PREMIÈRE PARTIE

Polynomes de Jacobi à fonction génératrice simple. 1. Considérons l'équation différentielle du (1) Cr) Ur) US Ie

qui à pour solution l'expression (æ +1) (x —1)4

En différentiant l’équation (1) r +1 fois par rapport à +, nous [72 x = = € aurons, après les changements de Àen n+},wenn+uet—=—3, ù EME

Er 2) dz A NC See +(n+i)(na+À+p)z—=o, équation qui aura pour solution l’expression

d'(æ re D LREN 7 es 1)2+b dx" 4

De l’équation (2) on déduit, par le changement de fonction

l’équation différentielle

dy da?

: d « [u—2)+(2+2+ pal +n(r+i+u+ny=o

à laquelle satisfait le polynome de Jacobi

CRM CC LC To

Es 2. Une fonction génératrice des polynomes J,(x, À, u) serait la somme d’une série de la forme

co

(5 7 Dent he d),

C, ne dépendant pas de æ et «. En multipliant l'équation (3) par C,æ” et puis en faisant la somme des équations obtenues en donnant à 2 les valeurs o, 1, 2, ..., ad inf., on déduit que toute fonction 3(x«,æ) de la forme (5) satisfait à l'équation aux dérivées partielles

NU COPA 72) TA az

dz d dz TA) + (++ pe) + rs + (A+ u+2)a — 0.

3. Cherchons les conditions pour que l'équation (6)aitune solution

de la forme z=[æ4(a)+o(a)lf+.

En substituant dans l’équation (6) 3 par cette expression, on est

conduit au système d’équations différentielles

j — 04 (A +u+a2)dt+ «bb + Gard? (À + un + a)dd— 0,

(A—p)d?—(À+p+2)Vo

# + a (Up p4") + 209 +a(i+u+2)(d9+ opt) o,

HU) ter (oo Co) ESC pee),

qui nous déterminera +, ÿ et la constante 0.

Des deux premières équations de (1), nous déduisons

p (Gap? — 04?) = YLCA — p)Y+ 240" + 2069 ++ U+2)app"]. D'où, en tenant compte de la dernière équation de (1), on déduit l'équation indépendante de 0, À et y

di + CRUE op? — p?4? e a? p?1l"? — 2 d? pho'"d'— 0,

qui devient, en posant — U,

OU

Par conséquent Ciæ+i, QE ———————————