D'UNE MASSE LIQUIDE SANS PESANTEUR
En troisième lieu, partant d un résultat du calcul des variations, les géomètres ont admis que les surfaces satisfaisant à la formule [2] ont une étendue minima. Suivant ce principe, sur lequel nous aurons à revenir, lorsque la constante C a une valeur finie, la surface de la figure serait toujours moindre que toutes les surfaces très-voisines comprenant le même volume et terminées aux mêmes limites, et lorsque la constante C est nulle, la surface serait toujours, d'une manière absolue, cest-àdire sans tenir compte du volume compris, moindre que toutes les surfaces très-voisines terminées aux mêmes limites; dans ce dernier cas, les surfaces dont il s agit sont souvent appelées surfaces à aire minima.
Envisagées au point de vue purement mathématique,
les surfaces dont nous nous occupons ont été lobjet des
recherches de plusieurs géomètres ; nous profiterons plus
loin des résultats qu'ils ont obtenus; seulement je dirai,
dès à présent, que les rayons R et R' peuvent s'exprimer
en fonction des coefficients différentiels, ce qui convertit
la formule [2] en une équation différentielle du second
j ^ . dz dz d^z d'^z
ordre; en faisant -— = », ---=y, - — = r, =^s
dx dy dx* dxdy
et —— = ty cette équation est :
dy
elle représente ainsi toutes les surfaces à courbure moyenne constante, et, par suite, toutes les figures d'équilibre qui conviendraient à un liquide sans pesanteur; mais elle n'a pu, jusqu'ici, être intégrée que dans certains cas, et, parmi les surfaces en nombre infini qui y satisfont, il n'y en a qu'une vingtaine, à ma connaissance, dont on ait soit Téquation en coordonnées finies.
