Ces polynomes seront définis (*) par le développement

(49) [Ga dr. —asx,) —(ai+ai+...+at)(ai+axi+...+æ?—:1)) = Zara: QE 40 HEAR ES .,m(Æt Lay ... > Ts, A)

Nous désignerons par % la quantité entre crochets.

Commençons par établir que ces polynomes peuvent être mis sous la même forme analytique (16) que les polynomes à deux variables. De l'identité

dc dt dise

2H — A —— — A3—— —...— 4; = 2(1— Adi — Qla —...—Qs%s) ‘da, ? da, das

on déduit le développement

(5o) (1—ax—...—a,2,)30"1 DÀ — Mi — Ma—...— Ms SPAS (me Bee TE OPEN ie AU ont ee CU)

Nous avons aussi l'identité

NE

(51) (xt 2) PDA ar... —a,x,) Re!

=—À =—D,,(i—=œ—...—7x!)} Ji,

(1) ANGELESCO, Comptes rendus, t. CLVIIT, p. 1770.

—HTANS qui est une généralisation de l'identité (41) et qui se vérifie facilement en la réduisant à cette autre

ds . de (pra nie en se URI MO 2æ&3C.

De l’identité (51) et des développements (49) et (5o) nous déduisons la relation

(1 —= di —. : .— x?) è CES ACT ce.) Ds, À) 2 À , ne == D,(1—x?—...— 2) MM +M+...+m;—2À) è

X ER (te ss Ts, À — vs

nous aurons s —1 autres relations analogues, correspondant aux variables æ,, æ,, ..., æ,. Démontrons à l’aide de ces s relations que lon a

(52) Ur rar QC Ts; À)

1 2A(2À —1)...(2À — mi —...— ms+1) ml...ms! (2A—1)(2À—3)...(21— 2m —...—2m;+i1) matt me À = à

NS ra ur AE Le he, 1) dati Part

X (Xi +...+xi— 5)

Ceci est immédiat, d’après les s relations, pour les s polynomes Dire ss LR Us ten 0 (nantes A US CEE En supposant la formule (52) vraie pour le polynome

CA de de

on voit facilement, à l’aide des s relations, qu'elle subsiste pour les polynomes UE (075.., d, A)AOUR 2,0 1 ONE peCtie vement égaux aux 72,, M, .…, Mçaugmentés où non d’une unité. La formule (52) est donc démontrée de proche en proche.