ROC) AP AR

En effet, en considérant l'intégrale ie KP IE D Ge mo) dr EN dr; (s)

on pourra choisir p,(æ,, ..., æ,) tel que la valeur de cette intégrale soit plus petite que toute quantité n donnée d'avance. Mais au degré nr de p,(æ,, ..…,æ,) ainsi choisi, correspondra le polynome #,(æ,, …., 2.)

pour lequel on a le minimum J.. On à donc

Jr ue

et par suite de (15) il résulte notre proposition.

On voit aussi que, dans les mêmes conditions, le coefficient (14) tend vers zéro, lorsque le degré r de U”” augmente indéfiniment.

Didon (!) a donné un exemple de polynome U}” pour le cas K=1 et le domaine D étant défini par æ°+...+æx=1.

Les polynomes de Didon ont été généralisés par Orlov (?) et par

Steklov (*). On peut facilement former d’autres polynomes U".

ete ten ie Prenons K—= (it) (ir) tr) et 00 maine D défini par æ£r, æ£1, .….,æx;£<1. En posant alors

Pr — Pris À) .. Pratt À dr

P, (x, À) étant les polynomes dont nous nous sommes occupés dans la première Partie, on voit que l'intégrale

EN Eh À i (1 — xi) Ce) AU Ur RER (5)

est nulle tant que l’on n’a pas m, = n;, ..., mn. Plus généralement, on formera des polynomes U}”, à l’aide des

polynomes X}, (4—1,2, ..., s) de degré 77 tels que

Bi He) NX d£=—0 (mn),

k,(æ) gardant un signe constant pour x compris entre &; et G;, où K=—£4,(x,)4,(æ), .…, 4,(æ.,) et le domaine D défini par les inéga- -

Hé se TER TEA EN):

9. Cherchons à former deux suites complètes de polynomes PARPR Cr ne NAN ER 0e dur) les TolNnomes de mème degré dans les deux suites étant linéairement indépendants, tels que

4e RPPR Or dr; 0) {s)

tant que l’on n’a pas p=— q et & — v. Ces polynomes P et R doivent

(1) Annales de l'École Normale, 1"° série, t. VIL. (2) Nouvelles Annales de Mathématiques, 1881 et 188, (3) Thèse, Petrograd, 1881.

être de la classe (x), d’après ce qu’on à vu au point 5. On vérifiera, sans peine, que l’on obtiendra les polynomes Pret (P) , A / RE (YEN NN, d'un degré donné p par la méthode sulvante. On posera

PCA DES ANNEE EE TA 0) PP ps VP + duo VO +... + dos VE

Pr TT Can Ve + jo NP + CC => ii Vipr, puis

RE = Pas VP + Pre VS + + Bar VP,

RP = Bus VO + Ba VO +. + Ba VE,

RG; VP+ Ba VP +. + BV) où l’on désigne par # le nombre N,— N,,, et l’on prendra pour

CH eee do) (ERRCUTS EE Can) RE UE Lien tte)

(B11» Bis) es Dire (Bo4» Be» er Da) …..) (Bis Br, 0)

les coordonnées homogènes, dans l’espace à z — 1 dimensions, des sommets de deux polyèdres à z faces conjugués l’un de l’autre par rapport à la quadrique Ÿ(y,, ÿ2, . ., yi) = 0 définie au (8).

10. Si d’une manière quelconque on a obtenu une suite complète de polynomes Pay =; 2, MIN N tr, 2, 0, adunf:) derla classe (1), les polynomes d’un même degré étant linéairement indépendants, on peut déduire tous les polynomes de la classe (1); il suffit, pour cela, de déduire de cette suite les polynomes V,,, Voilà comment on procédera pour déterminer tous les polynomes Vin Cte..+n;=p) d’un même degré donné p. Désignons par 9 l’ensemble de termes homogènes de degré pen x,, æ,, .…, æ, contenus dans le polynome P?° et considérons le système formé par lésSrnéquations, : = NN,

pÿ —a;=0 CNE), comme un système déterminant les z inconnues

dans... APS (Mi+ Mat... + M=p);

noustirerons +*...æ* en fonction linéaire et homogènedea,,a,,..., &i. On aura le polynome V,, (nr, +...+n,=p)sidans cette expression de æ"...æ" on remplace les a, par P#”. C’est ce qui résulte du fait que les polynomes PŸ/(y —1, 2, ...,i) sont linéairement indépendants, et que, ces polynomes étant de la classe (1), le coefficient de a...@"(r,+...+r,=p) dans PP est le même que le coefficient de V,. .., dans son expression

p°re == » mms, DEN OPEN O 0 EL SO

Mat. HMS =p

Didon (‘) indique cette méthode pour déduire les polynomes V d'Hermite des polynomes U.

11. Tout polynome P de la classe (1) doit s’annuler dans Île domaine D d'intégration, car s’il gardait un signe constant, l'intégrale

f KPaz, a, (5)

ne pourrait pas être nulle, mais des conditions (1) il résulte que cette intégrale est nulle.

Plus généralement, si un polynome P, de la classe (1), est décomposable en un produit de deux facteurs entiers P — QR, chacun des polynomes Q et R doit s’annuler dans le domaine D. En effet, si le polynome R, par exemple, gardait un signe constant dans le domaine D, l'intégrale

f KOPRS ur, {s)

qui devrait être nulle en vertu des relations (1), puisque le degré de Q est moindre que celui de P, ne le serait pas, car en remplaçant P par QR, elle deviendrait

Fe KORTr EP Ure (s)

ce qui est une intégrale composée d'éléments ayant tous le même signe.

(2)#Thèse, p.25

12. Les polynomes P définis parles conditions(1)se rencontrent dans la résolution d’un problème qui se pose dans la recherche des fractions continues algébriques correspondant à une certaine fonction. Considérons, en effet, la fonction

LINGE EE À) SEA c 0 AD) : AGIT es Ji æ D Do L

l'intégration étendue au même domaine D, dans lequel K(y,, ..., y.) garde un signe constant. Le point (æ,, æ,, ..., æ,) étant pris dans une

région convenablement choisie, on aura le développement

L =!" S(x) Pr ds : i Lo, 7)

y Vs LU NOR LARG D = SE À Ti TL

valable dans le domaine D entièrement à distance finie.

En posant alors han en K(Y:; ag rs) HR DE) . y? dy: dy: 040 dY:, (s)

nous aurons le développement f(æ,, ..., x.) suivant les puissances négatives des variables ie” I Ah, Mas er Ds

Re) D D nr Proposons-nous de trouver le polynome P, le plus général de degrép

, æ,, tel que le produit

Ph ee Y Au m.

Li... Ts GO ce SET

CD, La.

n’ait plus de termes de la forme ae en OÙ LE, + gti Cp, les z, étant des entiers positifs ou nuls.

Posons Mit...+Ms=p PE > PE AO LE

M +...+ms; =0

et exprimons que le coefficient de =—— dans le produit fP est TIRE

nul, nous aurons

Len On RS =)

a] > ns, ...,ms A ns Léon ms+i, — 0

Mit. 01 —0

pour toutes les valeurs positives ou nulles des entiersz,, #,, ..…., 1, dont la somme est moindre que p. Ces conditions sont identiques, comme on le voit immédiatement, aux conditions (1). Donc le polynome P cherché est un quelconque des polynomes de degré p de la classe (x). On pourrait déterminer complètement le polynome P par des conditions supplémentaires. Par exemple, que le polynome P n’ait qu’un terme de degré p, le terme &*...x%(n, +...+ n,= p}), alors on trou-

vera le polynome V,, .., ; ou bien que les termes de la forme Re

oùE, +... + 1, == p, disparaissent aussi du produit fP, excepté le terme

(| ; n en pat rea Ul +...+2,=p), alors P se réduira au polynome

CE Ca NC

W,..n, qui est le polynome adjoint de V,

HADLS ITS

Calcul approché des intégrales multiples.

13. La théorie des quadratures mécaniques a été étendue par M. Appell (‘) aux intégrales doubles. Nous allons étendre cette théorie aux intégrales multiples, en la précisant et en la complétant sur certains points. Considérons d’abord le cas des intégrales simples.

Soient K(x)une fonction donnée de x susceptible d'intégration dans un intervalle donné a, b, et

J(£)= d+ Mr +at+...+ ax) -

une série convergente dans cet intervalle ainsi qu'aux limites. Pour évaluer l’intégrale

I = ['Kte) de= Ya,

(1) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1890, p. 9.

Li 97h où

b L= f Rs) de

substituons à f(æ) le polynome de degré r — 1

(TXT —L3)(x — ts)... .(æ — x»)

Ste men) re) / 2) (t— æ#,)(æ—x;) (æ LT n ;

; (La — Zi) (Xe — 3) (æ na A)

En ee eee ie el Va Nes ae res sr EN MES se (tr m)(x— tt) (&— 25)

CAD) ° (Tr — Ln1

qui est, d’après la formule de Lagrange, le polynome de degré n —1 qui devient égal à f(æ) pour n valeurs x,, æ,, ..., æ, choisies dans l'intervalle a, b. Nous prendrons pour valeur approchée de l'intégrale I, l'intégrale

b J = K(x) o(x) dx = pi f(æi) + Pa fa) +... + Pa f(&n),

Pas Pas +, Pn désignant des constantes qui dépendent de la valeur de æ,, æ, ..., æ,, Inais non de la nature de la fonction (x). Par

exemple b

(T—z)(T— 23)... (x —%,) = K dx.

à (T1 2) (Ti —Zs).. (Ai — La) CE En remplaçant f(x,). f(æ,), ..., f(æ,) par les séries correspondantes, on a

Vr=—= 0

\\ \ x à JL D Ay( Pa ÆŸ + Path +... + Path).

Y=0 Si l’on suppose nuls les coefficients DCE ee ENT:

(x) se réduit à un polynome de degré x — 1, o(æx) devient identique 1 po1y 5 T | à f(x), et l’on a alors LES,

quels que soient a,, a,, ..., a,,. On a donc Pins: Ur — 1; P1T2 + Po Lo +... + Pan — 1:

(16) PT? + Piti +... +Prti il,

4% =, TAC PaTi Pots +... + Par = 1,1.

Ces relations ont lieu quels que soient æ,, æ,, ..., æ,. Pour obtenir une approximation plus grande, disposons de ces » quantités de façon à rendre égaux les ? termes suivants en

Ans Antis ++) ons dans les expressions de I et J. Nous aurons les » nouvelles équations Pa TRE Dits Fi: patio}, (17) PiTi EE Pare Eee Pari n+1»

Air AU | A LE ET Pix: + Pa Lo He Pr TO

On a en tout 2r équations (16)et(17)à2n inconnues p,, Ps, ..., Pr, DD is LOU |

P(z)=h+kiz +2. LH, sat le), le polynome de degré 7 ayant pour racines æ,, æ,, ..., æ,. On aura Br 0, EE) 0, Ne RAC

pouri—1,2,...,n. Alors, en multipliant, dans le Tableau des équations (16) et (17), la première par À,, la deuxième par À,, …, la (nr + 1) par À, et ajoutant, on verra que les coefficients de p,, Pos...) Ph SOnt nuls, et l’on aura

À, 1 + Al +... + ae 1e cn À» 185 0?

De même, en multiplant la deuxième de ces équations par À,, la troisième par À,, ..., la (n + 2)*% par X,, on aura

kl À L Fe. 1 ln + An lo+1 = 6X; +. Au :

et ainsi de suite jusqu’à

À pe Ft À I, + te Ân Le + ee —= 0.

Ces équations, qui déterminent les rapports des coefficients À,, À4,..,

À, à l’un d’entre eux, expriment que le polynome P(x) satisfait aux n relations

b l K(e)Z7P() 770 CP O0 BR an),

qui déterminent le polynome P(x+) à un facteur constant près, à con-

dition que K(x) garde un signe constant entre a et b. Par exemple, ; 1

SK) EX mn a= —1,b—=+1,P(x)est égal à un facteur constant près, au polynome P,(x, À) de la première Partie.

Si K(x) changeait de signe dans l'intervalle a, db, le polynome P(x) pourrait ne pas être déterminé par les conditions précédentes. Il paraît alors possible d'annuler un terme de plus dans la différence 1 — J. Parsexemple, en prenant a = br, K(x) 522 + xs, ail existe une infinité de polynomes du second degré P(x) vérifiant les deux conditions

ue KÉNP()72E= 10; he RP EL) T0;

C’est ce que l’on vérifiera sans peine, en montrant que le polynome P contient deux coefficients arbitraires.

14. Le problème de l’extension de la méthode de Gauss aux intégrales multiples se présente maintenant d’une manière simple. Soient K une fonction de +,, æ,, ..., æ, susceptible d'intégration et gardant un signe constant dans le domaine d'intégration à s dimensions D; FX, æ, .…, æ,) une fonction développable dans le domaine D en une série de puissances

à RS Ms 2m ms PA NAT NC IE ACNOPELACE

L'intégrale multiple d'ordre $

= Ky(r @ 02) dr, dr. dr, (s)

étendue au domaine D, aura pour expression la série

LS I Sue 2 ni,me,...,ms ARE ro ls)

si l’on pose Lors = Krucrs .. HS dx; 0 dæx..

Prenons un polynome complet de degré p en æ,,æ,, ..., æ, Mit... +Ms=pP

—-. m m DT SET) > Dan LEE

Mit... + ms = 0

Désignons par # le nombre des coefficients b,,..,, et déterminons ces coefficients en exprimant que le polynome ©(x,,...,æ,) prend la même valeur que /(æ,, -. æ,) en points (t,,, Dir Pr) (D De La) Co (ide id.) SIluésdans 1e dOMAmneRDiet n’appartenant pas à une surface d’ordrep. Les coefficients db... sont ainsi déterminés par des équations du premier degré dont le déterminant n’est pas nul. Ce polynome pourra se mettre sous la forme

DR Lo) PAT RS Ca 0)

La P;(æi, * x 1 Ts) f(19; Las -: +, so)

les polynomes P,(x,, ..., æ,) étant tous de degré p et ne dépendant pas de la nature de la fonction f(x,, .….,æ,); car on voit que, par exemple, le polynome P,(x,, ..., æ,) sera complètement déterminé par les conditions : se réduire à l’unité au point (æ,,, æ,,, ..., æ,,) et s’annuler aux autres z — 1 points (æ3,, &av, ..., &,,). L'intégrale

| Korea) deu : (s) deviendra Jp (rar dt) + Pa (Ai) Log ve) Ts2) +. «+ pi (ai Laine Der)

Pis Paie: Pine deépendentquede Cr, Lo DD D Cette intégrale J pourra s’écrire sous forme de série

= m m nn m1 m PAUL m m Ju mPiT ii. EE pi ET DU D Ce D)

et l’on prendra J pour valeur approchée de I. Si, dans f(æ,, ..., æ,), les coefficients a,,,,,..M, de tous les termes de degré supérieur à p

(mn, +...+m,>p) étaient nuls, f(x, ...,æ,) serait un polynome de degré p, eto(x,, ..., æ.)serait identique 21%, .,7,). On aurait

donc ==):

quelles que soient les valeurs de z premiers coefficients

5 An mu... + MmsEp), ce qui donne

(ES) Di 274 DT AT De Cia. Diet de PIC Ca lens, pour toutes les valeurs de m,, m,, ..., m, dont la somme est moindre

que p +1, M+M+...+ms£p.

On pourra ensuite chercher à disposer de st indéterminées CN 0) dr 2, detaconarendre identiques sc des termes suivants dans les développements de I et de J, ce qui fournira si équations nouvelles de la forme

ui L $ } ‘ — (9) pirtiais... af + parties ah +... +piatien. ai lin... ps

On aura en tout un système de (s + 1)réquations (18) et(19)à(s+1)c HICONAUCS D Dee De Co Da EN) Vlr 2: le

[I faudra, pour que le problème soit possible, que ces équations soient compaubles et/donnent pourtles points (æ,,, Gays LV il; 2, ..., 1, des points réels appartenant au domaine D et non situés sur une surface d'ordre p.

15. Le cas le plus simple de tous est le cas p = 0,1 — 1. On susbtitue alors à /(x,, ….,x,) une constante f(x,,, &,,, ...,æ,,) égale à la valeur que prend /(x,, ..., æ,) en un certain point (&,,, Æoss +.» Œn) du domaine D. L'intégrale J devient

TR DE =} KA del (s)

On pourra disposer TDOINÉZ Em, +. Li) déliconrasegaler les s termes suivants dans les développements de I'et de J, ce qui

donne Pa Lui — Er: Pit lo 1, See 0? ... Pit do 00 d’où Die ee Sares ES Tan — net se = us 0,0,...,0 AE 00 0,03-..,0

Donc le point (æ,,, æ2,, ..., æ,,) devra être choisi au centre de gravité du domaine D, la densité en chaque point étant égale à K(x,,x,,...,%,). Si l’on forme le polynome Le plus général du premier degré

P—=A,+A,x+At+...+A.t,,

SANNUIANT POUL 1 — Tyi4 Le = Lai rs Li Loi: OI VON CROCrDrANt

A+ An ae AS Le es oosr ARTE O, c’est-à-dire

Al,0,...,0 + AT lors 0e es AS 010.

que ce polynome possédera la propriété

4 Re, (S)

ce sera donc le plus simple des polynomes de la classe (1). Ce polynome égalé à zéro donnera un plan passant par le point fixe cherché

CE LATE do)

10. M. Appell donne, pour le cas de deux variables, deux autres exemples simples, sur lesquels on voit comment les polynomes de la classe (1) interviennent dans cette théorie.

Sur un autre exemple, M. Appell montre que la détermination par les équations(18)et(19)desp;,p., ..,pretdespoints(x,,,2,,...,æ,), vVæ=1,2,..., 4 situés dans le domaine D, peut être impossible.

17. M. Bourget (‘) a apporté à cette théorie, dans un cas particulier, un complément intéressant. Essayons de dégager l’idée générale, qui, croyons-nous, à conduif M. Bourget au résultat qu’il énonce. Consi-

(1) Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t, CXXVI, p. 631.

dérons le cas de deux variables. On cherchera, de même, à trouver une valeur approchée de l’intégrale

= f [KZ 7 de dy

par la substitution à la fonction (+, y), qui admet un développement suivant les puissances de + et y valable dans D, d’un polynome (x, y)

tel que = Ko(x, dx dy nul (x, y) UV

donne une bonne approximation. Mais le polynome 9(x, y) sera déterminé par un autre nombre de points que précédemment. Soit P(æ, y) ot Q(x, y) deux polynomes de degré p tels que les courbes PÉZ, 3)=0 et DCE) 0

se coupent en p* points (20) (æi5 Yils Ces Vas -, (T°, Ypr:)

situés dans le domaine D. On prendra pour o(x, y) un polynome d’un Re) degré p es Si DE ee EN NNGNETINES à p° termes. La forme du polynome o(x, y) n’est pas déterminée, elle sera choisie de manière à ce que certaines conditions, que nous allons préciser, soient satisfaites. Nous déterminerons les p° coefficients du polvnome o(x, y) en exprimant qu’il prend la même valeur que / (x, y) en les p? points (20). Il faudra, pour qu’il n’y ait pas indétermination, que la forme de (x, y) ne soit pas telle que les p* points (20) sotent situés sur une courbe dont l'équation contient les mêmes termes en x et y que o(x, y). Le polynome &(x, y) pourra alors se mettre sous la forme

o(æ,7)=P;(z, 7) fe 71) + Pie, 7) fe Ja) ++ Pa(a, Y) (pts Y pt);

le polynome P,(æ, y) étant complètement déterminé par les conditions : être de la mème forme que o(+, y) (c’est-à-dire avoir les mêmes p° termes en æ et y), se réduire à l’unité au point ,, y, et s’annuler en

tous les autres p°—7+1 points (20). Les polynomes P,(x,y) ne dépendent done pas de la nature de la fonction f(x, y). L'intégrale J deviendra

U= ff KPutæ dx dy.

On verra, comme précédemment, que l’on a les p? relations

où l’on a posé

IL ty} + If y} +... + IL: th pe = Liv

L,,v = [ [Kery dx dy, D

correspondant à tous les termes a#y” qui entrent dans la composition de o(x,y). Ces p? équations nous permettent de calculer les IE,, qui entrent dans l’expression (21) de J, en fonction des coordonnées (20).

En général, si les polynomes P(x, y) et Q(x, y) appartiennent à la classe (1), on aura 2p° + p relations de la forme

où

I 2° y} + IL z', y? +. se + oznyh=l, (+y É 2P)

pour toutes les valeurs positives ou nulles des entiers & et y dont la somme est moindre que 2p. Donc dans les développements de Let J les 2p° + p premiers termes seraient identiques.

Démontrons-le en supposant, pour simplifier l'exposition, p = 2. Prenons pour o(x, y) le polynome

DT, Y)= Got TE + dt: Y + ax.

On aura alors, quels que soient les points (22) (di Ji), (da Ye), (æss Ya) (ai ya) situés dans le domaine D, les quatre relations :

X:=IL + IL + Il, + IT, =; X=ILx +Ilz, +Ibz, +IlLzx, 0 0; X=IL Y:+IL y, +IL + Y:—-L:=o, X,= IL 27: + ILzx:y:+ ILx:7:+ Lx, y — Lio.

Nous voulons que l’on ait encore les six relations :

Xs zizi +ILz +ILz? —[L,—0o, XI ME TEE + y?—L:—0, a. X = Ie y; + IL y: + ILxi 73 + IL y; — Lbi=o, XS = IL z, y? + ILz, y2+ La; y2+ Lx, y?—L:=o, Xe Ne + IL xi + Il, x + Il, x — L,,= 0, Xo=1 yi+Il J3+ Il y Ve: 0

Les relations (23) et (24) forment un système de 10 équations à 12 inconnues IT,, IL, I1,, II, etles 8 coordonnées (22). Prenonsles polynomes P,(æx, y) et Q,(x, y) de la classe (x) :

P,(x, y) =A &+B zy +C y +D x+Ey+EF, Q:(x, y) = Aa? + Bixy + CGy?+ Dix + Er +F,.

Donc À Lo+B Li+ClL2+D Lo+E bi+E L,0—=0, AB;+BLi+CL:+D Lo+E Li+E Lo—=o, (25) Abi+B L:+Cl3+D Lhi+Elo:+E L:=o,

Au bo + Bb 1 + Cib,2 + DLo+Eli+Fl5=o, A: L:0 + B;L ; me Gil: + Db,0 + El, + FL, — 0, Ab, + Bill, + Glo,5 + Dili + Elo + Filo1= 0.

On est alors conduit à considérer les équations

AX;+BX,;,+CX,; +D X,+E X;+F X,—o, AX;,+B X;+CX,; + D X;+E X,+F X:—o, AUX EE D OS EN EDEN EE RE EUX: — 0, AXs+BX +CGX; +D,X,+EX;:+F,X:—o, AXE BX + GX DIX +EX,+FX, —0, A, X+BiXs+ GXio+DiX, + EXs+ FX;—o.

On vérifie alors immédiatement, en remplaçant les X, par leurs expressions de (23) et (24) que ce système (26) est satisfait si les points (22) sont les points de rencontre de coniques

P,(x, y) =0 et Q:(æx, y) — 0.

Pour que le système formé par les équations (23) et (24) soit équivalent au système formé par (23) et (26), et par suite être satisfait

pour les mêmes valeurs des points (22), il faut que le déterminant

AMC 010 0 AL CR O NO COR O Ne D'OR MECTMEAMNES Dh ot di Gr Aie ON EMA PE EC PRE EA NP TOR C:

soit différent de zéro, condition qui, en général, est remplie.

Pour le cas de p quelconque la démonstration sera la même, on formera les p? équations correspondant aux (22) et les p? + p correspondant aux (24); il faut seulement tenir compte que, pour p2#4, le polynome (x, y) doit être choisi de manière qu'il n’y ait pas une des p° + p équations correspondant aux (26) qui résulte seulement des p° équations correspondant aux (23), car dans le cas contraire on ne pourrait plus conclure à l’équivalence des systèmes correspondant aux (24) et (26).

Pour que l’on puisse appliquer les considérations précédentes au calcul approché des intégrales doubles, il faut d’abord s’assurer de l'existence des polynomes P(x, y} et Q(x, y) de la classe (x) tels que les p? points d’intersection des courbes

P(2%7) =t00 Met Or) 0

soient dans le domaine D, et puis choisir convenablement le polynome (+, y), ce qui est probablement toujours possible vu le degré d’indétermination du problème.

Dans le cas K —7:1, le domaine D étant a +y?£1, M. Bourget indique, comme polynomes P(x, y) et Q(x, y), les polynomes d'Hermite U,, et U,,,. Les courbes

dP(a— x?— y?}r dP(i—x?— y?}?

se coupent bien en p° points situés à l’intérieur du cercle x? + y? = 1. Donnons, pour le cas simple p — 2, quelques détails. Les courbes

U,o—= 32 + y?—1—=0o et Us 2 350

déterminent les points (22)

Le polynome PT, Y)= + MX + y + a32Y

pourra être déterminé de façon à prendre la même valeur que (+, y) en ces quatre points, car le déterminant

DT Vs Ci) à 1 Lo Ya Laÿa DUT):

1 %L, Ys Lie

n'est pas nul. En faisant dans le tableau (26)

BD BD Ro.

APCE, CEA ==, FF, —=—1,

il deviendra | SN Ka XT— O,

3Xo+ Xs — X,—0, Xe Xi Xs— 0, RC Ex 0 Xo+3X3 — X,—0, MX OX EX, — 0,

sur lequel on voit immédiatement que si X, = X, — X, = 0, conditions résultant de la forme de #(x, y), on aura aussi