SUPPLÉMENT. .. V

lcurr=!S, donneront deux solutions par lesquelles le nombre proposé se décompose en sept octogones, dont trois sont égaux à l’unit®.

5 ’. Les deux valeurs inipairement paires de a qui correspondent a la valeur r = a , donneront detfx solutions par lesquelles le nombre proposé se décompose en six octogones dont deux sont égaux à l'unité.

4 °- Les deux valeurs pairement paires de a auxquelles répond la valeur r=4> sont encore admissibles, parce que le nombre a — \b' qui en résulte, peut être décomposé en trois carrés. On obtient par là deux autres décompositions du nombre donné en huit octogones, dont quatre sont égaux à l'unité.

5 °. Enfin si on voulait déduire trois autres solutions des valeurs de a et b qui correspondent à la valeur r=o, on trouverait que ces solutions ne peuvent avoir lieu, parce que dans ces trois cas le nombre a — se rapporte à la forme 4 *( 8 « — i), qui n’est point décomposable en trois carrés. Nous conclurons de là qu’il u’est pas possible de décomposer le nombre donné 6484 en quatre oclogoues seulement, au moins tant qu’on prend 6 supérieur à la limite t/( 3 a — a ) — 1. Mais il peut arriver qu’en prenant des valeurs de b inférieures à cette limite, on trouve des solutions admissibles.

En effet , les valeurs de b qui répondent à r =0, étant 94 > 8® ® l celle qui suit immédiatement est 6 = 76 ; celte valeur donne a = aaia, et a — ^ b' = 768 =4 4 - 3 , nombre qui est décomposable en trois carrés. On trouve ensui^, par les formules de l'art, ro, que l’une des solutions est admissible , puisqu’elle donne s — 43 , l— u = v— 11 ; donc le nombre proposé 6484 est égal à la somme des quatre octogones dont les côtés sont 43 , 11,11,11.*

On remarquera que le nombre 6484 > a 8 /n 3 a été choisi de manière qu’il ne soit pas compris dans le théorème IX , et cependant il se trouve décomposable en quatre octogones seulement.

5 III. Méthodes nouvelles pour la résolution approchée des équations numériques. - . .

Nous nous proposons de faire voir comment on peut trouver, avec tel degré d’approximation qu’on voudra , les racines réelles d'une équation proposée , sans qu’on ait aucune connaissance préliminaire de la grandeur cl du nombre de ces racines. Les méthodes que nous donnerons pour cet objet , ne supposent que des préparations qui tiennent à la nature de ces méthodes , et peuvent s’appliquer directement à tonte équation proposée* La première exige cependant qu’on connaisse une limite supérieure à la plus grande des racines ; la recherche de cette limite est donc le premier objet dout nous allons nous occuper.

Limites des Racines réelles.

(^ 5 ) Il suffira de chercher la limite des racines positives ; car en mettant — x à la place de x, ou changeant les signes des termes de rang pair, les racines qui étaient négatives deviendront positives à leur tour j de sorte que la règle trouvée pour les racines positives, s’appliquera également, mutatis mu tandis, aux racines négatives.

Soit l’équation proposée du degré n ,

x * d; w 4 ,.x J '~' db A % . r* - * ± AyX’~' i d= = o

dans laquelle 1 est le coefficient du premier terme, et A, est le coefficient du terme affecté de la puissance pour avoir la limite supé-

rieure des racines réelles et positives , il faut distinguer deux cas.

1°. Si le second terme a un coefficient négatif qui ne soit surpassé par aucun des autres coefficiens négatifs ; je dis que ce coefficient , augmenté d'une uuité , sera plus grand que la plus grande racine positive.

En effet , si une valeur positive de x pouvait être plus grande que 1 -f- A, , ce serait dans le cas où fous les coefficiens seraient négatifs et égaux à A x , eusorte que l'équation à résoudre fut

Mais dans ce cas même , si l’on fait x = i -f- A,, on aura a:" — A,x*~‘ — x ‘~' , x M 1 — A, je" - * = x" - * , etc. ,. de sorte que le premier membre se réduit à ■+■ 1 ; donc 011 a toujours x < 1 + A,.

2 0 . Si le plus grand coefficient négatif n'est pas celui duseeond terme,

soient A , et A , , les deux coefficiens négatifs pour lesquels \/ A, et f A t

sont les plus grands possibles; je dis qu’on aura toujours x< 1/ A(~\- f A K .

En efl’ct , soit a le plus grand de ces deux radicaux , et b l’autre ; il n'y aura, par hypothèse , qtfun seul terme négatif de l’équation représenté par — ijx m ~' ; tous les autres qu’on peut représenter généralement par — c’x^', seront tels qu’on a c = b pour l’un au moins de ces termes , et c < b pour tous les autres. Donc l’hypothèse qui rend x le plus grand est celle où l’équatiou à résoudre serait

x" — bx“~' — b % x *~ % — i’x"— 3 . . . .

Le premier membre se réduit à* ,; — x* - ' ( a ' — b') — b {-—-g- J , et si

l’on fait x— a-t-b, il devient

^ + -J- ( « + *)-' [{a+by-a g=£)] ,

quantité toujours positive, puisqu'on suppose b , et qu’on a en général (a-f- i)'> a Q-g~p)' Donc la plus grande racine positive de

l’équation proposée est .plus petite que a-\-b, ou < - f- y/A w .

Si l’équation proposée n’avait qu’un seul terme négatif — A t x“~ k f

la limite de x serait simplement \/ A k , ce qui peut se vçriGer immédiatement.

Définition des Fonctions omales.

( 36 ) Nous appellerons fonction omale de x , toute fonction qui a la propriété d etre toujours croissante ou toujours décroissante à mesure que x augmente d^ns le sens positif, depuis x = o jusqu’à ,r= ».

Nous supposerons toujours x positif.) et cependant la fonction omale , considérée comme l’ordonnée d'une courbe , pourrait être positive dans une partie de la ligne des abscisses , et- négative dans l’autre ; mais nous ne considérerons que les fonctions omales qui demeurent cons-

5 o THÉORIE DES NOMBRES.

tammenl positives pour toute valeur de x , depuis x = o jusqu’à

JC— 00 .

11 suit de notre définition, que pour toute fonction otnale p(x), le coefficient «différentiel ~~~ est toujours de même signe, depuis x—o

jusqu'à x=x>. Il sera positif pour les fonctions omales croissantes, et négatif pour les fonctions Omales décroissantes.

(37) On peut donner, comme exemples des fonctions omales, les valeurs suivantes de 9 (x) , dans lesquelles nous supposons tous les coefficiens positifs.

Ax~ ■+• Bx~-' 4- Cx—' -f K ,

Ax m 4 - Bx — ■ 4 - K

-f- etc.

La première et la seconde sont croissantes, l'une depuis p(o) = K jusqu'à $ (00 )= ao , l’autre depuis ^(o)=ï o jusqu’à ^(» ) = 00 ; la troi-

sicme décroît continuellement depuis 'p(o) = 1 4* — 4- j 4- — jusqu’à p(oo) = i.

Si on trace la courbe qui a pour équation y=$(x'), cette courbe montera ou descendra graduellement, depuis la première ordonnée p(o) jusqu'à la dernière ?(oo ) , ensorte que la meme ordonnée ne pourra jamais répondre à deux abscisses différentes.

Donc c étant un nombre positif donné compris entre 9(0) et p(ao), l’équation £ = $(x) aura toujours une racine positive, mais elle n’en pourra avoir qu'une.

Si c n’était pas compris entre les limites $(o) et $(ao l'équation c — tp(x) n’aurait aucune racine positive.

Résolution de f Equation otnale c = <p(x).

( 38 ) Imaginons qu’on décrive la courbe dont leqq^lion est y—$(x) t et supposons d'abord que la fonction <p(x) soit croissante, et qu’en même teins la courbe soit concave vers Taxe.

Soit A le premier point de celte courbe, où l'on ax=o, j=p(o). A la distance c de l’axe des x menons la droite CM parallèle à cet

SUPPLÉMENT. • Si

axe, laquelle rencontre en C l’ordonnée prolongée du point A, et en M la courbe CM ; il faut déterminer l'abscisse du point M qui sera la valeur de la racine cherchée.

Pour cela, menons en A la tangente Ak , qui rencontre en k la droite CM, et appelons k l'abscisse du point k ; nous aurons, en

supposant — P'(ar),

Par le point k menons une perpendiculaire à Ck , qui rencontre la courbe en n; au point n menons la tangente nk 1 , qui rencontre en k' la droite CM j si on appelle k' l’abscisse du point A', on aura de uouveau

Déterminant de même A' par l’équation

et ainsi de suite, il est évident que la limite vers laquelle convergent les termes de la série croissante A, A', A", etc. sera la valeur cherchée de x.

On voit donc que pour résoudre l’équation omale c = <p(x ) , il faudra calculer successivement les quantités A, A', A", etc. d’après les formules

"WF

etc.

et la dernière des quantités A , k, A", etc. , ou la limite vers laquelle elles tendent , sera la valeur de x.

(3g) 11 est bon de remarquer, î*. que les premiers termes de la Suite k, k. A", etc. n’ont pas besoin d’être calculés très-exactement; ce n’est que lorsqu’on est parvenu à deux termes peu diflerens l'un de l’autre , qu’il importe de continuer le calcul avec toute la précision qu'on veut obtenir dans le résultat.

3a THÉORIE DES NOMBRES.

2 °. Que si on sait d'avance que x doit être > k , alors il faudra supprimer la première des équations de l’article precedent, et partir de la valeur donnée A pour déterminer toutes les autres k, A", etc., ce qui abrégera le calcul.

Fig. a. (4«) Supposons maintenant que <p(x) soit «ne fonction décroissante , telle cependant qu’on ait ç(o) égale à une quantité finie j alors la constmction se fera comme elle est indiquée dans l^figure a ; et parce que <p'( r ) devient négatif dans ce cas, les formules pour calculer successivement A, k', k', etc. devront être écrites comme il suit :

* — — TfôT».

etc.

On fera d’ailleurs, pour ce cas, les mêmes observations que dans l’article précédent.

(40 Un troisième cas à considérer est celui où la fonction p(x) est décroissante , mais telle qu’à l’origine des x, on ait p(o)= oo . Dans ce cas, il faut qu’en supposant x infiniment petit, la valeur de p(a’) se réduise à la forme Ax ~' "+ etc. On aura donc Ax~ m <Cc, et par

conséquent x> ÿ' Cela posé, il faut prendre A= et par-

tir de la première valeur jr=A - pour calculer ensuite les termes k, k", etc. par les formules de l'article précédent. La limite de ces termes sera la valeur cherchée de" x.

Il peut y avoir d’autres cas que ceux qui sont représentés par les figures i et a ; nous les examinerons ci-après , article 76.

Méthode pour avoir la plus grande Racine positive d'une équation proposée.

(40 Pour écarter toute difficulté étrangère à notre objet, nous supposerons constamment que l’équation proposée n’a point de racines égales , et quelle n’est point divisible par x. Cela posé , on commencera par déterminer la limite supérieure des racines positives.

comme il a été dit dans l'article 35. Soit <t cette limite; on aura donc la racine cherchée x < a..

Si on fait passer dans le second membre de l'équaliou proposée tous les termes négatifs , cette équation prendra la forme suivante :

jc* -f- -^-f- -j- elc.^ = ax"~ k -f- ix* - * - ' -f- cx"~ k ~‘ -f- etc. ,

où tous les coelïiciens sont positifs et où il faut observer que les deux polynômes ne peuvent être complets, sans quoi la même puissance de x se trouverait à-la-fois dans les deux membres.

Cela posé, -si l’on fait

+ bx"~’ *- ' + etc.

,+ i + £ + r- + etc -

la fonction p(x) sera une fonction omale croissante de x, et on aura à résoudre l'équation x*=p(x). ..

Pour cela supposons que l’on construise suc lu même ligne des Fig. abscisses, et dans le sens positif seulement, les deux courbes dont les équations sont y — x", p(x); désignons par K le point d’intersec-

tion de ces deux courbes qui répond à la plus grande racine x=r; la racine r étant plus petite que a, si on fait x — a. dans p(.r), on aura une ordonnée Q(a.) plus grande que l’ordonnée r" du point P ; car p(x) étant une fonction omale croissante, si l’on a *>#•, il faut qu'on ait aussi <p(r) , ou £(«)>/•".

* Soit nie point de la courbe j = <f(x) qui répond à l'abscisse x=a; si on mène par le point n une parallèle à la ligne des abscisses qui rencoutre en ni la courbe y = x*, l'abscisse correspondante au point m étant nommée a', l'ordonnée en ni sera («')’; ainsi on aura (a')*=^(a),

et par conséquent a'=

Comme on a ^(a) > r*, il s’ensuit qu’on a aussi a'>r; mais a' est plus approchée de r que «. ’ „

L’abscisse a' détermine sur la courbe j =^(x) un second point ri dont l'ordonnée est Ç(a'); si par ce point on mène une parallèle à la ligne des abscisses qui rencontre en ni' la courbe jr r= x*, l'abscisse

correspondante au point ni' étant nommée tt‘‘, on aura a"=p^;a'), et l’abscisse a!’ sera encore plus grande que celle qui répond au point d’intersection P, mais elle doit en approcher plus que

II est inutile d’eutrer dans de plus grands détails, et on voit qu’en partant de la limite supérieure si on calcule les termes suc-

cessifs et', et", etc. par les formules

*'= » a " — = V <?(«■") , etc. ,

la plus grande racine positive r de l’équation proposée sera la limite vers laquelle convergent les termes de la série décroissante et , et’, a", etc.

Cette suite devra être plus ou moins prolongée, selon qu’on veut obtenir une plus ou moins grande approximation ; mais erl* général la convergence deviendra manifeste après un petit nombre de termes.

(4^) Les premiers termes de la suite a , et', et", etc. pouvant être fort éloignés de la racine que l'on cherche, il ne sera pas nécessaire de calculer a\$c beaucoup de précision ces premiers termes; mais lorsque deux termes consécutifs commenceront à différer peu l’un de l’autre, il faudra augmenter progressivement le nombre des décimales, jusqu’à ce qu’on obtienne d|px termes consécutifs qui ne diffèrent que dans l’ordre de décimales qifon veut négliger. Pour parvenir plus promptement au résultat , on pourra employer le moyen suivant.

Désignons par et, et, a." les trois dernières valeurs approchées de r; aux points de l’axe qui correspondent à ces abscisses, mpnons des ordonnées p, p , p" égales respectivement aux distances nui , m'n", qui ont pour expression a* — $(et) , «'■ — , a"' — <p(a") ; faisons passer une courbe parabolique par les extrémités de ces ordonnées, et soit y = A — Dz -f- <73* l’équation de cette courbe, z étant l’abscisse comptée du point où x = et. On aura, pour déterminer A , B , C, le* équations

p ss A ,

p' = A — B(et — et') -f- C(et — »')*,

# f— A — B{ct—a") + C{et — a")*.

Faisant ensuite ^ = o, on aura

~ b+ s/yr-i^AC) »

d’où l’on tire l’abscisse cherchée du point d'intersection rsza z.

(44) Si l’équation proposée ne devait avoir aucune racine posilivc ,

on trouverait que la suite «, a', a" 1 , etc. n’a point de limite, et

que les termes décroissent successivement jusqu’à devenir nuis. On n’en conclura cependant pas qu’il y a une racine égale à zéro, car cette racine est toujours exclue.

On peut d'ailleurs , pour abréger le calcul , chercher d’avance la limite inférieure des racines positives. Il faut pour cela faire

Jr = ^ , et après avoir trouvé , par la méthode de l'article 35 , la limite supérieure de 5, qu’on appellera A, on en conclura que la plus petite valeur positive de x est > Donc, dès que la suite a,

<*•", etc. descendra jusqu’à un terme < ^ , on sera sur que la racine cherchée n’existe pas. Ce procédé s'applique au cas où, ayant déjà déterminé toutes les racines positives r, /•', d', r"', etc., la recherche d'une racine de plus doit conduire à une impossibilité.

Manière de trouver les autres racines positives de la même équation.

(45) La plus grande racine r étant trouvée, nous chercherons d’abord celle qui la suit immédiatement par ordre de grandeur, et que nous désignerons par r'.

Pour cela, le moyen le plus simple est de revenir à l’équation primitive ^= 0 , et de diviser son premier membre par x — /•; on aura l’équation du degré n — 1 qui contient les autres racines, parmi lesquelles celle que nous cherchons maintenant , et que nous avons désignée par r\ est la plus grande.

La nouvelle équation à résoudre pourra être mise sous la forme x’ -1 = 4(x), 4 (æ) étant une fonction omalc de x. On procédera donc à sa résolution par la même méthode qui a été suivie pour l'équation x" = $(.r), et en observant que la limite des racines est connue d'avance, puisqu’on doit avoir /■’< r.

Il est clair qu’en continuant ces opérations on trouvera successivement les autres racines positives r”, r ,w ,elc. , s’il en existe : et lorsque la racine cherchée n’existe pas , le calcul en manifestera de lui-même l'impossibilité, comme nous l’avons remarqué dans l'article 44-

(46) La division de l'équation proposée par x — r peut s'exécuter de la manière suivante.

En prenant la même valeur de $(x) que dans l’article 4 3 > l'équation proposée x* = $(x) , exprimée de la manière ordinaire, est

x’ -f- ’ -f- S x °~' •+■ etc- = «x* * -f- bx‘~ k ~' + ex" - * * -f- etc.

Soit le premier membre =/*(x — /•)-+-/> , et le second =Q(.r — r)- f— </, p et fj étant les restes de la division des deux membres par .r — r; puisque la valeur x = /• satisfait à l’équation, on devra avoir p=tj , et par conséquent l’équation du degré n — x qui i-este à résoudre , est P *= Ç.

Soit •

P = x* -1 -+- /’x"-* -f- g'x“~ 3 + /i'x* -4 -f- etc. y Q = u'x*-?— ’ + b'x’~ Î-* -f- cx’~ ir * -J- etc. }

on aura évidemment

etc.

V = b + a'r, c' = c + b'r t ■ etc.

Nous aurons donc l’équation

x*- , -f-/'x ,- *4-£ , x"- 3 +etc. = o’x 1 — ‘-'-l-i'x—'-'-f-c'x— *“ 5 + etc. ,

que l’on peut mettre sous la forme x* -1 = ^,(x), en prenant une nou-vclle fonction ornale ÿ,(x) , ainsi exprimée :

a'x"~ k 1 -f* b' x m ~ 4* c'a* - 1 ” 5 4- etc. 1 +£+*? + e,c -

Il faut observer cependant que comme le polynôme x*—' -|- f x % ~" * + yx* -5 + etc. , contiendra nécessairement toutes les puissances de x inférieures à n — 1 , il y aura des réductions à effectuer entre les derniers termes de ce polynôme et ceux du polynôme a'.x ’~ * — 1 -f- b'x '~ *~ * + etc: En général, dans la valeur de p,(x) il faudra réduire le terme 3/x"“*— pris dans le numérateur, avec le terme Nx ~ *~ 1 pris dans le dénominateur, et porter la différence des coefliciens où il y aura excès , c'est-à-dire mettre (.1/ — 1 dans le numérateur, si on a 3/>iV, et (jV — , l/)x-*-‘ dans le dénominateur, si on a M<^N.

Celle opération étant faite, on aura à résoudre l’équation x"-’=<p, (•*■)»-

SUPPLÉMENT. 5y

dont on sait que la pins grande racine /•' doit être <r. Connaissant cette seconde racine /, on procédera semblablement pour avoir la troisième r", et les suivantes, s'il y a lieu.

(47) La méthode que nous venons d'indiquer s'applique de même aux racines négatives ; ainsi on peut trouver par son moyen toutes les racines réelles d’une équation numérique : peut-être cette méthode estelle ce qu'on peut proposer de plus simple et de plus général pour la résolution des équations numériques, au moins tant qu’il n’y a pas de circonstance particulière qui puisse aider à trouver les racines.

On pourrait, sans changer la forme de l'équation proposée x"=p(x), trouver successivement toutes ses racines, au moyen d'une construction géométrique qui ferait connaître les divers points d’intersection P , P' , P", etc. des deux courbes jr — x’, y=^(x) ; mais la détermination du second point P', et en général de tous ceux qui ont un rang pair, serait beaucoup moins facile que celle du premier point P et de tous ceux dont le rang est impair. Et puisque tout embarras peut être évité par les divisions successives ou les opérations équivalentes que nous avons indiquées , nous nous abstiendrons d'entrer dans d'autres détailssur ces recherches.

Seconde méthode pour la résolution des équations numériques ,

(48) Etant proposé l’équation du degré n ,

x * -J- Jx‘~ l -f- gx’~' -f- ir*" ! -f- etc. — o ,

dont nous désignerons le premier membre par f\x ) , prenons urc nombre n de facteurs 1 -f-x, a-f-x, 5 -f- x,. . . .« -H-* - » et supposons que le premier membre soit divisé par le produit de tous ces facteurs f on aura d'abord le quotient 1 égal au coellicicnt du premier terme , ensuite on pourra supposer que le reste est décomposé en fractions partielles, de manière que l'équation proposée prendra la forme

rt-f-X

dans laquelle (1) , (a), (3), etc. sont des coefficiens qu’on déterminer» de la manière suivante.

Soit en général x+ A l’un des facteurs x + i , ï + +

et Q(x) le produit de tous les autres; on pourra faire

x + k ^ ÇW »

ce qui donne A = + Soit , dans cette équa-

tion , x = — k, on aura

c'est l’expression générale du numérateur de la fraction partielle qui a pour dénominateur A-|-x.

Dans cette expression , Q(— k) est le produit de tous les facteurs (i — A) (a — k) (3 — k ). . . .(» — k ) , excepté celui qui devient zéro pour une valeur déterminée de k. Ainsi on aura successivement

Q(—>) = - drr <?(-'),

«-fl--=dSr=3«-0.

etc.

De sorte que Q ( — k) sera positif pour toutes les valeurs impaires de k, et négatif pour les valeurs paires.

Si F[x) reste constamment positif pour toutes les suppositions x = — î, — a, — 3.... — », il est visible que le coefficient (A) aura le même signe que Q( — A), c’est-à-dire qu’il sera positif pour toutes les valeurs impaires de A , et négatif pour toutes les valeurs paires.

Le contraire aura lieu si JF\x) reste constamment négatif dans toutes ces suppositions.

Mais cet ordre sera troublé si F\x ) ne conserve pas le même signe, dans les diverses suppositions x = — 1 , — a, — 3..... — n; en général, si F\ — A) et FÇ — A-f-i) sont de signes contraires, ce qui indiquerait une racine négative entre x = — A et x = — A — î, les coetliciens (A) , (A-f- î) seront de même signe; et ils seront toujours de signes diQcrcns si F ( — A) et F ( — A — i) sont de même signe.

SUPPLÉMENT. • ig

(49) Désignons en général par 7^, 7^7, etc. les termes

, dans lesquels (k) est positif, et par -7^-7, — 7^7, B"

— ÿ l x , etc. ceux dans lesquels ( k ) est négatif ; si on fait

,, v B . lï , B’ ,

4W = r+i + F+i + TO 4 - clc -»

l’équation proposée se réduira à la forme

1 4- <pC*0 = 4(*) »

où p (a:) et 4 -( Æ ) sont deux fonctions omales décroissantes de X. Cette équation peut aussi être représentée par

1 + j-^Tx = fbTï »

en désignant par Ç a ^ la somme des termes qui composent $(x ) , et