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de lopérateur compagnon d’un polynome primaire d. Un tel opé-

rateur est bien connu puisque alors E, = R/(47). Par exemple les sous-cspaces stables pour À, c’est-à-dire les sous-groupes de E,, correspondent aux idéaux de R qui divisent (4#). La suite des diviseurs de (4) est (W)c(Ÿt)c... E(L)c(). Les sous-espaces de E stables pour À sont donco CF EC ...CLECE. Ce dernier résultat montre que À ne se laisse plus décomposer en somme directe de deux opérateurs.

On dit qu'un opérateur linéaire est non dérogatoire si son polynome caractéristique dét(z[ — A) coïncide avec son polynome minimal +. En partant de la deuxiéme forme normale on voit que cela signifie que les composantes primaires de À ne se laissent plus décomposer, ou encore que À est opérateur compagnon de son polynome minimal.

III. — Treillis des sous-espaces stables pour un opérateur linéaire.

Un treillis £ est un ensemble partiellement ordonné tel que tout couple d'éléments a, be £ possède une borne inférieure : inf(a, b) et une borne supérieure : sup(a, b).

L'ensemble des sous-espaces de E stable pour A, c’est-à-dire l’ensemble des sous-groupes de F, forme un treillis £, pour la relation d'inclusion. On a en effet

inf(F, G)=FUG, sup(F, G)=(F,G) (F, Gen).

Le traillis £, est distributif si F, G, HE £, entraîne (F, GUH —(FnH, Go).

Nous verrons que cette propriété caractérise un opérateur non dérogatoire,

LL, posséde un plus petit et un plus grand élément, à Savoir Zéro et E, Nous dirons que G est un complément de Fe£,s E,=F+4+G; si tout FE £, posséde un complément nous dirons que A est complétement réductible.

Le produit direct de deux treillis ©, £' est l’ensemble des couples (a, a'),4€f,wef ordonné par la relation (a, a) (D, b') si et seulement si ab, a, Végalité n'ayant lieu que ab;

ab", On définit de façon analogue un produit quelconque de

treillis. Un produit de treillis distributifs est distributif.