A DÉS

Tuéorème 9. — £, est isomorphe au produt direct des treillis 8, associés aux composantes primaires À, ..., À,de A.

Soit Ex —E;+...4E, la décomposition obtenue au théorème 5.

PF, est le treillis des sous-groupes de E;. Il suffira de montrer que

pourtou FEf,onakK D: + FNE;. La somme Z+FNE:est bien IA)

directe car ËÈ + E; l’est déjà ; comme FAE;CEF onaura FDÈ+FANE:.

Soit ueF et g: les polynomes introduits au théorème 6. On

au Da iu avec gu€Ë;, ce qui achève la démonstration.

Tuéorèue 10. — Une condition nécessaire et suffisante pour que À soit non dérogatotre est que #, soit distributrf.

D’après le théorème 9 il suffit de faire la démonstration dans le cas où À est primaire. Nous reprenons les notations du théorème 5.

S1 À est dérogatoire E, est un espace vectoriel à plus d’une dimension sur R/(4), donc le treillis ?, des sous-espaces de E, n’est pas distributif. f, qui prolonge f, ne sera pas distributif.

Taéorèue 11. — Une condition nécessaire et suflisante pour que tout élément de P\ possède un complément est que dans la décomposition du polynome minunal © de À en produit de facteurs premiers, tout facteur Jigure avec l’exposant 1.

La propriété d'existence d’un complément se conservant pour un produit direct de treillis on peut encore se limiter au cas où A est primaire. Soit 9—4* où d est premier. Si E,=/{ueE|Qu—o) est. <E al n'existe pas Reftel que EÉ=FE cr stper, et FE, on a FNhE,;<o [soit ueF, &E, et N(u)—(&f); on a WUuEFNE,]. EE, est équivalent à à —1; la démonstration s'achève en remarquant que E, est un espace vectoriel sur R/(4),

donc que si E — E, tout élément de f, possède un complément.