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Le ceNTRE De L’ANNEAU R' DES ENDOMORPHISMES DE E. — Nous nous pro-

posons de démontrer que si E est un groupe de torsion on a R/— R. En fait nous allons établir le résultat un peu plus général suivant :

Taéorèue 33. — Soit E vérifiant (1), (2), (3). Tout 0€ R" conserve tous les sous-groupes de torsion de KE.

Il suffit de s'occuper des sous-groupes de E,=— ensemble des ueE dont l’annulateur est une puissance de pell. Nous distinguerons deux cas pour lé groupe E, (notations du théorème 32).

1° Il existe « tel que P,— P, pour n = «. Alors E, est terme direct d’une décomposition de E. Le théorème s'obtient en remarquant que tout endomorphisme de E, peut se prolonger à E, et en utilisant le lemme suivant dont la démonstration est analogue à celle du théorème 18.

Lemue 1. — Si E vérifiant (1), (2), (3) est somme directe de groupes

monogènes ou du type p° on a R'=RK.

2° Il existe uneinfinité de Q, non nuls. Soitalorsue E,etN(u)—(p°); il existe n > « tel que Q, <o, ce qui permet d’écrire E=(+)+ E' avec N(e)—(p"). Le théorème résulte du lemme suivant :

Leume 2. — Tout sous-groupe (u) homomorphe à un sous-groupe (9) qui est terme direct d’une décomposition de E est conservé par tout 0 e R".

Comme (e) est terme direct d’une décomposition de E: E=E'+(+), on a Ü(e)E (+). Soit d'autre part 6€ R’ défini par cË/=0, 5e —u|on peut poser ce — u Car (u)ro(e)]. Il vient

NS octets) =):

Si E est un groupe de torsion, tout 0 € R" conserve tous les sous- . groupes de E, puisque ce sont des groupes de torsion; on à donc Rhin:

Pour un opérateur linéaire de torsion le résultat qui précède s'écrit

De CAS