IV. — Permutabilité

B p. À signifie AB— BA. Le théorème 17 montre que B p. A n’entraine pas B&r(I, A). G. Frobenius [6] posa alors (1896) la question : « Si B p. À existe-t-il C tel que Aegr(I, C), Ber(I, C)?» En 1919 H. B. Phillips donna le contre-exemple suivant :

O0, U0 Le 0 0 AP SO OL ROME = 07 "0 MO SO AR LAO

On à AB—BA—o et l’on peut vérifier qu'il est impossible de trouver C tel que Agr(Il, C), Ber(I, C). Nous le démontrerons tout à l’heure sans calcul.

En 1929 K. Shoda [ 19 | énonça le théorème suivant : Une condition nécessaire et suffisante pour que A€gr(I, C) et Ber(I, C) est que r'(A)Dr' (Ce r'(B)2>r'(C). C’est là une deuxième formulation du théorème 18, en effet : Si Ber(I, C) & est clair que 6) TC),

st r'(B)3r'(C), B est permutable avec tous les opérateurs de r'(C),

donc Ber'(C)=r(l, C). Ceci est d’ailleurs la démonstration de K. Shoda, mais nous ne pouvons considérer ce théorème comme une réponse satisfaisante à la question de G. Frobenius.

Si la réponse à la question de Frobenius avait été positive cela aurait entraîné que tout anneau commutatif maximal (non contenu dans un anneau commutatif plus grand ) engendré par deux opérateurs est de la forme r(A). Un travail de C. Jordan [9] datant de 1905 montre qu'il n’en est pas toujours ainsi. Il est curieux que cela n’ait pas été remarqué. Nous y reviendrons dans le prochain chapitre. Nous allons maintenant étudier plus en détail la permutabilité de deux opérateurs linéaires A et B, afin de répondre en partie à la question de G. Frobenius.

On se ramène en utilisant les résultats du paragraphe précédent au cas d'opérateurs primaires. Nous supposons de plus que K est algé-

briquement clos et de caractéristique nulle; quitte à changer A en A+ Al et B en B+ 111 on pourra donc supposer que le polynome minimal de À est æ°*, et celui de B, x°. Il se peut que l’on ait E —E, + E;, où E, et E, sont des sous-espaces stables pour A et B ; on a alors A—A,+A., B—B,1B,. Supposons que l’on sache. trouver C, et C, tels que A,, Bi er(I, Cet AÀ,, B, er(T, GC). Quitte à changer C, en CG; + vI on peut supposer que C, et C, n’ont pas de valeurs propres communes. On a alors A, Ber(l,C)+r(f,C)=7(f,C) [ d’après ce qu'on sait des décompositions de r(C), r'(C), r"(C)]: Ceci nous montre qu’on peut supposer que À et B ne sont plus simultanément décomposables. Nous Le supposons dans ce qui suit.

L'opérateur C cherché est nécessairement non dérogatoire car dans le cas contraire on pourrait décomposer C,; ce qui conduirait à une décomposition simultanée de A et B. Quitte à changer C en CHAT on peut supposer que C*= 0, n étant la dimension de E. Tous les opérateurs qui interviennent sont maintenant nilpotents.

Nous obtiendrons des conditions nécessaires pour que Aër(C)enétudiant des propriétés des polynomes en C. Soit C'=a,C+...+a, CC", pour que r(C)=7r(C') il faut et il suffit que 4, < 0 car alors

Cr C0 et Cr CES)

d’où dimr(C)= dimr(C'), d'où r(C)=r(C'). Nous dirons que C’ est un générateur de r(C). Le point de départ de notre étude sera le lemme suivant :

LEmme. — Soit A — b;C'+...+b,,C7t(b;Z 0); ilexiste aumoins un générateur C! de r(C) tel que À — b;C'i.

On cherche C'=C+a C+...+a, , CT! tel que