dans ces deux angles que dans les deux autres; aussi, quand la charpente est bien construite, et qu'on répète plusieurs fois l'expérience, c'est tantôt l'un des couples d'angles opposés, tantôt l'autre, qui se trouve occupé.

La charpente s'écartant de mon principe en ce qu'elle présente deux contours fermés au lieu d'un seul, le

système laminaire réalisé contient une lame supplémentaire ; celle-ci est plane, elle a la forme d un ovale dont les sommets sont aux deux points d'intersection des rectangles, et dont le plan est bissecteur des deux angles dièdres qui renferment toute la figure ; pour obtenir le résultat que Ton cherche, cest-à-dire une portion de la surface de M. Scherk, il suffit de crever la lame supplémentaire dont je viens de parler ; la figure laminaire offre alors en son milieu un espace vide, et c est aussi ce quon déduit de lequation.

On pourrait façonner séparément un seul des deux contours fermés, de sorte qu'on se trouverait rigoureusement dans les conditions de mon principe ; alors il ne se formerait qu'une lame unique, et celle-ci représenterait exactement la moitié de la figure que fournit la charpente entière après la rupture de la lame additionnelle; si M. Van der Mensbrugghe a réuni les deux contours fermés, c'est afin de réaliser une portion plus complète de la surface. Il s'est assuré d'ailleurs, par des mesures au cathétomètre, que la lame produite coïncidait, sans erreur appréciable, avec la surface théorique.

Enfin il a poursuivi, au moyen de l'équation, la surface au delà des grands côtés des rectangles, et il a fait voir comment on pouvait étendre la réalisation hors des mêmes limites, à l'aide d'une charpente convenable nyinie de fils supplémentaires, sans lesquels la figure ainsi agrandie serait instable; le résultat est fort curieux, mais sa description exigerait trop de place.

§ 140. M. Mathet a fait connaître (0, en 1863, une méthode au moyen de laquelle on peut former l'équation

(1) Étude sur un certain mode de génération des surfaces d'étendue minimum (Journal de M. Liouvillk, 2"« série, t. VIII, p. 323).

différentielle de toutes les surfaces à courbure moTenne nulle qui passent par une courbe plane donnée.

§ 140-. Dans un Mémoire (0 de l'année 1864 , M. Enneper a exposé une méthode nouvelle pour Tintégration de l'équation générale des surfaces à courbure moyenne nulle, et il en déduit, comme application, réquation algébrique suivante :

tr<— X* 2 8 V r y*— x« 2 8 1«

La surface représentée par cette équation contient deux droites situées dans le plan des xy, et bissectrices des angles entre les axes des x et des y.

§ 141, En 1865, M. Schwara a communiqué à TAcadémie de Berlin une Note (2) dans laquelle il résume une partie des résultats qu'il a obtenus à Tégard d une surface particulière à aire minima. Cette surface est astreinte à passer par le contour formé de quatre arêtes d'un tétraèdre régulier, choisies de manière à constituer un quadrilatère gauche. M. Schwarz a réalisé, à l'état laminaire, la portion comprise dans ce contour, au moyen d^une solution de gélatine : la lame, devenue solide par l'évaporation de l'eau, lui a donné ainsi une figure permanente.

Cette figure est, comme on devait s'y attendre, en forme de selle ; outre les côtés du quadrilatère gauche, elle admet deux autres droites encore, savoir celles qui joindraient respectivement le milieu de chacun de ces cotés au milieu du côté opposé. Enfin M. Schwarz par-

(1) Ânalytisch-geometrùche Untersuchungen (Zbitschrift fUr Mathb- MATiK UND Physik DE ScHLÔMiLCH, 9"« année, p. 96).

(2) Ueber die Minimum^àche, deren Begrenzung als ein von vier Kanlen eines reguîâren Tetràeders gebildetes ivindschiffes Viereck gegebén iêt, (BuLLET. DE L*ACAD. DE BERLIN, séancG du 6 Avril).

vient à poursuivre la surface au delà du contour indiqué, et à en déterminer la disposition générale : la surface totale est formée de portions identiques à celle ci-dessus, juxtaposées d'une certaine façon, et elle est fort curieuse (^).

§ 142. Un Mémoire posthume de RiemannC-^), publié en 1867, contient une recherche générale des surfaces à aire minima passant par plusieurs lignes limites. L'auteur applique sa méthode d abord au cas où ces limites sont des droites, dont plusieurs peuvent se couper, par exemple eh formant un quadrilatère gaucho ; puis à celui où les limites sont deux circonférences de cercle quelconques situées d'une manière quelconque dans des plans parallèles. Ses résultats sont exprimés par des systèmes d'équation renfermant des intégrales indiquées, et il ne donne l'équation complète d'aucune surface en coordonnées finies.

§ 143. En 1867 également, dans un Mémoire couronné par l'Académie de Berlin (3) , M. Schwarz a repris le problème de la surface à aire minima passant par quatre

(1) M. Schwarz a eu l'obligeance de m'envoyer des modèles en plâtre de portions étendues de la surface en question. On comprendra delà manière suivante le contour de l'un de ces modèles : qu'on trace un hexagone régulier, supposé horizontal pour tixer les idées; que, dans le même plan, on construise, sur chacun des côtés comme base, un triangle équilatéral ayant son sommet en dehors de l'hexagone ; qu'on imagine trois de ces tiiangles, non adjacents, tournant autour de leurs bases comme charnières, jusqu'à ce que chacun d'eux fasse, avec le plan de l'hexagone et au-dessus de celui-ci, un angle égal aux angles dièdros d'un tétraèdre régulier ; qu'on imagine de même les trois autres triangles tournant autour de leurs bases de la même quantité que les premiers, mais au-dessous du plan de l'hexagone; enfin qu'on supprime les bases de tous les triangles, on aura le contour cherché; je l'ai fait construire en 111 de fer, et j'ai réalisé ainsi parfaitement, avec du liquide glycérique, la portion comprisedelasurfacediscutéeparM. Schwarz.

(2) Ueàer die F lâche vom kleinsien Inhalt beigegebener Begrenzunff. (Mém. de Gôttingue, vol. XIII).

(3) Mém. de VAcad. de Berlin pour Vannée 1867, introduction historique, page IX.

droites qui forment un quadrilatère gauche; mais, dans la première partie de ce Mémoire, il traite un cas plus général que dans sa communication de 18G5: les côtés du quadrilatère n'appartiennent plus à un tétraèdre régulier; seulement deux côtés adjacents sont égaux entre eux, et les deux autres sont de môme égaux entre eux. Dans la seconde partie, l'auteur trouve, pour le cas spécial du tétraèdre régulier, que 1 équation finie de la surface est exprimée rationnelleinent par des fonctions elliptiques des coordonnées. Il traite de même une seconde surface qu'il fait dériver de la première par une flexion de celle-ci; enfin il a joint à son travail des modèles en plâtre de chacune de ces deux surfaces. Le Mémoire in-extenso n était pas encore imprimé à la fin de 1809.

Le même savant a présenté, en 1867 et 1868, sur les surfaces à aire minima, d'autres Mémoires qui n'étaient pas non plus imprimés à la fin de 1869, et qui renferment des résultats fort remarquables ; il a bien voulu me donner communication des principaux, en m'autorisant à les mentionner. Voici ceux qui m'ont paru oifrir le plus

d'intérêt :

1'* Lorsqu'une surface à aire minima est telle qu'on peut y concevoir tracée une ligne droite, il y a symétrie par rapport à celle-ci, en ce sens que si l'on considère à part toute la portion de la surface qui s'étend d'un côté de la droite, et qu'on la fasse tourner de 180* autour de cette droite comme axe, on obtient la portion située de l'autre côté. C'est ce qu'on vérifie aisément, par exemple, à l'égard de l'héliçoïde gauclie à plan directeur, de la première des surfaces discutées par M. Catalan (§ 137), et de celle que M. Van der Mensbrugghe a partiellement réalisée (§ 139).

Une conséquence immédiate de ce beau théorème, c'est

que si Ton réalise une figure laminaire au moyen d'un contour solide fermé qui ne se compose que de lignes droites, on peut prolonger idéalement la surface au delà de ce contour : cest ainsi, par exemple, qu on trouve ce que devient, à lextérieur du quadrilatère gauche, la surface qui s'appuie sur les côtés de celui-ci.

2^ On peut déterminer complètement, par les fonctions elliptiques, la surface quon réalise partiellement en soulevant hors du liquide glycérique, parallèlement à la surface de ce dernier, un carré en fil de fer, et en s arrêtant à une hauteur moindre que celle où la figure se modifierait spontanément (^).

On détermine de même, à laide des fonctions elliptiques, la surface partiellement réalisée par M. Van der Mensbrugghe, dans le cas où le rapport entre la longueur commune des deux rectangles solides et leur hauteur est quelconque, grand ou petit.

(1) Je ne puis résister au désir d'énoncer, à propos de cette surface, un second théorème trouvé par M. Schwarz, théorème aussi remarquable que le précédent, mais qui, je crois, n'a pas été publié ; le voici :

Lorsqu'une surface à courbure moyenne nulle peut être coupée par un plan de telle manière que, tout le long de la section, elle ait ses éléments perpendiculaires à ce plan, elle présente, par rapport à celui-ci, la symétrie qui existe entre un objet posé sur un miroir plan et l'image de cet objet.

Ce théorème est applicable à la surface dont il s'agit, car loi*squ'on a soulevé le carré en fil de fer, les éléments de la lame sont tous verticaux .le long de la crête de la petite masse qui la rattache au liquide, et sont conséquemment perpendiculaires au plan honzontal qui passerait par cette crête. Si maintenant l'on considère que la surface contient les quatre droites dont les côtés du carré font partie, on voit qu'on peut lui appliquer également le premier théorème, et Ton arrive de la sorte à la concevoir dans tout son ensemble indéfini. Prise ainsi dans sa totalité, elle jouit de cette propriété singulière que, si on l'envisage comme appartenant à une masse liquide, l'espace qu'elle laisse vide constitue, en creux, une figure identique à celle de l'espace plein.

Les deux théorèmes de M. Schwarz procurent donc une merveilleuse facilité pour la prolongation d'un grand nombi*e de surfaces à courbure moyenne nulle au delà des limites données.

Enfin M. Schondorff a traité, de son coté, dans un Mémoire (H couronné aussi en 1867, mais par la Société de Gôttingue, la question de la surface à aire minima qui s appuie sur un quadrilatère gauche ; ce quadrilatère est astreint à la même condition que celui de M. Schwarz.

§ 143^*". En 1867 encore , M. Enneper a donné (2) l'équation suivante :

bs bx 6y 6y

008 oz=^ V ^ h*

Cette équation, si Ion y fait k = k' ="7=> peut être mise sous la forme :

Aco8bz=\e ^ —e ^^ J\^ ^'' — « ^^ /

et si, dans cette dernière, on fait "t=^ = x\ .^ = y ,

eibz = ---bz\ ce qui revient à faire tourner de 45°

les plans des xz et des yz, et à déplacer lorigine, sur Taxe

des z^ d une quantité égale à —, on retrouve la dernière

des équations de M. Scherk (§ 133) ; l'équation de M. Enneper est donc une généralisation de celle-ci. Je dois cette remarque, et Tindication des transformations ci-dessus, à lobligeance de M. Schwarz.

§ 144. Cest ici le lieu de décrire deux véri'xations expérimentales qui me paraissent dignes d'intérêt. Il est permis d'inférer des recherches des géomètres que, par un contour déterminé quelconque, peuvent passer une

(1) Ueber die Minimalflàche die von einem doppeU-gleiehschenkligen ràumlichen Viereck begrenzt wird, Gôttingue, 1868.

(2) Analytisch'Geometrische Dntersuchungen (Bullet. de la Soc. Roy. de Gôttingue, 1867, p. 277).

infinité de surfaces à courbure moyenne nulle, du moins lorsqu'on n'introduit aucune autre condition. D'après cela, si l'on construit, en fil de fer légèrement oxydé, un contour fermé non plan et de telle forme qu'on voudra, qu'on le plonge dans le liquide glycérique et qu on l'en retire, on doit croire qu\ine surface de ce genre pourra toujours s'y réaliser à l'état laminaire, et que, par conséquent, on devra le trouver occupé par une lame unique qui le remplit entièrement.

Or c est ce que l'expérience confirme : j'ai fait façonner en fil de fer les contours fermés les plus divers et les plus bizarres, et, à leur émersion du liquide glycérique, chacun deux s est toujours montré, soit immédiatement, soit après une petite manœuvre dont je vais parler, rempli en totalité par une seule lame.

Quand le contour fermé a une certaine complication, la lame qui s'y développe est souvent accompagnée de lamelles additionnelles ; mais il suffit alors de crever celles-ci, ce qui se fait aisément avec une pointe de papier à filtre, pour ne plus avoir qu'une lame unique.

Quelquefois aussi une portion de la lame prend, pendant (|ue le système sort du liquide, une mauvaise direction, et va s'attacher, au moyen d'une arête liquide, à une autre portion de cette même lame ; dans ce cas, on ne peut crever; mais, en variant la position du contour solide pendant qu'on le retire, on finit par éviter l'inconvénient dont il s'agit. Avec ces précautions, on réussit constamment à réaliser une lame unique attachée à la totalité du contour solide, et l'on produit ainsi, par un moyen fort simple, des surfaces très-belles et très-variées. Pour donner une idée de la singularité et de la complication des contours fermés que j*ai soumis à l'expérience, j'en décrirai ici deux en pou de mots : le premier

consiste en un nvvu«l semblable à Oi^lui iju on fenùt au milieu d'un corvlou sans le Sv>rrer, île maniiMv ijue ses iliîférenies parties soient notablem^Mit distantes les unes des autres, et en rejoignant les deux extivnùtês libivs» Quant au second, le fil de fer, dalx^nl divit et vertical» se recourbe ensuite en formant un |>eu plus de dtnix spires d'une hélice dont Taxe est parallèle à la jH^rtion droite, puis se contourne en une autiv hélice également de deux spires, dont Taxe est horizontal, et qui enveloppe la première à une distance suttîsî\nte : il sarivndit alors en une troisième hélice de deux spires aussi, î\ axn vertical entourant le svstème des deux aativs avec un intervalle convenable ; enfin il va s attacher en un point du fil droit, et ferme ainsi le contour. Cest avec ce dernier contour que la réussite a été le plus ditlicilo : il so formait des lamelles dont la disposition était telle qu on ne pouvait les crever sans faire éclater le tout , et ce nest quen variant la manière dont ou retirait h> contour du liquide, qu on est arrivé au résultat cherché, § 145. En second lieu, bien que, avec un contour donné, la surface laminaire qu'on réalise ainsi se montre toujours la même dans les essais successifs conveuablement effectués, lexpérience permet encore do constater quil y a une infinité d'autres surfaces à courbure moyenne nulle qui peuvent s'appuyer sur le mémo contour. Si, après avoir réalisé une lame dans un contour fermé non plan et choisi arbitrairement, on fait adhérer à cette lame un anneau en fil de fer muni d'une fourche par laquelle on le tient, et préalablement mouillé do liquide glycérique, puis qu'on tire cet anneau dans une direction perpendiculaire à son plan, comme si on voulait l'écarter de la lame, celle-ci ne s'en détache pas, do sorte qu'elle s'étend alors entre le contour primitif et ce

même anneau; seulement, si Ton éloigne trop ce dernier, réquilibre se détruit, la portion de la lame qui aboutit à lanneau s'étrangle rapidement, il y a séparation, et la lame se rétablit dans son état antérieur, tandis qu'une lame plane va occuper lanneau ; mais, en deçà de cette limite decartement, la figure est parfaitement stable.

Or, dans cette dernière condition, comme la lame continue à s appuyer sur le contour primitif et que sa forme est modifiée, elle représente une nouvelle surface à courbure moyenne nulle passant par ce même contour. On peut employer simultanément deux anneaux qu'on fait adhérer à deux portions différentes de la lame et qu'on écarte en même temps, la lame s'étend vers l'un et vers l'autre à la fois ; on peut, en outre, substituer aux anneaux circulaires des anneaux de tout autres formes, et toujours l'expérience réussit. On produit de cette manière autant de surfaces différentes qu'on le veut, et qui toutes passent par le premier contour.

Si l'on conçoit, par la pensée, l'une de ces nouvelles surfaces prolongée au delà de l'un des anneaux, on se convaincra, avec un peu de réflexion, que, puisque ses deux rayons de courbure principaux doivent être partout égaux et de signes contraires, le prolongement dont il s'agit ne peut se fermer, et doit conséquemment s'étendre à l'infini. Il résulte de là qu'aucune de ces surfaces ne saurait remplir le contour primitif par une portion finie.

Mais les résultats du paragraphe précédent permettent d'énoncer ce nouveau principe : Un contour fermé absolument quelconque , plan ou non plan , étant donné , parmi toutes les surfaces à courbure moyenne nulle qui peuvent s'appuyer sur sa totalité, il y en a toujours au moins une dont une portion finie peut le remplir entièrement.