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Nous allons montrer que È est isomorphe au produit direct Q %<S où S est le système hypercomplexe suivant :

S—K+Ko+...+Ko%1 (table de multiplication &*—0), Q XSL QT +. ..+ Dot i—K+E...+Kzio/+.,. + KzT tort,

Nous allons montrer que 24-06 a pour équation minimale d(z+6)=0, donc engendre Q X<S puisque le rang de ce système est &g. Il en résultera que 3 + o — Ü est un isomorphisme de Q <S sur Z [les deux systèmes ayant même table de multiplication si l’on prend pour base dans Q %XS, 1,3+0,...,(2+ oÿ*1-11,

d(z + 5) = VY(z) + oV(z)+oth(o, z) (A polynome), = oŸ'(z)+o*h(o,z) [card(z)—0|, B(z+a)— 08 V'P(z) + o8t1g(o, z) (g polynome).

Pour que dÉ(3+5)—o il faut et il suffit que les coefficients de 5°,..., 5% ! soient nuls (ces coefficients appartiennent à Q). En particulier il faut que YÉ(z)— 0, c’est-à-dire que L'É(x) = 0 (mod d). Comme Ÿ et Ÿ’ sont premiers entre eux, cela nécessite V/(x)= 0, ce qui n’est pas réalisé, Ÿ(æ) étant séparable. Il en résulte que « est le plus petit entier tel que L*(3+0)—o. Soit g(z+0)— 0 l'équation de plus bas degré (équation minimale) vérifiée par 3 + 6. g(x) divise da(x), donc g(x) = (x) d’après ce qui précède.

3+ 0 — 0 est un isomorphisme de S %< Q sur £. Or S XAQ contient le corps Q, donc Ë contient un corps isomorphe à Q— K[x](Ÿ).

CONTRE-EXEMPLE POUR Ÿ NON SÉPARABLE. — Soit K de caractéristique p et Ÿ(æ) premier non séparable, donc de la ferme d(x?).

Supposons que È contienne un corps Q © K[x](). On a pour È considéré comme espace vectoriel sur K : È— Q + £* où ZX” est le radical de ÈZ [en effet Z'NQ—o et d’autre part rang Q + rang E— q+(a—1)g—axg—= rang À]. Tout élément de És’écritô = :+ 0 avec 3€ Q, 5€ Ë". Prenons pour 0 l'élément de Ë qui vérifie l'équation minimale 4*(0)— 0, donc engendre Z(8 est la classe de æ modulo d*). On a 0—z+0 où z vérifie une équation minimale f(z)—0o avec df° = d°4 = rang Q. Le calcul fait plus haut montre que f*(:+0)=0 ce qui entraîne V*(x)= f*(x) et par suite f(x) = (x).

On a

+ a) = Ÿ(s) + d(o) — [as = Ÿ(o)]

RS). af

car pour ? 0, On à (3 + o)P"= 2P" + op".

SLlon prend a#pron aura ot cho done do) == et il reste Ÿ(z + o)—4(z)— 0, ce qui est une contradiction.

Le théorème 24 est dû essentiellement à J. Wedderburn [25].

Si K est parfait (corps de nombres, corps de Galois) toute extension de K de rang fini est séparable. Dans ce cas l'étude de lanneau commutatif primaire R pourra être ramenée à celle d’un anneau nilpotent. s

IIT. — Anneaux commutatifs nilpotents.

DÉFINITIONS. Soit R un anneau commutatif. On dira que R est maximal s’il n’est pas contenu dans un anneau commutatif nilpotent plus grand, ce qui se traduit par R'=7r(R, 1). On ne connait à peu près aucun résultat général sur les anneaux commutatifs nilpotents, même maximaux.

RedésenelaracCameentendre, par des A ACER ER TEA À,,...,A,€…Retai+...—+a,—:1. Si F est un sous-espace de E on pose R(F)—=({Au|AER', zeF}). On définit ainsi une application R'(F) de l’ensemble des sous-espaces de E dans lui-même. L’application réciproque sera définie par

R(F)={ueEz

Ri(u)cF}.

Soit p le plus petit entier tel que Rf—0o; ou ce qui est équi-

valent tel que R(o)—E; ep est l’exposant de R. Les nombres

. mL , AU) . . .

mi= dimR(o)— dim R (o)(1=1,...,e) constituent la signature de R; cette notion a été introduite par C. Jordan[9]. 2, ..., m, sont

des invariants de R relativement à GL(n, K), mais pour une signature

donnée il peut exister zéro ou plusieurs anneaux. On peut facilement

trouver d’autres invariants de R relativement à GL(n, K), par exemple

les nombres dim R(E)(4= 1,...,0),les nombres dim [A A(o), etc.

L a AE€R Pour un corps de caractéristique nulle on a cependant :

Me Bts Le . RL ire Fr LS Taéorène 25. — Sr K est de caractéristique nulle on a f\ AC) =R(0).