M EN (: ER
en tenant compte des deux expressions (38) de E.
(1) ANGeLesco, Bulletin de la Section scientifique de L'Académie roumaine, t. IV, p. 30.
Ut, Ve
De l'identité (81) et des développements (79) et (80) nous déduisons la relation
ns [1— p(x)] Le SNL À) 2 À :
— = ; — æ)l ) mi (mi; D o(x)] Or ma
Yes
mL sc.) Ts) À — 1);
Nous aurons $ — 1 autres relations analogues, correspondant aux variables +,, ..., &,. Démontrons, à l’aide de ces srelations, que l'on à
(82) On, me (T4) ..) Ls À)
à 1 2A(SR— 1). (2À — mi —...— mu +1) ml...ms!l (2 —1)(2A—3)...(2À— 9m —...—2ms;+I1) à 1 > 1 <, Ma + + My À — = À+ = ditet ms Ne 2 A ES at ED
NS Ceci est immédiat pour les s polynomes
DE RTEe css Les, À), Or CAS 0 05 020 À),
OA 0 ds, M).
En supposant la formule (82) vraie pour le polynome COS AMG AR ONE À):
on voit facilement, à l’aide des s relations, qu'elle subsiste pour le polynomé ©,,,....,7, (is 2. &ss À) OÙ p,, Ps, .…, p,sont respectivement
égaux AUX 7, Mo, -.., M, augmentés ou non d’une unité. La formule (82) est donc démontrée de proche en proche.
72. En supposant la forme quadratique o(x) décomposable en s carrés positifs, nous déduisons de la formule (82)
NE f tot) OR Lise À) OR Li ee do) dm du 0) (s) x
le domaine d'intégration étant $(x)21 et où À <= et
Mk... + Ms ut... + Ms.
73. Considérons les polynomes 2%, ,.(æ,, -.., &,, À) définis par À. 13
le développement I 2 À : = di) Le LE) —g(æ)| = Lars. i As Mon, ms (15 ...) Ds, À).
Ces polynomes sont reliés, comme on le voit facilement, au polynome précédent ©, par la relation
(84) OR Ut Los; À)
Mit +ms x, x à | (æ) —17] É om ( Le pe EE — j : Vo) Vo)
On peut les déduire aussi des polynomes II,(x, À) de même que les polynomes IL, .,.(æ,, ..., &,, À) qu'ils généralisent. On a, en effet,
N E (85) > A AT DC 2e (re 8 02e (ES à).
Mk... + ms = N
74. Ayant mis le premier membre de (53) sous forme d’intégrale multiple, nous avons trouvé
(86) [(1—@ Vi—...— à 5) — 2? —.".. — x? T r(— joe :) X (I1— pi —...— es. ra 0
Supposons la forme o(a) décomposable en s carrés positifs. Soit —=S pa) = (Aa + À a t+...+ Aa) 1=1 une décomposition quelconque. Faisons alors dans l'égalité (86) les changements Xi As; Qi + Aid +...+ Aa, (Ita tas), Vi Aiti+ Auti+...+Asts (i—1,2,,.:45), P= Au + Au +...+Aqus (RO) LE
le premier membre de (86) deviendra identique au premier membre
1e de (83), car il est facile de voir que
