T; (END MERS
dh(a) (89) DATE,
[ Do(a) sera donc, en désignant par D le discriminant de la forme 4 (a), la forme adjointe à Ÿ(a). En partant d’une décomposition en carrés de
la forme (a)
(90) Va) =Ÿ (ait + ant... + aa) Les)
eten posant
(91) id +. + sas = D; (Etes. S)
on tire
(92) Qi = Bibi + Bab +... + B:b, (1125652) La transformation (89) deviendra, avec ces notations,
(93) 1 01 —+ io0o +... Has bs—= x; (PEL),
et, de la comparaison des deux systèmes (91) et (93), on déduit que l’on aura
bi Bis + Brte+...+ Bi, (ere Si) Donc
(94) CAL (Bar da + Bio do +... + Bisds)?.
VA
Considérons alors le développement s—1
(99) amie aa + c)l ee
== Sara De NO A 0 ae (re ee À)
définissant les polynomes ©,,,..,.(æ,, ..., æ,, À) qui généralisent les DolNnome Ne (2er 20) Du développement
(1—20x+a)}=EarP,(x, À),
qui est absolument convergent six] <<ret|x|=1, on déduit que
(96) >» AP On ms ses Los À)
DOUÉ + des Ve ea Vy(a) à
relation qui nous permet de déterminer les polynomes +, .,, à l’aide
des polynomes P,, et, de plus, que le développement (95) est convergent si (ati+...+a;x,)
da) <1 et A)
pe = 9.
en remplaçant dans ces inégalités Ÿ(a) par sa valeur (90) et en gardant
les notations (91) et (92) on voit que
PS
Ati +... + AD (ous +...+ &si@s) (Bai +. :.—+ Biz);
ei
donc, d’après ce qu’on a vu pour les polynomes de etude relation (94), il résulte que les inégalités précédentes sont vérifiées
SI (a)<r et g(x)£n,
et dans ces mêmes conditions le développement (95) est convergent.
81. Les polynomes ©, et, .,» de même paramètre À, sont des polynomes associés (‘). Démontrons, en effet, que l'on a
ent (97) ' [t— p(x)] 07 Les a nl ce CL 0, {s)
; : : . ‘ à LE + le domaine d’intégration étant o(æ)£1, À < ; et si l’on n’a pas en MO TOMPS 77, — 7200 Mn.
Calculons pour cela l'intégrale
à =f 0 2e pu lie. 20 Ts da] +
X (O7, m dæ; sus dæs
étendue au même domaine. Cette intégrale se réduit, après avoir remplacé ©, par sa valeur (82) et après avoir fait m,+...+m, intégrations par parties, à
DS nm le DU LI De HER av f [1—2ax—...—2a;x;+vV(a)] Ë
Mie. Ms — À
1] X [1r—p(x)] OV Ode
la constante C ayant la même valeur que dans l'intégrale I de (70). Remplacons dans cette intégrale Ÿ(a) par la décomposition (9o) et,
(1) ANGELEsCo, Comptes rendus, 1. CLXI, p. 490.
en gardant les notations de (92), faisons les changements Mid +...+ As As = D; (LEE eee);
Badi ex r = Vi (Er 200%),
on aura, en tenant compte-de (94),
We dote S Jus DD V1 4 00; YPO ER | .
æ m Eh — (orare My Ms
VA
Mit ms — À — =
X (1—yYi—...— y?) Aya etdy, le domaine d'intégration étant y} +...+y;£1 et A le discriminant de #(x). Donc
I étant l'intégrale (70). En nous reportant aux résultats trouvés pour cette intégrale, on voit que
NOR :) ‘à 5 Ai... 4.
5=C(x) SEE A { (me, + ms + 1) V
pour b(a)£+1. Cette intégrale nous prouve que l’on a bien l'égalité (97) et, de plus, que
re Î [1 cs o(æx)] < (OP ne dx; re AH, s)
è (on++ Re =) +:)
… Cr va Dm ++ M —À)
Il résulte de la relation (97) que le polynome ©... de degré m+...+m=N s'exprime linéairement au moyen des polynomes Ÿ,,...n, de degré n,+...+n,— N et que
She fe [1 — o(x)] 0 ND AUS AD) D C0 (s)
( I G> ONE OE c++)
et le domaine d'intégration o(æ)=1.
De cette dernière égalité et de (96) il résulte que
