FIG
9. — M. Laisant a doné au congrès de Limoges (1890) le téorème suivant : ABG étant un triangle^ si nous jjortons sur les 2 côtés BA., G A à partir de B et de G et vers Je somet A, des longueurs BA , GA^, toutes deus égales au
86 MATHÉMATIQUES, ASTR0]\0M1E, GÉODÉSIE ET MÉCAlNIQUE
côté BC, nous obtiendrons une droite A A , dont la direction sera indépendante du côté BC que nous aurons choisi pour èfectuer cète construction^
Nous alons étudier ce téorème par la transformation continue et déveloper un peu cet exemple pour mètre en évidence la fécondité de la métode qui donc, sans recherche, une moisson de résultats ausquels on n'aurait pas songé sans èle.
La direction A A est cèle de la perpendiculaire à Oo ou cèle de l'axe antiortique ^ + ^ + ^ = 0. Transformons en A (fig, 4) A devient A'^, simétrique de A^ par raport à B, A^ devient A'^, simétrique de A^, par raport à C ; ne varie pas, o devient o^^, donc la direction de A'^A'^ est cèle de la perpendiculaire à Oo ou cèle de l'antibissectrice de A : — 05 + 1/ + -^ = 0.
En transformant en B, on verrait que A^ devient A'^, A^ reste A^, donc A^A'^ a pour direction la perpendiculaire à Oo ou cèle de l'antibissectrice deB : X — y -}- z =: 0.
De même, en transformant en C, on verra que A A/^^ a pour direction la perpendiculaire à Oo^ ou cèle de l'antibissectrice de C x + y — z — 0.
On a donc un quadrilatère A^ A A'^ A' dont les côtés sont paralèles aus quatre droites x ±:y ± z =z 0.
En faisant les constructions analogues en partant des somets G et A au lieu deB et C, on obtiendrait un quadrilatère B B B'B' qui aurait ses côtés paralèles à ceus du précédent. B B paralèle à A, A,; BB' à A' A',; B'B' à
C Cl u C c Cl oc c Cl
A'^A^; B'B^^ h A^A^; enfin, en opérant sur les somets A et B, un quadriJatère C C C'C' tel que G C, sera paralèle à A,A ; C'C, à A,A' ; C C; à
En étudiant ces quadrilatères on trouve :
ad .r <r ^d ^^d. ad
On aura de même :
Jid bd, bd bd
BB z=^- B^B^ — ^- B^B -^^ BP/ - '
c « Ji ' c a p^ ? a c ■ — T> ' a c — ' ~jT*
p p Cd prpr ^^c ^^ ^^h
H^6 = -^ ; ^,^6 = -^ ; ^cF'b = -^ ; ^5^ ^ -^ -
Ces quadrilatères sont intéressants, car, sans être semblables, ils ont leurs côtés paralèles et les côtés paralèles proportionels.
Les valeurs que nous venons de doner permètent de calculer très simplement les distances entre deus quelconques des 6 pieds des bissectrices sur les côtés oposés ; par exemple, si je veus calculer la distance entre le
pied Ai de la bissectrice extérieure de A sur BC et le pied C de la bissectrice intérieure de G sur AB, les 2 triangles semblables C'BAp B BB' me
doueront j^^^p^ - j^ ' d'où A.C^ - ^a + c){b - c) " {a + c)[b - c) '
de ce dernier résultat on en déduit d'ailleurs facilement d'autres par transformation continue; ainsi, si on le transforme en B, A^ devient A', pied de la bissectrice intérieure de A, C devient C^ pied de la bissectrice exté-
rieure de C et l'on a A'C. = - — , ,,/, ,
Ainsi, B'B' et C'C se coupent en un point X
CX' et A' A' » )) X,
A'A, etB^B » )) X
b + C Les trois droites AX , BX,, GX concourent au point — etc . l'axe
d'omologie de ABG et de X X,X est V -. — ■ — ~ 0.
Ges résultats en douent d'ailleurs encore d'autres par transformation continue.
Soit M^^ le point où se coupent A^A'^, A^A^^; AM^ coupe BG en a, on a
de môme les points p, y. a, (3, y sont sur la droite V —^ — - = • A^A'^, A/^A^, se coupent en M^^; AM^, coupe BG en 11^^; p.^^, {x^, [j.^ sont
sur la droite V , ~ 0.
A^A^, A'^A'^ se coupent en M^^; Aî\f , BM'^, GM^ se coupent au point
b"- — c^ c^ — a% a'^ — b'' sur l'axe antiortique et sur la droite V a^x =z 0,
M^M'^^, M^M'^, MW^ sont paralèles à la droite de Lemoine. Etc., etc.
