V. — Anneaux commutatifs complètement réductibles

Nous dirons qu'un anneau R est complètement réductible si pour tout sous-espace F de E stable pour R, il existe F’ stable pour R tel que E=K + F".

En utilisant le treillis des projecteurs d’un anneau commutatf R, on décompose R en une somme directe d’anneaux R; contenant comme seuls projecteurs zéro et peut-être 1. Le théorème 16 montre que tous les opérateurs d’une composante R; sont primaires; nous dirons que R; est un anneau commutatif primaire. Soit R commutatif primaire et A€ER de polynome minimal d*, Ÿ premier. Le sous-espace F—{ueE]Ÿu—o) est stable pour R car si B p. A,ona

DAS DEE = D'U CAE 0;

donc BFCF. Six 1, F ne permet pas de décomposer À, donc si R est complètement réductible, A aussi.

Inversement soit R commutatif primaire engendré par des opérateurs complètement réductibles. A€R à un polynome minimal premier d, donc ou bien A — o(Ÿ = x) ou bien A est inversible(Ÿ Æ£x). R est l’anneau nul ou bien est un corps prolongeant K(R 0 entraine I&R). Dans les deux cas R est complètement réductible (dans le deuxième cas E, est un espace vectoriel sur R). Finalement on peut énoncer, en tenant compte de ce qu’une extension séparable de K possède toujours un élément primitif :

Tuéorime 20. — Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un anneau commutatif R soit complètement réductible est que tout A€ER soit complètement réductible. Tout anneau complètement réductible peut

étre décomposé en R à + R;, où l’un des R; peut étre nul, les autres = A

étant isomorphes à des extensions de K; st ces extensions sont séparables

elles sont engendrées par un seul opérateur.

Cas où LE corps K EST ALGÉBRIQUEMENT CLOS. — Dans ce cas tout opérateurscomplétement réducibIeS ecrit A = 0 LEP PPT

où 1%. 6Lssont les -projecteurde CA) el TMS

Nous dirons que À est un opérateur diagonal. Un polynome en A s'écrit : PO) —P(o)l-L P(A)L + ŒPUM)Ie

Tuéorèue 21. — St K est algébriquement clos tout anneau commutat f complètement réductible R est de la forme r(A) où À est un opérateur diagonal.

SOI 3 dk les DÉPIÉCIQURS minimaux deR et Hola le.

Tout BER s'écrit B — u;d;. Considérons À — =ù À; d; où tous les À;

sont différents, ce qui est possible, un corps alpebriquement clos ayant une finite d'éléments. Il nous suffit de montrer qu'il existe un polynome P(oytel que P(o)=0 PO = 2) PO) = Un tel polynome s'obtient par exemple par la formule de Lagrange.

On a B—P(A).

Remarque À. — Prenons pour E l’espace unitaire à n dimensions. Le théorème 21 montre que tout anneau commutatif d'opérateurs normaux est toujours engendré par un seul opérateur que l’on peut supposer autoadjoint puisque les À; peuvent être choisis réels.

Remarque 2. — La démonstration du théorème 21 montre que les k nombres r;— dimdJ;E(r=—1,...,k)constituent un système complet d’invariants de R, Ac ce “GIE, Nr REC re peuventielre

fixés arbitrairement, pourvu que n,+...+n,-n. I existe donc un nombre fini d’anneaux commutatifs complètement réductibles, non semblables, sur un espace à n dimensions.