a) Construction du point a^(b — c), etc
G'est l'intersection de la droite V (6 + c) a? = et de la droite de Lemoine.
La transformation continue en A permet de construire les points
a\b — c), — b%c + a), c\a + 6), etc.
b) Construction du point a(p — a), etc.
Il est sur la droite qui joint le pôle A' d'un côté par raport au cercle circonscrit au pied de la bissectrice sur ce côté.
On construit de même les transformés continus — ap, h(p — c), c{p — 6), etc., du point a{p — a), etc.
11. — a) La droite de Wallace, paralèle à la droite de Lemoine, est la droite de Wallace du point de Tarry.
La droite de Wallace (ou de Simsorj) paralèle à l'axe antiortique est
la droite de Wallace du point : — , etc. On en déduit par trans-
formation continue en A : la droite de Wallace paralèle à la droite — ^ + ^ + ^ — est la droite de Wallace du point
b) Si l'on diminue de -—• les distances du point (p — a), {p — h), {p — c)
ap bp cp ^ ,. M
aus trois cotés, les diterences ^^ ? r ' " — r sont proportione les aus
trois cotés. Si par les points ainsi obtenus sur les perpendiculaires aus côtés, on mène des paralèles aus côtés corespondants , on obtient un triangle dont le centre d'omotétie avec ABC est le point de Lemoine de ABC.
La transformation continue en A done la propriété analogue du point P, p — o, p--b transformé continu de^~a, p - 6, p — c.
c) Soit M un point du plan d'un triangle ; je mène par M des paralèles aus trois côtés.
La paralèle à BC coupe AC en A^, AB en A^,
)) GA » BA en B^^, BC en B^,
)) AB » CB en a, CA en C ,
Cela posé, pour le point : ~, —, —, on a :
Cl c
MA,. M A MB .MB MC .MC, abc
2« MB .MC ^^ MC^.MA, = MA .MB^ = ,, , , ,^^,
3° Pour le point • — ^-- , etc., la some des produits MB .MC
Cl a a
+ MC, .MÂ^ + MA^.MB^ est maximum et a pour valeur :
iG/.HS-(p^-rB)^-4S^ {s/b.\/~c + s/~cWa + \/a\/b)ll{--\/b.\/~c + \/'c.\/a + \/a.\/
La transformation continue apliquée à ces téorèmes en done de nouveau s.
d) Si M, M', M'^ sont les trois points colinéaires a% 6% c^ ; a^ — bc^ etc., et le baricentre on a :
M'M 6Rr
M[\F p^ — rZ
La transformation continue done les téorèmes corélatifs concernant les points a% 6% c**; — (a^ — bc), 6^ + ac, c^ + ab et le baricentre.
La tangente comune au cercle inscrit et au cercle d'Euler (des 9 points)
touche la conique inscrite de Steiner au point dont les coordonées nor-
S (b — cY
maies absolues sont rr-- — — — ? etc.
La transformation continue done les téorèmes corélatifs se raportant aus
cercles ex-inscrits.
e) Le centre radical de 3 cercles k{b — c), B(c~a), C(a — b) décrits de A, B, G come centres avec 6 — c, c — a, a— b come rayons, est le
point de Nagel , etc.
La transformation continue en A montre que l'axe radical des trois
cercles A(6 — c), B(c + a), C(a + b) est le point -, ^-- — , ^~ .
Cl G
f) Si la médiane AL d'un triangle rencontre en a la droite qui joint les points G et B' de contact du cercle inscrit sur AB et sur AC, on a :
Si la simcdiane ALi d'un triangle rencontre en a' cote ligne B'C, on a :
CV __c a'B' " b '
En apliquant la transformation continue en A, en B et en C à ces deus téorèmes, on a imédiatement, en grandeur et en signe, les raports dans lesquels les médianes et les simédianes divisent les côtés corespondants des triangles dont les somets sont les points de contact des cercles ex-inscrits avec les côtés.
g) La droite \^ax{b — c) cos A, qui passe par l'ortocentre et par le point
— î— > etc., où èle coupe l'iperbole de Kieport, est tèle que si X, ^., v sont
les distances d'un de ses points aus hauteurs ; on a X + p, + ^ ==: 0. Le point à l'infini sur cjte droite est i — cos B — » cos C, etc. ou
r ^-\- 7^ — 2R, etc. on a des téorèmes analogues déduits par transformation continue.
h) Le triangle pédal du .centre du cercle inscrit au triangle ABC a pour point de Lemoine le point de Gergonne de ABC, pour ortocentre le
point ■ ? etc., pour centre de gravité le point o -\- r ,o -^^ r o -\- r ,
La transformation continue multiplie ces résultats.
B. -— Quelques propriétés des Iperboles V , r,, F .
Nous avons doné dans nos précédents mémoires présentés à divers congrès de l'AFAS, de nombreuses propriétés des coniques T^^, F^, F , iperboles équilatères circonscrites qui se rencontrent si souvent dans la géométrie du triangle qu'èles sont peut-être le triple de coniques circonscrites, le plus important. En voici quelques nouvèles propriétés :
Nous rapelons que F^^ est la courbe inverse de la médiatrice de BC, F , etc., et que F a pour centre le milieu de BC, et qu'èle a pour équation :
a) F coupe en A^ la paralèle menée par A à BC ; F^ donc de même Je point B^, etc. Les trois points A^, B^, C^ sont sur la droite
Va^aî(6^ + c^) = 0, paralèle à la direction a{¥ — c^), etc, de la droite
de Lemoine.
h) F est aussi le lieu des points M tels que MBC = MGB.
cj Èle coupe le cercle circonscrit à l'extrémité du diamètre passant par A.
d) L'axe transverse de F^^ (on siipose B > C) fait avec BC un angle DLB de 450 L est le milieu de BC, centre de F^^, D le point où l'axe
transverse coupe BA. LDB = 45^ + •^•
5. — F coupe o}x^ — hoy% =: (élipse omotétique à l'élipse de Steiner passant au baricentre) suivant une droite D^^. Avec F^ et la courbe hHf — acxz = 0, on a une droite D^, etc.
Les trois droites D , D,, D se coupent au point <ï> : — . ? etc. ,
D passe par l'associé en A - — ^ -r? - du centre de gravité, et parle
pied, sur BC, de la simédiane.
6. — r et l'ellipse tangente à AG en G et à AB en B et passant au point de Lemoine, se coupent suivant une droite D'. Les trois droites D', D', D' se
' -"^ a abc
coupent au point a^ b^, c^ D' passe aussi au pied de la simédiane sur BC.
7. — r coupe l'ellipse circonscrite de Steiner en V^^; V^^, V^^, V^ concourent au point — ? etc.
8. - -T Le 7r axe transverse (B > G) de I^ est - y ib'^ — c^) sin A •
9. — La tangente à l'ortocentre est paralèle à la droite qui joint le point
A au point r- r: r^ ' etc .
cos A — cos B cos G
10. ■ — r coupe l'élipse circonscrite de Steiner au point E, -— ?
a ^ i ^ Cl' a(b^ — &')
■— > — ; les trois droites AE , BE,, GE concourant au point D: -—? etc., si b^ Cg « b c ^ a^
souvent rencontré.
G. -^ Sur quelques curiques liées au triangle.
a) Si M est un point de la cubique "\ x(y^ — z"") cos A =: qui est
sa propre inverse, on a : MAG + MBA + MGB = MAB + MBC + MCA. La cubique passe par les points A, B, G, 0, o, o^^, o^, o^, H et coupe BC, GA, AB aus mêmes points que AO, BO, GO.
b) M est un point de coordonées normales x, y, z ; i\M, BM, GM coupent BG, GA, AB en A', B', G' ; A^^, B^, G^sont les milieus des hauteurs. Si A, A'. B^B', C^G' concourent en N, le lieu de M est la cubique
^Sjjz(bhj cos G — d^z cos B) — et le lieu de N, la cubique \^ayz{bj/ — Gz) = 0.
c) Soit M^ un point du plan du triangle ABG.
Apelons M^^, M^, M^ les simêtriques de M par raport à BG, GA, AB . Si Mi décrit la cubique :
(I) ^^^^y'' ^~' '^')(cos A ~ 2 cos B cos G) = 0,
les (rois droites AM^^, BM^, CM^ concoureront en M' qui décrira la cubique :
(2) 2,ayz{cy cos C sin 3B — bz cos B siu 3G) =:: 0. Si un point M décrit la cubique :
(3) ^%' — -s2)(cos A — cos B cos C) =: 0,
et que p.^^, [j.^, [x^ soient les projections de M sur BC, CA, AB, les trois droites Au^^, B[j.^, Cp-^ concourront en M'' dont le lieu sera la cubique :
(4) \yz[bHj cos C — c'^z cos B) z=: 0.
Les cubiques (1) et (3) sont à èles-mêmes leur propre inverse.
Les cubiques (1) et (3) ont pour points comuns Fortocentre, le centre du cercle circonscrit, les trois somets et les quatre centres des cercles tritangents à ABC.
La cubique (3) est aussi le lieu des points M tels qu'il y a une conique circonscrite à ABC et qui a AM, BM, CM pour normales en A, B, C.
Èle passe par le point J: cos A — cos B cos C, etc., qui est le simétrique de l'ortocentre H par raport au centre du cercle circonscrit.
Èle a pour centre.
Èle touche en A la droite qui joint A à l'inverse de J.
La tangente en o est ^^^{p — ^Yià — c) -^ 0,
Par transformation continue en A, on voit imédiatement que la tangente en est : ax2)^{h — c) + by{p — cY{c ~{- a) — cz{p — bY{a -[-&) = 0. Ele touche en la droite Oo,
Èle touche en H la droite ^œ cos^4(6^ — c^)6c =:= qui passe au
• , tang A .
point : ? etc.
cos A
D. — Quelques remarques a propos des Angles de Steiner ET DES Cercles de Neuberg.
a) La some des angles de Steiner o^^, Wg et de l'angle w de Broeard égale 90^, c'est-à-dire que w^ + w^ + w =: 90^.
C'est une remarquable relation puisqu'èle a lieu entre les angles eusmêmes ; èle avait passé inaperçue, quoiqu'èle soit implicitement contenue dans le mémoire que MM. Neuberg et Gob ont présenté au Congrès de
Paris, à l'AFAS, en 1889. En èfet, pour calculer les valeurs de cotg (o^ et de cotg «2 en fonction de (o, ces géomètres ont écrit les équations 2(0^ = 90^ • — (0 — X, 2(0^ = 90° — 0) + X, X désignant un certain angle qu'ils considéraient. En ajoutant, on trouve imêdiatement co^ -y Wg -|- û) = 90^. Il est donc impossible de passer plus près de ce résultat, d'autant plus qu'il se voit aussi sur la figure tracée dans le mémoire ; ils ne l'ont point observé, probablement, parce que le but du calcul était de trouver une expression de cotg wj^ et de cotg toa, et que, de plus, on cherche rarement une relation directe entre trois angles.
h) Soit ABC un triangle, N^^, N^, N^ les centres des cercles de Neuberg, les tangentes en A, B. G à N^^, N^, N^ se coupent au point de Steiner.
c) BA et CA coupent N^^ en A'^, A^ ; CB et AB coupent N^ en B^, B'^ ; AC et B G coupent N^ en G'^^, G'^. Les droites A'^A^, B'^B^ GX^ sont paralèles à la droite de Lemoine de ABG.
d) Les coordonées deN sont : — cos w, cos (G + w), cos (B + ^) ; si
par N , N , N on mène des paralèles respectivement à BC, GA, AB, on a
un triangle A'B'G' qui a le point de Lemoine pour centre d'omotétie avec
B'G' ABG, le raport d'omotétie -—^ = cotg^ co — 1.
e) Si BG reste fixe et que A décrive le cercle N^^, l'envelope de A'^A' est une élipse et le point de Lemoine décrit une paralèle à BG.
f) L'angle x sous lequel on voit, de deus somets d'un triangle, le cercle de Neuberg corespondant au côté qui contient ces deus soinets est donc
par cos - :=r 2 sm co.
E. — Divers Résultats concernant des Goniques remarquables.
a) Si M' et M'' sont deus points inverses x, y, s ; - ? -? -j que
AM', Bl\'r, ClW coupent BG, GA, AB en A^ B^ G' et que AM^ BAT, Cï\r coupent BG, GA, AB en A", B", C\ les six points A', B^ G^ A^ B ', G"
sont sur la conique xyz\X^ — ^^''^^iv^ + -s^) = 0.
b) La parabole circonscrite P dont la corde BG intercepte sur la courbe
1, . . . 4S , ,. %2 zx xy laire mmima -r- a pour équation : 1- --- -]- -^ ii= .
o Cl c
C-) L'iperbole équilatère circonscrite dont la tangente en A est paralèle
, ,,^ , ,. a , c cos A. , 6 cos A
a BC a pour équation \- ■ = 0.
d) La parabole > — —- ■ — - =: touche la droite de Lemoine au point
a {¥ — c^) où cète droite coupe la droite de de Longchamps ^ a^x = 0.
e) La conique ^ — — — =. circonscrite à ABC coupe les hauteurs en A', B', 01 ; en ces points les hauteurs sont normales à la conique.
T A ' A Kr , COS^B COS^-G ^ „
Les coordonees de xV sont : — — y cos L, cos B.
cos^A
C'est une iperbole , une parabole ou une élipse suivant que
(cos A — cos B cos C)(cos B — cos C cos A)(cos C -— cos A cos B) est
négatif, nul ou positif.
/j La conique circonscrite qui a CA pour normale en C et BG pour normale en B a pour équation :
(1) yz cos C -V zx -\- xij cos B cos G =: 0.
La conique circonscrite qui a CB pour normale en G et AB pour normale en B a pour équation :
(2) yz cos B 4- ^^ cos B cos G + a;?/ ==: 0.
cot^' A (1) et (2) se coupent au point A^ : — ^— -> etc.
La conique circonscrite E dont l'un des axes est BC a pour équation
i !- ^2!J9 ! 5^ = ; E E, se coupent en M ^, AM^^, BM^, GM^ se
coupant au poiat cos A — cos B cos C, etc.
2S L'autre axe de E est — - •
^^ y bc cos B cos G
La tangente en A est la droite y cos B + ;3 cos G == 0, conjuguée armonique de la hauteur par raport à AG et AB.
g) Si une parabole variable est circonscrite à un triangle ABC, les points de Frégier des somets décrivent des coniques.
Le point de Frégier en A de la conique — 1 ]- — zi= est :
L cos A, N — M cos A, M — N cos A.
Le point de Frégier en un point d'une iperbole équilatère est à l'infini ; on peut énoncer ainsi ce téorème :
Soient P et Q deus points dJune iperbole équilatère^ le cercle décrit sur PQ comme diamètre coupe la courbe en P' et Q\ La droite P'Q' est un diamètre et les normales à la courbe en ?' et en Q' sont paralèles à PQ.
Le lieu des points de Frégier du point C des coniques circonscrites à ABC et qui passent par le point x^, ^^, % est la droite :
X cos c {y^ cos C~\-x.^) z^~\-y cos C {y^ -^x^ cos C) z^ -H zx^y^ sinH^ =: 0,
h) Si par un point de la conique inscrite de Steiner, on mène des paralèles aux trois côtés d'un triangle ABC, èles divisent le triangle en trois triangles et en trois paralélégrames. La some des surfaces des trois triangles égale la some des surfaces des trois paralélégrames.
i) Le centre de l'iperbole de Kiepert est sur l'élipse inscrite de Steiner.
La tangente en ce point à l'élipse de Steiner est : V — — — ^ := 0.
La tangente en ce même point au cercle d'Euler est X ^^^ ji — ~~^ =^ ^•
Le pied de la quatrième normale abaissée du centre du cercle circonscrit sur l'élipse de Steiner est le point diamétralement oposé au centre de l'iperbole de Kiepert.
De la remari j ne que le centre de l'iperbole de Kiepert est sur la conique inscrite de Steiner on peut tirer une construction géométrique simple de ce point; en éfet come ce centre est aussi sur le cercle d'Euler, il sufit de trouver le quatrième point comun à l'élipse de Steiner et au cercle d'Euler qui ont trois points conus, savoir les milieus L, M, N des trois côtés de ABC. L'élipse de Steiner passe aussi sur les milieus g^, g^ des droites qui joignent B et C au baricentre. On aplique la construction que j'ai douée (Congrès de Caen 1894 construction V) pour trouver le quatrième point comun à un cercle LMN et à une conique LMN ^^ g^ et qui est la plus simple que je conaisse, la voici :
Je trace g L qui coupe le cercle LMN en I, par I, je mène la paralèle à BC qui coupe le cercle en K, je trace K^^ qui coupe le cercle LMN au point cherché.
F. — Varia
1. — A propos d'une question que j'ai posée, il y a quelques années, dans le Progreso mateniatico et dans laquèle je demandais, entre autres choses, de démontrer que Fortocentre ne pouvait jamais être sur le cercle de Brocard, M. Ripert me comunique un téorème que je tiens à signaler
parce qu'il domine la solution dans les sujets analogues à celui qui faisait l'objet de ma question.
Apelons Z un point déterminé du plan de ABC, nous suposons que Z est un point unique tel que G, H, K, 0, etc., ou acouplé tel qu'un point de Brocard, mais à l'exclusion des points d'un triple tel que les trois associés d'un point ou les centres des cercles deNeuberg, etc. Soit en outre une
courbe continue V quelconque dont l'équation est simétrique par raport
aus trois coordonées.
Si le point Z ne peut être sur la coui^be ^ j90t(r aucun triangle isocèle
il ne peut s'y trouver pour aucun autre triangle. Considérons en éfet tous les triangles pour lesquels Z serait sur la
courbe \^ corespondante ; nous pouvons suposer BC constant, il est
visible qu'à tout triangle ABC satisfaisant à la question, corespond un triangle BCA' simétrique de BCA par raport à la médiatrice de BC.
Le lieu des points (Z, 7J) de ces triangles sera une certaine courbe simétrique par raport à cète médiatrice qui la coupera toujours puisque Z étant par ipotèse unique ou acouplé il y a toujours au moins un triangle isocèle (le triangle équilatéral) qui satisfait à la question, etc.
2. — Soient A' et A'" les points où la simédiane et la droite de Lemoine rencontrent BC ; B' et B'" ; C et CI' les points analogues sur CA et sur AB. Les trois circonférences qui ont pour diamètres A'A'^ B'B'", CC se coupent en deus points t tels que les côtés du triangle podaire de t sont inversement proportionels aus côtés de ABC.
3. — Si X , X,, X ,X sont les distances de A, B, C et du point de Gergonne du triangle ABC à une droite quelconque, on a :
■ X r -4- x,r, ~\~ xr
yr a a ^ b b ^ ce
