RE
convergence simple, E étant considéré comme muni de la topologie discrète) définie par le système fondamental de voisinages de zéro :
Wu se bes lu Qu, 0),
{u, ..., u,} parcourt l’ensemble des parties finies de E. La fermeture d’une partie T de S sera notée T.
THéoRëME 28. — Soit (1, ..., 0) + f(91, . .., 0.) une application dE <...XE dans E. L'ensemble T des Ô€S qui vérifient la relation JO, ..., 0u,)—0, où W, ...,u, sont n éléments arbitraires de E
est fermé dans S.
Soit w,…,uweEetceT; il existe 0ET tel que 0—5e Wu,,.….,u, donc HO Cum) (0 ae Un )E=r0;
CoRoOLLAIRE L. — R' est fermé dans S.
R' est l’ensemble des 0 ES qui vérilient les relations
LES EE Sa
O(u+pr)—Qu—0p—0; O(au) — a(0u) 0
< Or LE
La relation (4) fait intervenir trois éléments : u + 6, u, v et la relation (5) deux éléments : w, au.
CorozLarRe 2. — RCR".
Pour que be R'il faut que pourtoutse R’ on ait Ü(ou) — o(Ou)— 0, cette relation fait intervenir deux éléments de E : u, cu. On a donc Re RCREIGRZ
LE THÉORÈME FONDAMENTAL SUR LES GROUPES ABÉLIENS A OPÉRATEURS. — On peut énoncer ce théorème comme suit : Soit E un groupe abélien à opérateurs vérifiant les conditions (1), (2), (3). Tout sous-groupe de E ayant un nombre fini de générateurs est somme directe de groupes monogènes.
Une conséquence de ce théorème est :
Tuéorime 29. — Soi E un groupe abélien à opérateurs vérifiant les
PER : est
conditions (1), (2), (3). R coincide avec le sous-ensemble R° des endomorphismes de E qui laissent invariants tous les sous-groupes de E.
On aRGR*, en effet : Si l’endomorphisme 0 appartient à R on a pour tout u€E Ou — au avec aE&R. Ü conserve tous les sous-groupes monogènes de E, et par suite tous les sous-groupes de E, c’est-à-dire 0e R*.
On a R*CR, en effet : Soit 0ER*; il faut montrer que pour tout système fini w,, ..., u, d'éléments de Eil existeae Rtel que Ou; = au; Gr; 113 R) Parhypothèséona Ù
CUi,.2: 7, Un) =(r1) RAR),
où le deuxième membre est une somme directe. Comme 0ER*, on a
04 0, lue Over avr O(ei+...+ pr) = avi +... + pe), avec De dre On a Ori... + er) = ar +... + pe) = MPa... + RP, d’où diVi— AV; (CT ...) k).
Soit alors rE(u, ...,u,), on peut écrire = Zb;v; avec b;ER. Il vient
0e = 02b;v;— 2b,0 Pi; — Dar — aZ2b;v;— a”, ce qui achève la démonstration.
GROUPES ABÉLIENS DE TORSION. — Un groupe abélien E à opérateurs sera dit un groupe abélien de torsion si en plus des conditions (1), (2), (3)1l vérifie la condition :
(4) ToutueE à un annulateur 0.
Soit IT l’ensemble des éléments premiers de R (nous ne considérons pas comme distincts deux éléments qui engendrent le même idéal premier, c’est-à-diresontégaux à un facteur inversible près). L’ensembleE, des éléments de E dont l’annulateur est une puissance de (p) est un sous-groupe de E que l’on appelle composante primaire de E associée à l'élément premier p.
E est somme directe des sous-groupes E, et comme de plus tout endomorphisme de E conserve tous les E,, l'étude d’un groupe de torsion se ramène à celle d’un groupe primaire.
st; D
IT. — Groupes abéliens primaires.
On dit que E est un groupe abélien primaire associé à l’élément premier p s’il vérifie (1), (2), (3) et si l’annulateur de tout 4eE est une puissance de (p).
QUELQUES DÉFINITIONS. — Dans ce qui suit E est primaire, associée à p. On dit que E est du type p" s’il est monogène et si N(E)—(p"). Il en résulte EŒR/(p") et les seuls sous-groupes de E sont
ÉD DED. 0 piE 0:
On dit que E est du type p” si N(E)—o et si tout sous-groupe de E d’annulateur (p") est du type p”. Il faut démontrer l’existence de tels groupes, ce qui sera l’occasion d'étudier leur structure. On a de façon. générale
E=(JE UNE = HER |pru— ot.
Ici E, doit être du type p” de sorte que si E existe c’est une limite inductive de groupes du type p". Soit E,, ..., E, une suite de groupes tels que E, est du type p”. On peut identifier E,, avec pE, car ces deux groupes sont isomorphes. Cela permet de définir E — U E, qui
est du type p”, en effet : il est clair que N(E)— 0, soit d’autre part F un sous-groupe de E, on a F — U FAE, et comme
FnhE;=E;(2 = n)
uen résulte R=E/SN(P)=poer FEES NE)="0;
En résumé tout groupe E du type p° est une limite inductive de groupes E, du type p" et les seuls sous-groupes de E sont les E, et E. Deux groupes du type p” sont isomorphes.
On appelle hauteur de u £o et EE la borne supérieure A(u) des entiers À tels que p'e — u soit résoluble en 6 dans E. Il se peut que h(u)— ; par exemple si E est du type p° on à h(u)—= pour tout LEE.
ea
On appelle racine de E un élément w qui est contenu dans un sousgroupe de E du type p”. Si u est une racine, on à A(u)—=@, mais la réciproque n’est pas vraie.
Remarque. — Soit E vérifiant seulement (1), (2), (3). On pourra dire que ugE est une racine associée à p si w est contenu dans un sous-groupe du type p° de E.
On peut aussi définir k,,(u) où u EF CE comme la borne supérieure des entiers » tels que p'e = u est résoluble en + dans K.
STRUCTURE DES GROUPES ABÉLIENS PRIMAIRES. — Si l’annulateur de E est (p*) on sait (théorème 7) que E est somme directe de groupes du E B type p'(BZa).
La structure d’un groupe primaire E est également connue dans le cas où E à un ensemble dénombrable de générateurs : Prufer [18 | a montré que la condition nécessaire et suffisante pour que E soit somme directe de groupes du type p" ou p” est que tout 4€E soit une racine ou soit de hauteur finie; dans le cas général Ulm [22] a donné un système complet d’invariants de structure pour celte question voir aussi Zippin [23 | et Kaplansky-Mackey | 26 |.
La structure d’un groupe abélien primaire quelconque n’est pas connue. Nous allons étudier quelques propriétés d’un tel groupe.
GROUPE DE RACINES. — Soit E vérifiant (1), (2), (3), F, un sousgroupe de racines associées à p€lIl (c’est-à-dire que tout 4€eF, est
3 a EN + a =
contenu dans un groupe du type p” contenu dans K,), F=Y+F, = ï P G un sous-groupe de E disjoint de F. Il existe un sous-groupe K' contenant G et tel que E = F + F7.
Cette propriété est une conséquence du théorème suivant :
Taéorkme 30. — Sort E vérifiant (1), (2),(3), F un sous-groupe de E
> |'£ , TO — NT 172 > P ) . K î . , y
tel que l'équation av — u soit résoluble en + dans K pour toutuerF, aëeR,
soit enfin G un sous-groupe de E disjoint de K. I existe F'35G tel que
Donnons une démonstration rapide de ce théorème qui figure dans R. Baer[ 2]. Soit F' maximal parmi les sous-groupes de E contenant G
