X:— 0: X2—0; X;:— 0, NE

Du tableau (28) on tire alors

NN, XS Xe x O0.

Pour cette forme aussi du polynome ©(x, y) toutes nos conditions sont remplies.

Dans le tableau (28) X, n’entre pas; on ne s’est donc pas servi de la

relation X,= 0,

qui résulte de chacune des deux formes de ©(x, y). Montrons, à l’aide de cette relation, que

Xu= IL pi + zip + Ici ps +ILaini—hi1=0, Ne — 1,7; Lis IL x, y5 + IL 3 y5 + IL, x, y? — pre oO.

En effet, en tenant compte de

ff erv de dy —0 ét [fer Vus de dy = 0,

il résulte que DE Xuo — X, — 0, X,9 + 2 Xi X, — O.

Donc si X,— o, on déduit X,,—o et X,,— 0. Nous voyons donc, sur ce cas particulier, qu'en employant cette méthode, on peut atteindre le maximum de l’approximation cherchée, car on a la solution d’un système de 12 équations à 12 inconnues et ce résultat peut être obtenu avec différentes formes du polynome o(x, y).

18. Les considérations générales précédentes, sur la méthode de M. Bourget, peuvent être étendues aux intégrales multiples.

On peut voir que, ayant trouvé les polynomes P,(x,, æ,, ..., æ,), Pa (Di; Das ce, Do) , P(d, &,, …, &,) de degré p de la classe (1) tels que les surfaces

CO) Cr re 0: LS 0 Hi) oO, ns PAC RON 0

se coupent en p° points situés dans le domaine D, on pourra déterminer, si certaines conditions que nous avons précisées pour le cas de deux variables sont satisfaites, un polynome o(x,, æ,, ..., æ,) de degré moindre que 2p ayant p° termes et prenant la même valeur que la fonction à intégrer f(x,, æ,, ...,æ,) en les p° points où se coupent les surfaces (29), tel que, en remplaçant dans l'intégrale I, f(æ, Dar eees Ds) PAT DA, Li, …, &,), on ait une intégrale J, les intégrales I et J ayant dans leurs développements tous les termes,

d'ordre moindre que 2p, identiques.

2x) 7, 1< et le domaine D défini par x? +æx+...+x'£1, on peut prendre pour Do HOME P Ep DAles s"polynomes (Ur, (2-2. À), US 05 (ir de À )tque nos ayons étudiés dans la deuxième Partie de ce travail. Montrons que les surfaces

Dans le cas K=(1—x—x