ci^p — a)x = et ^ a{h + cj^:: = qui ont , etc. , pour
point à rinfini. La transformation continue done les polaires de o^, o , o . Les polaires de H sont ^ a'^x{cos A — cos B cos G) = et
y a'^x cos A = ; point a l'infini : — cos A, etc.
^*" Cl
Les polaires de sont X r = U et X ^^'^^ cos (B — G) = ; point
à l'infini : cos A, eic.
La polaire du point de Lemoine par raport à l'iperbole de Kiepert est la
droite d'Euler.
5. ~ Si par le point M du plan d'un triangle ou même des paralèles aus trois côtés, chacune d'èles forme un triangle avec les deus autres côtés ;
cela posé, si M est le point de Nagel , etc. les périmètres de ces
triangles sont proporlionels à a, b, c.
r.. .. . . ab + ac —bc ^ ., , ,. ,,111
Si M est le point — , etc., ils sont proportionels a- ? - ? - ,
Cl Cl c
Téorèmes analogues déduits par transformation continue.
cos A Si M est le point — —, etc., ils sont proportionels à a% 6^ c^
Si M est le point de Lemoine, ils sont proportionels à 6^ + c% c^ + a^ a^ + b\
Si M est le baricentre, la some des carés de ces périmètres est minima.
Pour ces trois derniers téorèmes, la transformation continue les reproduit sans modifications,
Par le point de Gergonne ■— etc. d'un triangle ABG, je mène des
paralèles à 2 côtés ; la some des segments de ces paralèles compris entre
2p(2R^ + r) ' le point de Gergonne et ces deus côtés est constante et égale à .
La transformation continue done d'autres téorèmes analogues.
6. — Le cercle d'Apollonius corespondant à BG : ^^ — z^ — 2zx cos B + 2xy cos C = 0, coupe l'axe antiortique au point P : — 2R -]- r + r^,
a) AP^^, BP^, GP^ concourent au point P :— - R — r + r^^, -— R -^- r +r^,
— R—^r-^r^ sur la droite "V (6 + c) = paralèle à l'axe antiortique.
b) La some des distances de P aus trois côtés est égale à r.
c) Les points 0, o, P sont en ligne droite.
Rr
d) La distance de P à Taxe antiortique est : — -
.M. R^ ,, 2Rr ^ , . oP 2r
e) On a : OP = —, oP =: -— et en grandeur et m signe :—=:---.
Cv Cl vJx X\
Ces téorèmes se multiplient imédiatement par transformation continue. Ainsi en transformant en A on a : Le cercle d'Apollonius corespondant au côté BC coupe la droite
— ^ 4- v + -^ = au point P : — 2R — r -~- r , R - r -- r , R — r — /'.
La même droite coupe le cercle d'Apollonius corespondant au côté CA au point P : — R + ^' — ^% 2R + r — r , R — r — r ; le cercle
uCl Cl Cl G Cl
d'Apollonius corespondant au côté AB au point P : R + r ^ — r, R — r — r , 2R + r -- r,
a') Les trois droites AP ,BP, , CP concourent au point P :
Situé sur la droite x{h + c) -f- ij{a — c) + z(a — (^) = 0, paralèle à
h') La some des distances de P aus trois côtés est égale à r ,
c') Les points 0, o ; P^ sont en ligne droite.
Ry;
d') La distance de P à la droite — â:^ + v + ^ = est — — iî.
R2 2Rr P 2r
OF "^ " "r"
e') Oa a OP^^ = "j- o^, P,, = - ^ et ^^ = - ^'.
En transformant ces nouveaus résultats en B et en C on aurait d'autres propositions (en A on reproduirait les premiers).
En transformant les iwemiers résultats en B et en G on aurait des résultats analogues à a'), U), c'), etc., douant des points P^, P .
Les trois droites AP , BP,, CP se coupent au point tt : R - r, — r ,
Propriété qu'on peut encore transformer, etc., etc.
Sans le fil de la transformation continue, il eut été impossible de prévoir ces résultats qui, avec èle ils s'obtiènent sur-le-champ et pour ainsi dire mécaniquement.
1. — On trouve (Mathesis 1886, p. 108), le téorème suivant dû à M. Casey.
Soient un triangle ABC; A'; B', C les pieds des hauteurs, H le milieu de
AA' ; w le centre du cercle inscrit à kWC -, w H jjasse par le point de
contact du cercle d'Euler et du cercle inscrit à ABC.
Il est évidemment probable à priori qu'il y a des têorèmes analogues où figurent, au lieu du centre inscrit dans AB'C et du point de contact du cercle inscrit dans ABC et du cercle d'Euler les centres des cercles ex-inscrits dans AB'C et les points de contact du cercle d'Euler et des cercles ex-inscrits dans ABC, mais il n'est pas comode de les deviner d'une façon j^récise d'autant plus que ABC et AB'C sont simétriquement semblables ; il faudrait en tous cas les démontrer séparément. La transformation continue les énonce corne mécaniquement et en est la démonstration. Soient co^^, w^^^^, 0) , 0) les centres des cercles tri tangents à AB'C homologues respectivement aus cercles o, o , o., o de ABC; d, d , d,, d les points de contact
Cl G Ci U G
de 0, ,0,, avec le cercle d'Euler.
Le téorème de M. Casey revient à dire que H , 6/, w sont colinéaires.
En faisant la transformation continue en A de ce résultat, on trouve que H , (i , (0 sont colinéaires.
a a cia
En faisant la transformation continue en B du téorème de M. Casey on trouve que H , 6/ , w , sont colinéaires.
^ «' a cib
La transformation continue montre cela aussi vite, d'ailleurs, analitiquement que géométriquement, en éfet, les coordonées de H^^, w^^, d sont respectivement 1 , cos C, cos B ; 1 + cos B + cos C, cos A, cos A ;
(b — cY, - — - — (c — aY, ■ (a — hY- Faisant la transforma-
tion continue en A on trouve : 1, cos C, cos B; — 1 + cos B + cos G,
COS A, cos A : -- - (6 — c)% ^— - — (a — c,Y (ci — bY^ qui sont les
coordonées de H , w , d . Faisant la transformation continue en B au
a aa a '
lieu de la transformation en A, on trouve 1, cos C, cos B;
— 1 — cos B + cos c, — cos A, cos A;
^-=^{b+cY, |(c-a)% P-^ia + bY c'est-à-dire: H , w , d,, etc.
a ac
Le téorème complet de M. Casey est donc celui-ci :
Les points H , co , d; H , oj , d : H , co ,, rZ • H , w , d sont coli-
•■ a a il aa a ' a au b ' a ac c
néaires.
