I. — Anneaux commutatifs d'opérateurs linéaires

Dans tout ce chapitre, E est un espace vectoriel à # dimensions sur un corps commutatif K et R un anneau commutatif d'opérateurs linéaires sur E.

es

Nous avons vu que RCR'CR'". Pour les anneaux particuliers étudiés au chapitre précédent on a R’=r(R, I). Cette propriété n’est plus vraie dans le cas général à partr de x — 4, comme nous le montrerons par un exemple.

Nous dirons qu’un anneau commutatif est maximal si R—RK, c’est-à-dire n’est pas contenu dans un anneau commutatif plus grand. Un anneau commutatif n’est pas égal à l’intersection des anneaux commutatifs maximaux qui le contiennent, comme le montre le théorème suivant (valable pour E quelconque) :

*“ Tnéorème 22. — R' est l'intersection des anneaux commutatifs maxtmaux contenant R.

Soit S commutatif maximal et contenant R ; 1l faut d’abord montrer

ques DRE Onas—=S = S'EdesS=R on déduit, SCRIpus Se Re On a donc RC [A S et il reste à vérifier que si AR’ il existe S

Smax 2 R maximal ne contenant pas A. Deux cas sont à envisager :

1° R'— R'et alors tout anneau commutatif maximal contenant R coïncide avec R''; 2° R'3R/ et alors il existe BER', &R’ et tel que AB >< BA, car

dans le cas contraire on aurait AeR’.

Il existe S commutatif maximal prolongeant r(R", B) qui est commutatif, et nécessairement À &S puisque AB >< BA.

En utilisant le treillis des projecteurs de R on décompose R en une somme directe d’anneau R;. Les seuls projecteurs de R; sont zéro et éventuellement 1, donc d’après le théorème 16 tous les opérateurs de R; sont primaires. On dira que R; est un anneau commutatif primaire. Un opérateur primaire non inversible étant nilpotent nous pouvons encore dire que dans R; tout diviseur de zéro est nilpotent. L'étude d’un anneau commutatif est ramenée à l’étude d’un anneau commutatif primaire.