Du développement (40) on déduit

s 1 Fees (1 x? — y?) LRU sRTÉETA

(1—2ax—2by+a+ BY

Nous avons calculé directement cette intégrale et nous avons vu que sa valeur ne dépend pas de a et à tant que a? + b?=1.

Si nous dérivons (48) par rapport à a et à b, nous trouvons des valeurs nulles tant que le point (a, b), dans ces nouvelles intégrales est à l'intérieur du cercle «? + b?=— 1, mais aussi près que l’on veut de son contour. On déduit de ces intégrales, par une combinaison facile, l'intégrale

es (48) (—a— 0?) ff 28 ACER | | RS} FAN AS in Me

LR

Cette égalité est valable tant que a+ b?< 1. Si le point (a, b) s'approche d’un point M(1,0) de la circonférence a? + b?—:1, la quantité 1 — a? — b? peut être rendue aussi petite que l’on veut, mais l'égalité (48) subsistera, car un élément de l'intégrale sera, dans ce cas, très grand ; cet élément est celui qui entoure le point des mêmes coordonnées polaires 1, 0 que le point M vers lequel tend (a, b), comme on le voit en égalant à zéro le dénominateur de la quantité sous signe d'intégration de (48) et en passant aux coordonnées polaires.

L'intégrale (48) est donc une intégrale singulière et l'on pourrait l’employer à la représentation des fonctions à deux variables.

Polynomes Us, mt; Lo, ..., Los; À).