ER ES

et disjoints de F. Nous allons montrer que EF +1". Supposons qu’il existe u &F + F’; deux cas sont à distinguer :

Cas À. — (u)N(F +F')—o. Alors F'—(u)+F"! vérifie F"3G

et F'NAF—o ce qui contredit la maximalité de F”.

Cas 2. — (u)N(F+F')3£ 0. Cela signifie que l’annulateur (a) de u modulo F + F'est £o. Soit p un diviseur premier de a; quitte à multiplier w par a/p on peut supposer que pueF. On a donc pu—=v+v, avec EF, EF’; d'après l'hypothèse sur F il existe we tel que pm —+. En substituant u — æ (qui &F+ F') à w on peut finalement supposer que pue". On a alors (uw, F'NF— 0. Supposons que au + u'€ F avec u'eF'; comme FAF'— oil faut que (a,p)=(1), c’est-à-dire a + pp—1.Onendéduit(i1—uwplu+ru eF ou u€e F + K', ce qui est une contradiction.

CoroLLaIRE. — Soit E un groupe de racines associées à pell; E est somme directe de groupe du type p”.

Taéorëne 31. — Soi E un groupe abélien primaire associé à pe; P—{ueE|pu=o\,P,=Pnp'E. Une condition nécessaire et suffisante pour que E soit un groupe de racines est que P,—P pour tout entier n.

La condition est nécessaire puisque pour un groupe de racines pE= E. Pour la suffisance nous montrerons que P,=P(n—1,2,...) entraine A(u)— pour tout ueE.

Pour 4e P on a A(u)— puisque p"E3 P quel que soit n. Pour w quelconque nous opérerons par récurrence sur l’exposant « de l’annulateur (p*) de u. Soit à résoudre pe — u en 6. On sait résoudre en æ l'équation pt = pu car N(pu)=(p**). De p(u — pfw)— 0 résulte qu'il existe w”’ tel que

piw'= u — ppw ou pe(w+w)— u, d'où RUU)= ce"

De h(u) = ©, ueË résulte que tout u&Ë est contenu dans un p ne T à œ ag sa 1re à À 3aQ DL à à pa 1 a groupe du type p ”, c’est-à-dire que E est un groupe de racines.

DÉCOMPOSITION PARTIELLE CANONIQUE D'UN GROUPE ABÉLIEN. — Soit E vérifiant (1), (2), (3), etp EIT. Posons P —{ueE {pu — 0}, P,—=PNnp.E; P et P, sont des sous-groupes de E qui sont contenus dans la compo-

Me Mec

sante primaire E, de E. Les ueP, &P; sont tels que À ,(u) 4. L'annulateur de P étant (p) on peut considérer P comme espace vectoriel sur le corps R/(p). Ceci nous montre qu'il existe un sous-groupe ou) sous-espace, c’est la même chose) Q, tel que P;,=P;+ Q;. On a alors P—=Q+...+Q:+P,, avec h,(u)—=1i—1sueQ;e h,(u)>=nsuep,.

Nous allons démontrer le théorème suivant de T. Szele [21].

THéorème 32. — On peut trouver une décomposition

eh eromente nine

telle Que NP = OP oi. 52) LE NPA Ypo

thèses et les notations sont celles que l’on vient de préciser).

Posons Q;— D + (u;;); comme h(u;;)—=1—1 il existe v;; tel que jEli p''éi;= ui, et en se reportant à la démonstration du théorème 7 on

à = — > : . Rnb se

voit que la somme pe +-(#;;) est bien directe. De la définition ïj des +;; résulte qu’en posant F;,=Ÿ + Cf one NnPE='Q;

RU q I on UP AIDE Ê l = ie

jEl;

Reste à trouver E, tel que E—E,+E,. Désignons par H l’image canonique d’une partie H de E dans le groupe quotient E — E/p'E. L’annulateur de E est (p") et en se reportant au théorème 7 on voit qu’on peul trouver une décomposition de E en groupes monogènes,

prolongeant la décomposition 2 + (v;;), c’est-à-dire qu’il existe E, tel

Auot, PE Non supposerons que E,3p"E, ce qui ne change rien. Noûs allons montrer que BÆ=E;+E,. D'abord E—(E,, E car l’égalité est vraie modulo p'E et E,3p"E. Ensuite E,NE — 0. Soit uEËE,NE,; comme E,;NE,—o(modp"E), on a uep"E; de PÉBNÉI = ONreultenalons eu 0 MO ECain pr PAR eee E,NP = P,, ce qui achève la démonstration.

COROLLAIRE. — Sou E vérifiant (1), (2), (3) et indécomposable. Ou bien 1l'existe p EN tel que E est du type p" ou du type p°. Ou bien E est sans torsion (tout élément de E a pour annulateur zéro).