OPÉRATEURS LINÉAIRES SUR UN ESPACE VECTORIEL QUELCONQUE

Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K et À un opérateur linéaire sur E. Nous avons vu que l’étude de A à une similitude près était équivalente à l’étude du groupe abélien à opérateurs Er

L'étude du cas général n’est pas autre chose que l'étude des groupes

on È

abéliens quelconques. Nous nous limiterons surtout aux deux cas particuliers suivants :

1° est un groupe abélien de torsion, c’est-à-dire tout ue Fann annulateur :£ 0. Si l’on veut on pourra dire que A est un opérateur de torsion.

2° Ex est un groupe cyclique généralisé, c’est-à-dire tout sousgroupe de Ex, ayant un nombre fini de générateurs est monogène ; on dit encore que KE,,,, est de rang 1. Nous verrons que la plupart des propriétés des opérateurs non dérogatoires sont encore walables, de sorte que nous pourrons dire que À est non dérogatoire si E,,,, est de rang I.

Nous emploierons uniquement le langage des groupes abéliens à opérateurs. Nous traduirons seulement quelques résultats pour l'opérateur linéaire A (cela ne représente aucune difficulté).