II. — Anneaux commutatifs primaires

Soit R un anneau commutatif primaire d'opérateurs linéaires. Si TR cela entraîne que tout A ER est nilpotent| si À inversible ER,

on a IEr(A)CR|, ainsi que R puisque R est engendré par un nombre fini d'opérateurs. Comme nous étudierons les anneaux commutatifs nilpotents au prochain paragraphe, nous supposerons TER dans tout ce qui suit.

Nous allons montrer que lorsque K est un corps parfait l'étude de R primaire peut être ramenée à celle d’un anneau nilpotent. Pour cela nous montrerons que R contient un corps K’ isomorphe à un prolongement de K et tel que tout AER s’écrive A — A'+ À avec A’ nilpotent et A€ K’. On pourra considérer E comme espace vectoriel sur K', ce qui donnera un nouvel espace E’. On pourra considérer R comme anneau d'opérateurs sur E’ et tout A€R aura alors un polynome minimal de la forme (x — A)*où AeK'; A s’écrira A=A'+AT, où A’ est milpotent; 1l suffira d’étudier l’ensemble des opérateurs nilpotents de R, c’est-à-dire un anneau nilpotent. Notons en passant que la propriété pour R d’être maximal est indépendante du fait qu’on considère R comme anneau d'opérateurs sur E ou E.

Soit N le radical de R, c’est-à-dire dans le cas présent l’ensemble des opérateurs nilpotents de R.

Tuéorène 23. — L'anneau RIN est un corps isomorphe à un prolongemeut de K.

Première démonstration. — Si A €R est diviseur de zéro, A n’est pas inversible, donc a la valeur propre zéro, donc est nilpotent. Ainsi il y a identité dans R entre les notions opérateur nou inversible, opérateur milpotent. Dans R/N cela se traduit par l'identité des notions élément non inversible, élément nul. R/N est un corps K’ et K’ est isomorphe à un prolongement de K carleR.

Deuxième démonstration. — L'étude d’un anneau commutatif peut être rattachée à la théorie des idéaux de polynomes; les résultats connus peuvent se démontrer par cette voie, mais les méthodes directes semblent en général plus intéressantes. Nous donnons cette démonstration à titre d'exemple.

SOUMET) OR RE er OO ouRIEE x] est l'anneau des polynomes de Æ variables à coefficients dans K et Q l'idéal des polynomes f(x,,...,,) qui vérifient f(A:,...,A;)—o.

THÈSE B. CHARLES. n

SO

Q étant primaire le radical N de R est isomorphe à P/Q, où P est l'idéal premier associé à Q. On a

RINZ (K{a,..., æxJQ)/(P/Q) & K[as,.…, æxP.

Soit o;(æx;) le polynome minimal de A;. La variété algébrique associée à Q est l'intersection des systèmes d’hyperplans o;(æi) — 0, c’est-à-dire un système de points conjugués par rapport au corps de base K.. P est sans diviseur et K[x,,..., x,]/P est un corps.

Le théorème 23 est essentiellement le théorème de Dedekind qui dit que tout système hypercomplexe commutatif sans diviseurs de zéro est un Corps.

Dans ce qui suit nous identifions K avec le sous-corps isomorphe

de K'— RJN en identifiant À eK avec la classe de AI modulo N.

Tuéorëme 24. — Sc K' est un prolongement séparable de K, R contient un corps isomorphe à K'.

Si K’ est séparable sur K, il est de la forme K{[æx|/{(4(æ)) où d(æ) est un polynome premier séparable de K[x]. Il existe alors AëeR tel que L(A)— 0 (mod N), donc L(A) est nilpotent : Y(A)— 0. R contient l'anneau r(A) © Kfæ|]{(Ÿ*) et le théorème 24 sera une conséquente du lemme suivant :

LEE. — S1Ÿ est un polynome premier séparable de K{x], K[æ]/(L°) contient un corps isomorphe à K[x]/(L).

Posons Ë — K{x{/(4°); le radical £” de £ est l’ensemble des polynomes f(x) tels que /*(x)= 0 (mod {°), donc tels que /(æ)=0 (mod Ÿ). On a E* (44), d'où

222 (K[x]/(4%))/())/C)) SK {z]/(9).

Posons Q = K[x]{(Ÿ) et L(t)—=xt— a, at... — a, Q et X sont des systèmes hypercomplexes sur K :

KO +...+ K0%7—1 [table de multiplication L*(0) — o|, + Kz+...+Kz7t [table de multiplication L(z) — 0].