INTRODUCTION

Le présent travail est divisé en trois Parties. Dans la première Partie, nous étudions les polynomes P,(æ, À), définis par le développement

(—20ax+æ)—EanP,(z, à),

en prenant comme point de départ la recherche des polynomes de Jacobi avant une fonction génératrice de la forme

[æb(a) + (a). ;

Nous avons introduit, pour faciliter étude des polynomes P,(+, À), les polynomes HH,(x, À), définis par le développement

[Gt — ax} — x] = Za"If, (x, À).

Ces polynomes jouissent de propriétés intéressantes et se relient aux polynomes P,(x, À) de deux manières différentes très simples. Une grande partie des résultats que nous trouvons pour les polynomes P,(æ, À) a déjà été obtenue par des méthodes différentes ; À, I

nd Se

Gegenbauer (!} s'est notamment beaucoup occupé de ces polynomes : nous les reproduisons à titre de préparation pour la suite.

Dans la deuxième Partie, nous généralisons premièrement les polynomes P,(æ, À), de même qu'Hermite (?) et Didon (*) généralisent les polynomes de Legendre, par des polynomes à s variables

SALE N)e

a 2 (An 0 Nous commençons par les polynomes à deux variables, que nous étudions avec un peu plus de détails, pour mieux nous guider dans l’étude du cas général. Les polynomes à s variables, qui généralisent les polynomes IT,(x, À), nous ont beaucoup servi dans cette étude. Nous indiquons aussi des polynomes plus généraux auxquels certaines propriétés des polynomes U,,..,. et V,. .», peuvent être étendues. Finalement, dans cette Partie, nous étendons, à des polynomes qui peuvent être rattachés à une forme quadratique de s variables décomposable en s carrés positifs, de même que les polynomes U,,..» et V,....n,se rattachent à la forme xŸ+xi+...+x;, les propriétés fondamentales des polynomes U,,..., et V,.. . Ces nouveaux polynomes se réduisent, dans un cas limite, aux polynomes qu'Hermite définit (*) à l’aide des fonctions exponentielles. On établit ainsi un lien entre ces polynomes d’'Hermite et ceux qu’il donne comme généralisation des polynomes de Legendre.

Dans la troisième Partie, nous nous occupons d’une classe de polynomes à plusieurs variables, dont les polvnomes précédents ne sont que des cas particuliers. Nous étudions cette classe de polynomes en étendant au cas de plusieurs variables les résultats donnés par M. Appell dans sôn Mémoire (°) Sur une classe de polynomes à deux

(1) Voir, pour la bibliographie complète des travaux concernant tout notre travail, l’article Généralisations diverses des fonctions sphériques par MM. P. Appell et A. Lambert, de l'Encyclopédie des Sciences mathématiques, édition française, t. IT, vol. V, fase. 2, Voir aussi la Thèse de M. Kampé de Fériet parue (1915) après cet article.

(2) OEuvres de Charles Hermite, t. W, p. 319.

(3) Thèse, Annales de l’École Normale, 1868.

(*) OEuvres de Charles Hermite, L. I, p. 3or.

(5) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1890.

mots variables et sur le calcul approché des intégrales doubles et en ajoutant aussi d’autres résultats. Nous montrons ensuite, suivant toujours M. Appell et aussi M. Bourget (‘), comment ces polynomes inter-

Viennent dans la recherche, suivant la méthode de Gauss, de la valeur approchée des intégrales multiples.

À ln.

(3) Comptes rendus de l’Académie des Sctences, t. CXXVI, p. 634.